Teorema del rotore

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In matematica, il teorema del rotore, anche detto teorema di Kelvin o teorema di Kelvin-Stokes, il cui nome è dovuto a Lord Kelvin e George Stokes, afferma che il flusso del rotore di determinati campi vettoriali attraverso superfici regolari dotate di bordo è uguale alla circuitazione del campo lungo la frontiera della superficie. Si tratta pertanto di un caso particolare del teorema di Stokes.

Il teorema di Green è un caso speciale del teorema del rotore che considera superfici appartenenti a \R^2.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia \gamma:[a,b]\to \R^2 una curva piana liscia a tratti tale che sia una curva semplice chiusa (curva di Jordan). Ovvero, se t e s sono nell'intervallo (a,b) allora \,\ \gamma(s) = \gamma(t) implica t = s, ed essendo chiusa si ha \gamma(a)=\gamma(b). Detto {D} il dominio di \R^2 la cui frontiera è \gamma, sia inoltre \psi : {D}\to \R^3 una funzione liscia e \textbf{F} un campo vettoriale su \R^3.

Denotando con {S} = \psi(D) l'immagine di {D} tramite \psi e con \Gamma la curva definita dalla relazione \Gamma(t)= \psi(\gamma(t)), il teorema stabilisce che:

\oint_{\Gamma} \mathbf{F}\, \cdot d\Gamma = \iint_{{S}} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d{S}

Il termine a sinistra è l'integrale di linea di \mathbf{F} lungo \Gamma ed il termine a destra è l'integrale di superficie del rotore \nabla\times\mathbf{F} di \mathbf{F} .

Il teorema è un caso particolare, che si limita a considerare le superfici, del fondamentale teorema di Stokes: il flusso attraverso una superficie (regolare a tratti e dotata di bordo) di un campo vettoriale \mathbf G esprimibile in termini di un potenziale vettore \mathbf F è uguale alla circuitazione di \mathbf F lungo il bordo della superficie. Il teorema del rotore può pertanto essere visto come una generalizzazione del teorema fondamentale del calcolo integrale, il quale afferma che:

\int_a^b H \ dt = L(b) - L(a)

Per l'integrale di funzioni ad una variabile reale si deve quindi trovare una L tale che L' = H, e poi valutarla agli estremi. Nel caso in esame la primitiva di \mathbf G è \mathbf F, calcolata sulla frontiera della superficie che ha il ruolo degli estremi dell'intervallo dell'integrale definito.

Da notare come il teorema del rotore consenta di ottenere una condizione equivalente alla conservatività di un campo vettoriale. Se la circuitazione del campo è nulla, infatti, ad essa corrisponde ad un flusso del rotore uguale a zero, e quindi proprio alla condizione di irrotazionalità del campo stesso:

 \mathbf {\nabla} \times \mathbf F = 0

grazie all'arbitrarietà della superficie.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia data una funzione \mathbf{P}(u,v) = (P_1(u,v), P_2(u,v)) a valori in \R^2 tale che  \mathbf P è il pull-back di un campo \mathbf F. Per fare ciò si definiscono P_1 e P_2 come:

P_1(u,v)=\left\langle \mathbf{F}(\psi(u,v)) \bigg| \frac{\partial \psi}{\partial u} \right\rangle \qquad P_2(u,v)=\left\langle \mathbf{F}(\psi(u,v)) \bigg| \frac{\partial \psi}{\partial v} \right\rangle

dove \langle \ |\ \rangle è il prodotto interno in \R^2 mentre nel seguito \langle \ |A|\ \rangle è una forma bilineare rappresentata dalla matrice A.

Dalla definizione di integrale di linea:

\begin{align}
\oint_{\Gamma} \mathbf{F} \cdot d\Gamma &=\int_{a}^{b}  \left\langle (\mathbf{F}\circ \psi (t))\bigg|\frac{d\Gamma}{dt}(t) \right\rangle dt \\
&= \int_{a}^{b} \left\langle (\mathbf{F}\circ \psi (t))\bigg|\frac{d(\psi\circ\gamma)}{dt}(t) \right\rangle dt \\
&= \int_{a}^{b} \left\langle (\mathbf{F}\circ \psi (t))\bigg|(J\psi)_{\gamma(t)}\cdot \frac{d\gamma}{dt}(t) \right\rangle dt 
\end{align}

dove J\psi è la matrice jacobiana di \psi, e \gamma è la frontiera del dominio D di \psi. Quindi si ha:

\left\langle (\mathbf{F}\circ \Gamma(t))\bigg|(J\psi)_{\gamma(t)}\frac{d\gamma}{dt}(t) \right\rangle = \left\langle (\mathbf{F}\circ \Gamma (t))\bigg|(J\psi)_{\gamma(t)} \bigg|\frac{d\gamma}{dt}(t) \right\rangle =
= \left\langle ({}^{t}\mathbf{F}\circ \Gamma (t))\cdot(J\psi)_{\gamma(t)}\ \bigg|\ \frac{d\gamma}{dt}(t) \right\rangle = \left\langle \left( \left\langle (\mathbf{F}(\psi(\gamma(t))))\bigg|\frac{\partial\psi}{\partial u}(\gamma(t)) \right\rangle , \left\langle (\mathbf{F}(\psi(\gamma(t))))\bigg |\frac{\partial\psi}{\partial v}(\gamma(t)) \right\rangle \right) \bigg|\frac{d\gamma}{dt}(t)\right\rangle =
=  \left\langle (P_1(u,v) , P_2(u,v))\bigg|\frac{d\gamma}{dt}(t)\right\rangle = \left\langle \mathbf{P}(u,v)\ \bigg|\frac{d\gamma}{dt}(t)\right\rangle


