Lavoro (fisica)

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Lavoro con forza e traiettoria costante

In fisica, il lavoro è il trasferimento di energia cinetica tra due sistemi attraverso l'azione di una forza o una risultante di forze quando l'oggetto subisce uno spostamento e la forza ha una componente non nulla nella direzione dello spostamento. Il lavoro complessivo esercitato su un corpo è pari dunque alla variazione della sua energia cinetica. In particolare il lavoro compiuto da una forza è nullo se questa non ha componenti lungo la direzione dello spostamento o se lo spostamento è nullo. Nel caso di un campo di forza conservativo (cioè in assenza di effetti dissipativi), il lavoro svolto è pari alla variazione di energia potenziale tra gli estremi del percorso.
Il termine lavoro è stato introdotto nel 1826 dal matematico francese Gaspard Gustave de Coriolis.[1][2]

Definizione generale[modifica | modifica sorgente]

Si definisce lavoro lineare di una forza \vec F(\vec r) (ovvero di ogni campo vettoriale) associato allo spostamento elementare d\vec s la forma differenziale:

dL = \vec F \cdot d\vec s = \vec F \cdot \vec v dt

che in termini di coordinate cartesiane, si può esprimere come:

dL = F_x dx + F_y dy + F_z dz

Il lavoro lungo una curva \gamma è definito come l'integrale di linea di seconda specie della forma differenziale dL:

L = \int_\gamma dL = \int_\gamma {\vec F(\vec r)} \cdot \operatorname d \vec s

ovvero l'integrale di linea del campo vettoriale \vec F(\vec r) lungo la curva \gamma.

Nel caso di un corpo che ruota il lavoro può essere espresso in funzione del momento meccanico:

dL = \vec F \cdot d\vec s = \vec F \cdot \vec v \cdot dt = \vec F \cdot \left (\vec{\omega} \times \vec {OP} \right) dt=\vec\omega\cdot\left(\vec{OP}\times\vec F\right)dt=d\vec\theta\cdot\vec M_o

Il lavoro finito del momento corrispondente ai due spostamenti angolari \theta_1 e \theta_2 è formalmente uguale all'integrale:

L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \vec {M_o} \cdot d\vec {\theta}.

Conseguenze della definizione[modifica | modifica sorgente]

Dalla definizione di integrale curvilineo, si hanno le seguenti conseguenze immediate:

  • il lavoro lungo una curva di "lunghezza nulla", cioè contratta in un solo punto, è nullo;
  • i lavori dello stesso campo vettoriale lungo la stessa traiettoria, percorsa però in direzioni opposte, sono di segno opposto:
 \int_{\gamma^-} {\vec F(\vec r)} \cdot \operatorname d \vec s = -\int_{\gamma^+} {\vec F(\vec r)} \cdot \operatorname d \vec s

(con \gamma^+ e \gamma^- si intendono due parametrizzazioni della stessa curva con orientamenti opposti)

  • il lavoro lungo una traiettoria somma di due curve è la somma dei lavori lungo le due curve:
 \int_{\gamma_1+\gamma_2} dL = \int_{\gamma_1} dL + \int_{\gamma_2} dL

(con \gamma_1+\gamma_2 si intende la curva ottenuta percorrendo in sequenza \gamma_1 e \gamma_2)

Per la proprietà di linearità dell'operatore integrale si ha che:

  • i lavori compiuti (lungo la stessa traiettoria) da forze opposte sono di segno opposto:
\int -\vec F \cdot d \vec s = -\int \vec F \cdot d \vec s
  • il lavoro compiuto dalla somma di due o più forze è la somma dei lavori compiuti da ognuna forza (si può anche dire, in altri termini, che per il lavoro vale il principio di sovrapposizione degli effetti)
\int (\vec F_1+\vec F_2) \cdot d \vec s = \int \vec F_1 \cdot d \vec s + \int \vec F_2 \cdot d \vec s

Il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti su un corpo è uguale alla variazione della sua energia cinetica:  L= \Delta E_{\operatorname{C}} (teorema dell'energia cinetica).

