Potenza (fisica)

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In fisica, la potenza è definita operativamente come la variazione di energia trasferita[1] nell'unità di tempo. Viene anche utilizzata per quantificare l'energia prodotta o utilizzata da un sistema fisico.

A seconda del tipo di energia trasferita, si parla più specificatamente di potenza meccanica (per il trasferimento di lavoro), potenza termica (per il trasferimento di calore) e potenza elettrica (per il trasferimento di energia elettrica). La potenza termica si indica in genere con il simbolo \dot Q, mentre la potenza meccanica, la potenza elettrica e altre forme ordinate di potenza in genere si indicano con il simbolo P.

Nel sistema internazionale di unità di misura la potenza si misura in watt (W), come rapporto tra unità di energia in joule (J) e unità di tempo in secondi (s):

1 \ \mathrm{W} =1 \, \frac {\mathrm{J}}{\mathrm{s}} = 1 \, \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{s}^{-3}

Per motivi storici, si possono incontrare ancora unità di misura diverse, nate dall'uso di misurare l'energia e il tempo con unità diverse, a seconda del campo di applicazione. Ad esempio il cavallo vapore è la potenza necessaria per sollevare 75 kg (735 N) alla velocità di 1 m/s, e quindi 1 CV = 735 W = 0,735 kW, oppure 1 CV = 0,9863 HP.

Potenza meccanica[modifica | modifica sorgente]

La potenza meccanica è definita come il lavoro L compiuto nell'unità di tempo t, ovvero come la sua derivata temporale:

P=\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d}t}

In base al principio di uguaglianza tra lavoro ed energia, la potenza misura la quantità di energia scambiata nell'unità di tempo, in un qualunque processo di trasformazione, meccanico, elettrico, termico o chimico che sia.

Terza equazione di Eulero[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi equazioni di Eulero (dinamica).

La terza equazione cardinale è in effetti un'equazione nella potenza generica di un sistema materiale:

\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{d}t}= \mathbf{F} \cdot \mathbf{V}_O+ \mathbf{M} \cdot \mathbf{\Omega}_O

dove:

  • {W}=\begin{matrix}\sum_{i}^N\mathbf{f}_i\cdot\mathbf{r}_i \end{matrix} è il lavoro totale che agisce sul sistema
  • \mathbf{F}=\begin{matrix}\sum_{i}^N\ \mathbf{f}_i\end{matrix} è la risultante delle forze esterne agenti sul sistema
  • \mathbf{M}=\begin{matrix}\sum_{i}^N\mathbf{r}_i \times \mathbf{f}_i\end{matrix} è il momento meccanico risultante che agisce sul sistema
  • \mathbf{\Omega}_{O} e \mathbf{V}_{O} sono rispettivamente la velocità angolare e la velocità del polo O (nome che diamo al punto arbitrario rispetto al quale si calcola il momento angolare)

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Si calcola il lavoro totale (che non chiamiamo L solo per non confonderlo col momento angolare totale) di un sistema di punti materiali rispetto a un polo O. Chiamiamo r'_i=r_i - R_O la posizione del punto i-esimo nel sistema di riferimento del polo. Per la equazione fondamentale della cinematica, e poiché le forze interne non lavorano:

dW=\sum{\operatorname dw}=\sum{\mathbf{f_i\cdot \operatorname d\mathbf r_i}}=\sum{\mathbf f_i\cdot (\mathbf{V}_O+\mathbf{\Omega_O}\times\mathbf{r'_i})\operatorname dt}=

=\sum{\mathbf f_i\cdot\mathbf{V}_O} \operatorname dt + \sum{\mathbf f_i \mathbf{\Omega_O}\times\mathbf{r'_i}}\operatorname dt =
=\sum{\mathbf f_i} \cdot\mathbf{V}_O + \sum{\mathbf{\Omega_O}\cdot\mathbf{r'_i}\times\mathbf f_i}\operatorname dt =
=(\sum{\mathbf f_i} \cdot\mathbf{V}_O + \mathbf{\Omega_O}\cdot\sum{\mathbf{m_i}})\operatorname dt =

Dunque in definitiva la potenza risulta:

\frac{\operatorname d W}{\operatorname dt}= \mathbf{F} \cdot \mathbf{V}_O+ \mathbf{M} \cdot \mathbf{\Omega}_O

che è proprio la nostra tesi: la potenza deriva quindi da tutti i tipi di forze generalizzate, confermando la sintesi della meccanica lagrangiana.