Si ottiene la seguente equazione:

\oint_{\Gamma} \mathbf{F} \cdot d\Gamma = \oint_{\gamma} \mathbf{P} \cdot d\gamma

Utilizzando la regola di Leibniz per il prodotto interno si calcolano le derivate parziali:

\begin{align}
\frac{\partial P_1}{\partial v} &= \left\langle \frac{\partial (\mathbf{F}\circ \psi)}{\partial v} \bigg | \frac{\partial \psi}{\partial u} \right\rangle + \left\langle \mathbf{F}\circ \psi \bigg | \frac{\partial^2 \psi}{ \partial v \partial u} \right\rangle \\
\frac{\partial P_2}{\partial u} &= \left\langle \frac{\partial (\mathbf{F}\circ \psi)}{\partial u} \bigg | \frac{\partial \psi}{\partial v} \right\rangle + \left\langle \mathbf{F}\circ \psi \bigg | \frac{\partial^2 \psi}{\partial u \partial v} \right\rangle 
\end{align}

e quindi:

\frac{\partial P_1}{\partial v} - \frac{\partial P_2}{\partial u} = \left\langle \frac{\partial (\mathbf{F}\circ \psi)}{\partial v} \bigg| \frac{\partial \psi}{\partial u} \right\rangle - \left\langle \frac{\partial (\mathbf{F}\circ \psi)}{\partial u} \bigg| \frac{\partial \psi}{\partial v} \right\rangle =
= \left\langle (J\mathbf{F})_{\psi(u,v)}\cdot \frac{\partial \psi}{\partial v} \bigg |\frac{\partial \psi}{\partial u} \right\rangle - \left\langle (J\mathbf{F})_{\psi(u,v)}\cdot \frac{\partial \psi}{\partial u} \bigg|\frac{\partial \psi}{\partial v} \right\rangle = \left\langle \frac{\partial \psi}{\partial u} \bigg|(J\mathbf{F})_{\psi(u,v)} \bigg|  \frac{\partial \psi}{\partial v} \right\rangle - \left\langle \frac{\partial \psi}{\partial u} \bigg |{}^{t}(J\mathbf{F})_{\psi(u,v)} \bigg| \frac{\partial \psi}{\partial v} \right\rangle =
= \left\langle \frac{\partial \psi}{\partial u}\bigg |(J\mathbf{F})_{\psi(u,v)} - {}^{t}{(J\mathbf{F})}_{\psi(u,v)} \bigg|  \frac{\partial \psi}{\partial v} \right\rangle = \left\langle \frac{\partial \psi}{\partial u}\bigg |\left ((J\mathbf{F})_{\psi(u,v)} - {}^{t} (J\mathbf{F})_{\psi(u,v)} \right )\cdot \frac{\partial \psi}{\partial v} \right\rangle

Dato che:

\left ( (J\mathbf{F})_{\psi(u,v)} - {}^{t} (J\mathbf{F})_{\psi(u,v)} \right ) \cdot \mathbf{x} = (\nabla\times\mathbf{F})\times \mathbf{x}

l'ultimo termine nella precedente relazione è uguale a:

 \left\langle \frac{\partial \psi}{\partial u}\bigg |(\nabla\times\mathbf{F})\times\frac{\partial \psi}{\partial v} \right\rangle =\det \left [ (\nabla\times\mathbf{F})(\psi(u,v)) \quad \frac{\partial\psi}{\partial u}(u,v) \quad \frac{\partial\psi}{\partial v}(u,v) \right ]

D'altra parte, dalla definizione di integrale di superficie:

\begin{align}
\iint_S (\nabla\times\mathbf{F}) \cdot dS &=\iint_D \left\langle (\nabla\times\mathbf{F})(\psi(u,v)) \bigg |\frac{\partial\psi}{\partial u}(u,v)\times \frac{\partial\psi}{\partial v}(u,v)\right\rangle dudv\\ 
&= \iint_D \det \left [ (\nabla\times\mathbf{F})(\psi(u,v)) \quad \frac{\partial\psi}{\partial u}(u,v) \quad \frac{\partial\psi}{\partial v}(u,v) \right ] du dv 
\end{align}

sicché si ottiene:

 \iint_S (\nabla\times\mathbf{F}) \cdot dS  =\iint_{D} \left( \frac{\partial P_2}{\partial u} - \frac{\partial P_1}{\partial v} \right) dudv

Considerando il teorema di Green, dai risultati mostrati segue la tesi.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Michael Spivak, Calculus On Manifolds: A Modern Approach To Classical Theorems Of Advanced Calculus, Westview Press, 1971 [1]
  • (EN) M. Hazewinkel, "A tutorial introduction to differentiable manifolds and calculus on manifolds" W. Schiehlen (ed.) W. Wedig (ed.), Analysis and estimation of stochastic mechanical systems, Springer (Wien) (1988) pp. 316–340

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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