In generale, a causa della generalità del campo  \vec F(\vec r) , che varia da punto a punto, il lavoro dipende dalla traiettoria per andare da A a B. Vi sono però casi di notevole rilevanza fisica nei quali è possibile limitarsi a forze per le quali il lavoro non dipende dalla traiettoria seguita ma solo dalle posizioni iniziale e finale della traiettoria.

Forze conservative[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Forza conservativa.

Nel caso di un campo di forza conservativo il lavoro è la variazione di energia potenziale tra gli estremi del percorso. In questo caso il lavoro non dipende dal particolare cammino seguito, ma solo dalla posizione iniziale \vec r_A e dalla posizione finale \vec r_B.

A partire dal lavoro è possibile definire la conservatività di un campo: il campo è conservativo se il lavoro lungo una traiettoria chiusa è zero, qualunque traiettoria si segua, infatti:

\Rightarrow 2) è conseguenza immediata di 1): il lavoro per andare da A ad A lungo qualsiasi traiettoria è uguale a quello per andare da A ad A "rimanendo fermi"; che è 0.
\Leftarrow: per l'implicazione contraria, da 2) a 1), si ragiona così: consideriamo 2 qualsiasi traiettorie da A e B; unendole si ottiene una curva chiusa lungo la quale (per la 2ª definizione) il lavoro è zero. Quindi il lavoro lungo la prima traiettoria da A a B è l'inverso di quello lungo la seconda da B ad A e, poiché i lavori della stessa forza lungo la stessa curva percorsa però nei due sensi contrari sono di segno opposto (come visto sopra), ciò implica che il lavoro lungo le due traiettorie percorse nello stesso verso, da A a B, è uguale. C.V.D.

Nel caso di un percorso rettilineo il lavoro si definisce come il prodotto scalare del vettore forza per il vettore spostamento \vec s:

L = \vec F \cdot \vec s = \left| \vec F \right| \, \left| \vec s \, \right| \, \cos \alpha

dove L è il lavoro e α l'angolo tra la direzione della forza e la direzione dello spostamento.
Il lavoro può essere sia positivo sia negativo, il segno dipende dall'angolo α compreso tra il vettore forza \vec F ed il vettore spostamento \vec s.

Il lavoro svolto dalla forza è positivo se 0 < α < 90° (0 < α < π/2 radianti) ovvero se cosα > 0. Un lavoro positivo è causato da una forza detta motrice, uno negativo (90° < α < 180°), invece, da una forza resistente.

Il termine utilizzato in fisica differisce dalla definizione usuale di lavoro, che è decisamente legata all'esperienza quotidiana e si può ricondurre, ad esempio, alla fatica muscolare. Infatti si compie un lavoro se si ha uno spostamento: se per esempio si spinge contro un muro naturalmente esso rimarrà fermo e non si avrà lavoro.

Casi particolari

Quando la forza ha la stessa direzione dello spostamento, il prodotto scalare equivale al prodotto aritmetico dei moduli dei due vettori:

\alpha = 0^\circ \rightarrow \cos\alpha = 1 \rightarrow L = \left| \vec F \right| \left| \vec s \, \right|.

Anche nel caso di forza parallela ma opposta allo spostamento, l'espressione del lavoro si riduce al prodotto aritmetico dei moduli, ma con segno opposto:

\alpha = 180^\circ \rightarrow \cos\alpha = -1 \rightarrow L = - \left| \vec F \right| \left| \vec s \, \right|.

Quando forza e spostamento sono perpendicolari, il lavoro è nullo:

\alpha=90^\circ\rightarrow\cos\alpha=0\rightarrow L=0.


Per i campi conservativi è possibile definire una funzione scalare, detta energia potenziale, la cui variazione tra i punti \vec r_A e \vec r_B rappresenta il lavoro compiuto dalle forze per andare da A a B (per quanto detto prima lungo un qualunque percorso).

L = U ( {\vec r_A}) - U (\vec r_B) = -\Delta U

(si indica  - \Delta U e non  \Delta U perché, per convenzione, si considera solitamente la variazione di qualcosa dal punto finale a quello iniziale, cioè \Delta U = U ( {\vec r_B}) - U (\vec r_A))

Il concetto continua a valere se U non dipende dalla "posizione" ma da uno "stato", ovvero da una posizione nello spazio delle fasi del sistema: ovviamente sostituendo \vec r con l'equivalente nel caso in questione. Un esempio è il diagramma pressione/volume usato per le macchine termiche.