Potenza termica[modifica | modifica sorgente]

Col concetto di flusso si può definire la potenza termica legandola alla flusso termico q:

\dot Q = \int_S \bar q \cdot \operatorname d \bar r^2

In particolare per una sfera emittente isotropicamente di raggio R come il Sole:

\dot Q = \int_0^R q(r) \, 2 \pi r \, \operatorname d r = 2 \pi \int_0^R q(r) \, r \, \operatorname d r

e per un cilindro emittente isotropicamente, come nel caso tipico di un nocciolo nucleare:

\dot Q = \int_0^R q(r) \, 2 \pi z \, \operatorname d r = 2 \pi z \int_0^R q(r) \, \operatorname d r

Densità di potenza termica[modifica | modifica sorgente]

Se si considera la corrente termica che fluisce attraverso una superficie chiusa dV:

\dot Q = \oint_{\partial V} \vec q \cdot \operatorname d \vec r^2

sfruttando il teorema della divergenza[2]:

\dot Q = \int_V \nabla \cdot \vec q \operatorname dr^3

si può quindi definire densità di potenza termica la divergenza della densità di corrente termica:

\frac {\partial \dot Q}{\partial V} = \nabla \cdot \vec q

In particolare per una sfera radiante isotropicamente di raggio R si può definire il gradiente radiale di potenza in modo proporzionale alla densità di potenza:

\frac {\partial \dot Q}{\partial V} = \frac 1{4 \pi r^2}\frac {\partial \dot Q}{\partial r}

per un cilindro radiante isotropicamente invece si può definire il gradiente assiale di potenza (detto potenza lineica o densità lineica di potenza), sempre in modo proporzionale alla densità di potenza:

\frac {\partial \dot Q}{\partial V} = \frac 1{\pi r^2} \frac {\partial \dot Q}{\partial z}

Applicazioni pratiche[modifica | modifica sorgente]

Innanzitutto bisogna tener presente che si può svolgere molto lavoro (cioè consumare o produrre energia) anche sviluppando poca potenza. Ciò infatti dipende dalla durata del processo secondo l'espressione integrale data sopra. Ad esempio in una gara di maratona si consuma più energia rispetto ad una gara di cento metri piani; ma certamente la potenza che deve sviluppare il centometrista è enormemente superiore a quella del maratoneta. Allo stesso modo una lampadina da 100 W consuma un decimo di una stufetta (o di un altro elettrodomestico) da 1000 watt, ma se utilizziamo la stufetta per un'ora e lasciamo accesa la lampadina per 24 ore, alla fine la stufetta avrà consumato solo un chilowattora mentre la lampadina ne avrà consumati ben 2,4 (il chilowattora è un'unità di misura tollerata di energia, non di potenza).

Ovviamente al fornitore elettrico si paga prima di tutto l'energia consumata e non la potenza; ma la stessa azienda elettrica fa pagare anche una quota base, proporzionale alla potenza nominale (chilowatt), cioè alla potenza massima del contatore a cui questo stacca la corrente. Ciò per molte ragioni, come il fatto che il fornitore deve garantire all'utente in ogni momento la fornitura della potenza nominale, ma anche il fatto che alla potenza nominale è proporzionale il costo della linea elettrica a monte del contatore.

Curva di potenza di una motocicletta

In un mezzo di trasporto, la velocità massima dipende dalla potenza, che è data dal prodotto della coppia (Nm) per il numero di giri del motore, mentre il legame tra la coppia e la potenza è espresso da queste due formule, rispettivamente per ricavare la potenza (in watt) e la coppia.

W = \frac{ \mathrm{Nm} \cdot \mathrm{rpm} \cdot 2\pi}{60}
\mathrm{Nm} = \frac{W\cdot 60}{\mathrm{rpm} \cdot 2\pi}

Relazione con la velocità in autoveicoli[modifica | modifica sorgente]

La potenza del motore delle automobili, motociclette o di qualsiasi mezzo stradale, può variare da pochi chilowatt fino a svariate centinaia.

La relazione che lega la velocità con la potenza erogata dal motore è influenzata da molti fattori ma, in via generale, si può affermare che la potenza richiesta dall'automobile per avanzare varia con linearità al variare della velocità sino a una certa soglia (indicativamente 30 km/h) per poi essere proporzionale al cubo della velocità.

Questo perché raddoppiando la velocità la resistenza aerodinamica (forza) aumenta di quattro volte e la potenza è data dalla velocità moltiplicata la forza necessaria a vincere la resistenza aerodinamica (forza). Ne segue che per poter andare ad un'andatura doppia bisogna che la potenza aumenti di otto volte, cioè del cubo della velocità.

Si può presumere allora che se per viaggiare a 70 km/h è necessaria 1/6 in più della potenza rispetto a 60 km/h ovverosia 4 kW, non vale lo stesso per passare da 150 a 160 km/h (circa 10 kW). Quindi un'auto da 35 kW si raggiungono i 130 km/h, ma con 70 kW non si arriva ai 260 km/h, ma all'incirca ai 175 km/h.
Questo accade perché fino alla velocità limite (indicativamente 30 km/h) le forze da vincere per fare avanzare il veicolo sono quelle degli attriti meccanici e dell'attrito volvente degli pneumatici, pertanto, essendo la resistenza praticamente costante, la potenza (prodotto di forza per velocità), varia linearmente.

Oltre questa velocità la componente di resistenza, prima trascurabile, dovuta all'aerodinamica diviene preponderante e variando col quadrato della velocità la sua forza, è sufficiente anche un modesto aumento della velocità per fare aumentare notevolmente la potenza necessaria.

La potenza assorbita viene profondamente influenzata dal peso della vettura e dall'efficienza aerodinamica.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) IUPAC Gold Book, "power"
  2. ^ Lamarsh, Baratta, Introduction to Nuclear Engineering, sec 8.3: Heat by conduction, p.408

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]