Considerando campi conservativi, dal teorema dell'energia cinetica (L = \Delta E_{\operatorname{C}}), si ha che la variazione di energia potenziale è contraria alla variazione di energia cinetica:

 - \Delta U = U ( {\vec r_A}) - U (\vec r_B) = L = \Delta E_{\operatorname{C}} = \frac {1}{2}m {v_B}^2 - \frac {1}{2}m {v_A}^2

e quindi la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale (detta energia meccanica) è costante (teorema dell'energia meccanica)

E_{\operatorname{mecc}} = E_{\operatorname{C}}+U= \frac {1}{2}m {v_A}^2+ U ( {\vec r_A}) = \frac {1}{2}m {v_B}^2+ U (\vec r_B)

ovvero

\Delta E_{\operatorname{mecc}}=0

Lavoro nel moto rettilineo[modifica | modifica sorgente]

Il lavoro esercitato su un corpo di massa m che si muove di moto rettilineo per passare da una velocità 0 ad una v varia al variare della costante del moto, cioè velocità, accelerazione, strappo, sbalzo, crepitio o altra derivata dello spazio rispetto al tempo. Ricordando che, nel caso di un percorso rettilineo, il lavoro si definisce come il prodotto della forza per lo spostamento (dando per scontato che per forza s'intende la componente parallela di essa rispetto allo spostamento, il che evita di usare la notazione vettoriale):

L =\mathbf{F} \cdot s

E, sapendo che:

\mathbf{F} = m \mathbf{a}
\mathbf{a} =\int \! \left(\frac{d^ns}{d t^n}\right) \,\mathrm{d}t^{n-2}=\frac{1}{(n-2)!}\left(\frac{d^ns}{d t^n}\right) t^{n-2}
s =\int \! \left(\frac{d^ns}{d t^n}\right) \,\mathrm{d}t^n=\frac{1}{n!}\left(\frac{d^ns}{d t^n}\right) t^n

dove \left(\frac{d^ns}{d t^n}\right) rappresenta la derivata ennesima dello spazio rispetto al tempo, si ha che:

L =\mathbf{F} \cdot s=m \mathbf{a} \cdot s=m \cdot \frac{1}{(n-2)!}\left(\frac{d^ns}{d t^n}\right) t^{n-2} \cdot \frac{1}{n!}\left(\frac{d^ns}{d t^n}\right) t^n=\frac{1}{n!(n-2)!}m\left(\frac{d^ns}{d t^n}\right)^2 t^{2(n-1)}=\frac{1}{n!(n-2)!}m\left(\left(\frac{d^ns}{d t^n}\right)t^{n-1}\right)^2

Supponendo che \left(\frac{d^ns}{d t^n}\right)=\mathbf{a}, quindi che n=2, perché l'accelerazione è la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo, e prendendo in considerazione il prodotto \left(\left(\frac{d^ns}{d t^n}\right)t^{n-1}\right)^2, si ha che:

\left(\left(\frac{d^ns}{d t^n}\right)t^{n-1}\right)^2=(\mathbf{a} t)^2

sapendo che l'integrale dell'accelerazione rispetto al tempo è la velocità, in particolare:

\int \mathbf{a} \,\mathrm{d}t=\frac{1}{1!}\mathbf{a}t=\mathbf{v}

Facendo il rapporto membro a membro si ha che:

\frac{\mathbf{a} t}{\frac{1}{1!}\mathbf{a}t}=1!

Quindi:

(\mathbf{a} t)^2=(1!\mathbf{v})^2

Supponendo che \left(\frac{d^ns}{d t^n}\right)=\mathbf{j}, quindi che n=3, perché lo strappo è la derivata terza dello spazio rispetto al tempo, e prendendo in considerazione il prodotto \left(\left(\frac{d^ns}{d t^n}\right)t^{n-1}\right)^2, si ha che:

\left(\left(\frac{d^ns}{d t^n}\right)t^{n-1}\right)^2=(\mathbf{j} t^2)^2

sapendo che l'integrale secondo dello strappo rispetto al tempo è la velocità, in particolare:

\iint \mathbf{j} \,\mathrm{d}t^2=\frac{1}{2!}\mathbf{j}t^2=\mathbf{v}

Facendo il rapporto membro a membro si ha che:

\frac{\mathbf{j} t^2}{\frac{1}{2!}\mathbf{j}t^2}=2!

Quindi:

(\mathbf{j} t^2)^2=(2!\mathbf{v})^2

Supponendo che \left(\frac{d^ns}{d t^n}\right)=\mathbf{r}, quindi che n=4, perché lo sbalzo è la derivata quarta dello spazio rispetto al tempo, e prendendo in considerazione il prodotto \left(\left(\frac{d^ns}{d t^n}\right)t^{n-1}\right)^2, si ha che:

\left(\left(\frac{d^ns}{d t^n}\right)t^{n-1}\right)^2=(\mathbf{r} t^3)^2

sapendo che l'integrale terzo dello sbalzo rispetto al tempo è la velocità, in particolare:

\iiint \mathbf{r} \,\mathrm{d}t^3=\frac{1}{3!}\mathbf{r}t^3=\mathbf{v}

Facendo il rapporto membro a membro si ha che:

\frac{\mathbf{r} t^3}{\frac{1}{3!}\mathbf{r}t^3}=3!

Quindi:

(\mathbf{r} t^3)^2=(3!\mathbf{v})^2

Supponendo che \left(\frac{d^ns}{d t^n}\right)=\mathbf{c}, quindi che n=5, perché il crepitio è la derivata quinta dello spazio rispetto al tempo, e prendendo in considerazione il prodotto \left(\left(\frac{d^ns}{d t^n}\right)t^{n-1}\right)^2, si ha che:

\left(\left(\frac{d^ns}{d t^n}\right)t^{n-1}\right)^2=(\mathbf{c} t^4)^2

sapendo che l'integrale quarto del crepitio rispetto al tempo è la velocità, in particolare:

\iiiint \mathbf{c} \,\mathrm{d}t^4=\frac{1}{4!}\mathbf{c}t^4=\mathbf{v}

Facendo il rapporto membro a membro si ha che:

\frac{\mathbf{c} t^4}{\frac{1}{4!}\mathbf{c}t^4}=4!

Quindi:

(\mathbf{c} t^4)^2=(4!\mathbf{v})^2

Confrontando i risultati ottenuti, si nota che:

(\mathbf{a} t)^2=(1!\mathbf{v})^2
(\mathbf{j} t^2)^2=(2!\mathbf{v})^2
(\mathbf{r} t^3)^2=(3!\mathbf{v})^2
(\mathbf{c} t^4)^2=(4!\mathbf{v})^2

Quindi in generale si può scrivere che:

\left(\left(\frac{d^ns}{d t^n}\right)t^{n-1}\right)^2=((n-1)!\mathbf{v})^2=(n-1)!^2\mathbf{v}^2

E quindi la formula del lavoro diventa:

L=\frac{(n-1)!^2}{n!(n-2)!}m\mathbf{v}^2

Lavoro parziale[modifica | modifica sorgente]

Dal teorema dell'energia cinetica e dal principio di sovrapposizione degli effetti sappiamo che il lavoro totale svolto da una serie di forze su un corpo è uguale alla variazione della sua energia cinetica, che a sua volta è uguale al prodotto tra la risultante delle forze in gioco e lo spostamento prodotto da essa. Il lavoro compiuto da ogni singola forza in gioco è detto lavoro parziale, e non è uguale al prodotto tra la sola forza e lo spostamento effettivo del corpo, ma bensì tra la forza stessa e lo spostamento che compierebbe il corpo se quella forza fosse l'unica in gioco. Un esempio per far capire è quando teniamo fermo in mano un oggetto pesante: nonostante non ci sia alcuno spostamento effettivo da parte dell'oggetto, la nostra mano usa energia per esercitare una forza uguale e contraria a quella del peso dell'oggetto, e di conseguenza compie un lavoro, tanto che ad un certo punto non riusciremo più a tenere l'oggetto perché la mano sarà troppo affaticata; un altro esempio è quando andiamo in bicicletta: il lavoro compiuto dalla forza motrice generata dalle nostre gambe è maggiore del semplice prodotto tra la forza stessa e lo spostamento effettivo, perché una parte di esso viene dissipata dall'attrito. Quando una forza agisce su un corpo nella stessa direzione della sua velocità iniziale, esso si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato, quindi tenendo conto delle seguenti formule:

L=F \cdot s
a= \frac Fm
s= \frac 12 at^2+v_0 t

dove m è la massa del corpo, a è l'accelerazione, t è il tempo trascorso e v0 è la velocità iniziale, la formula per calcolare il lavoro parziale compiuto da una forza è:

L=F\cdot s=F \cdot \left(\frac 12 at^2+v_0 t \right)=Ft \left( \frac {Ft} {2m}+v_0 \right)

Lavoro nel moto parabolico[modifica | modifica sorgente]

Nel caso si avesse una forza che agisce su un corpo con una velocità iniziale avente direzione diversa rispetto ad essa, con un angolo di inclinazione α, esso acquisterà un moto parabolico; scomponendo il vettore velocità in due direzioni, di cui una parallela e l'altra perpendicolare alla forza, si noterà che il moto è formato da un moto rettilineo uniforme con velocità pari alla componente perpendicolare, ed un moto rettilineo uniformemente accelerato con velocità iniziale pari alla componente parallela, che andrà a variare a causa della forza. Il lavoro compiuto dalla forza è quindi relativo solo alla componente parallela della velocità, dato che nel moto rettilineo uniforme non si compie lavoro, perché la variazione di energia cinetica è pari a zero; detto questo, la formula per calcolare il lavoro è:

L=Ft \left( \frac {Ft} {2m}+v_0 \cdot cos \alpha \right)

Campi non conservativi[modifica | modifica sorgente]

L'esempio classico di campi non conservativi si ha considerando le forze d'attrito: l'attrito si oppone sempre al moto, quindi lungo qualsiasi traiettoria avremo l'integrale di una funzione costantemente negativa. E il risultato sarà un lavoro costantemente negativo anche lungo traiettorie chiuse.

Avremmo un lavoro pari a zero (e quindi un campo conservativo) solo se l'attrito fosse zero lungo tutto il percorso, solo se, cioè, non avessimo attriti.

Scomponendo, nel teorema dell'energia cinetica, il lavoro in due addendi: L = L_{\operatorname{cons}}+L_{\operatorname{nc}} quello derivante da forze conservative (uguale alla variazione di energia potenziale) e quello derivante da forze non conservative abbiamo:

 \Delta E_{\operatorname{C}}= L = L_{\operatorname{cons}} + L_{\operatorname{nc}} = - \Delta U + L_{\operatorname{nc}}

e quindi:

\Delta E_{\operatorname{mecc}} = \Delta(E_{\operatorname{C}}+U) = L_{\operatorname{nc}}

cioè la variazione dell'energia meccanica (la somma cioè di energia cinetica e potenziale) è uguale al lavoro compiuto dalla forze non conservative.

Unità di misura[modifica | modifica sorgente]

Nel Sistema Internazionale l'unità di misura per il lavoro è il joule che corrisponde allo spostamento di un metro di una forza di un newton:

\mathrm{J}=\mathrm{N}\mathrm{m}=\mathrm{kg\, m^2s^{-2}}

Tra le altre unità di misura del lavoro ricordiamo:

  • il chilogrammetro: lavoro necessario per sollevare di un metro un peso di un chilogrammo. Poiché l'accelerazione di gravità al suolo è, in media, circa 9,81 m/s2 (e dunque la forza di gravità, al suolo, agente su un peso di 1 kg, circa 9,81 m/s2 * 1 kg = 9,81 N):
1 \mathrm{\operatorname{kgm}} = 9,81\, \mathrm{N} \cdot 1\,\mathrm{m} =9,81 \mathrm{J} (circa)

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Lavoro in termodinamica[modifica | modifica sorgente]

In termodinamica, il lavoro viene scomposto per comodità in due contributi: un contributo relativo alla variazione di volume (lavoro di volume) e un contributo indipendente dalla variazione di volume (lavoro isocoro).

Lavoro di volume[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Lavoro di volume.

In termodinamica un gas esercita una pressione P interna sulle pareti del recipiente in cui è contenuto. Se una di queste pareti (di area A) è mobile e si sposta di una quantità infinitesima dl sotto l'azione di questa pressione, allora il lavoro infinitesimo compiuto dal gas è dato da:[3]

\delta L = P A dl = P \cdot dV.

dove dV = A dl è la variazione del volume corrispondente. Questo è vero se la trasformazione è reversibile, infatti solo se il sistema è in equilibrio termodinamico è possibile conoscere il valore della pressione P interna al contenitore. La notazione \delta L è usata per indicare che il lavoro in fisica non è una funzione di stato, ed invece dipende dalla particolare trasformazione eseguita sul sistema: in termini matematici si dice che il lavoro non è, in generale, esprimibile come un differenziale esatto.

Infine, se il sistema termodinamico subisce una trasformazione generica (quindi per lo più irreversibile), allora possiamo ancora quantificare il lavoro fatto dal gas o dal sistema così:

\delta L= P_e A dl = P_e \cdot dV,

lavoro fatto contro la pressione esterna P_e.

Lavoro isocoro[modifica | modifica sorgente]

Sotto il termine di lavoro isocoro si annoverano tutti i tipi di lavoro che non si riflettono in una variazione di volume, ad esempio: il lavoro elettrico, il lavoro di un campo magnetico, oppure il lavoro svolto da una girante.

Lavoro elettrico[modifica | modifica sorgente]

In un circuito elettrico il lavoro infinitesimo compiuto dalla batteria che genera la differenza di potenziale E per far circolare una corrente elettrica I per un tempo infinitesimo dt è data da dL = EI dt, il segno di tale lavoro sarà positivo o negativo a seconda che rispettivamente la pila eroghi o assorba corrente.

Il valore del lavoro elettrico scambiato tra il tempo t0 e il tempo t1 si può ottenere integrando l'equazione precedente, dalla quale si ottiene:

L = \ \int^{t_1}_{t_0} EI\, dt

nel caso in cui la differenza di potenziale E rimanga costante durante l'intervallo di tempo considerato, si può scrivere:

L = E \ \int^{t_1}_{t_0} I\, dt = E \cdot Q_{el}

essendo:

  • L il lavoro elettrico (in joule);
  • E la differenza di potenziale elettrico (in volt);
  • I l'intensità di corrente elettrica in (in ampere);
  • t il tempo (in secondi);
  • Qel la quantità di carica elettrica circolata durante l'intervallo di tempo considerato (in coulomb).

Forza di Lorentz[modifica | modifica sorgente]

La forza di Lorentz, ossia la forza che agisce su una particella carica in movimento se è immersa in un campo magnetico, possiede sempre lavoro nullo, in quanto è ortogonale allo spostamento. Infatti, la forza di Lorentz è definita:

\vec F= q \vec v \wedge \vec B

dove q è la carica della particella, v è la sua velocità e B è il vettore di induzione magnetica che definisce punto per punto il campo magnetico. Il lavoro elementare della forza di Lorentz è dato da:

\mbox{d}L= q \vec v \wedge \vec B \cdot \vec{\mbox{d} s} = q \vec B \cdot (\vec {\mbox{d}s} \wedge \vec v)=0

che è identicamente nullo perché i vettori ds e v sono paralleli.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Max Jammer, Concepts of Force, Dover Publications, Inc., 1957, ISBN 0-486-40689-X.
  2. ^ Sur une nouvelle dénomination et sur une nouvelle unité à introduire dans la dynamique, Académie des sciences, August 1826
  3. ^ Silvestroni, op. cit., p. 118

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Paolo Silvestroni, Fondamenti di chimica, 10ª ed., CEA, 1996, ISBN 88-408-0998-8.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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