Forza di Lorentz

Forza di Lorentz.

In fisica si chiama forza di Lorentz la forza che agisce su un oggetto elettricamente carico che si muove in un campo magnetico. La caratteristica principale della forza di Lorentz è che è sempre diretta perpendicolarmente rispetto alla direzione del moto (che ha assunto l'oggetto elettricamente carico all'interno del campo magnetico). Essa dunque non compie lavoro meccanico (variazione di energia cinetica), ma ha effetto solo sulla traiettoria della particella carica ovvero è una forza deflettente. In alcuni casi, con "forza di Lorentz", o "forma generale della forza di Lorentz", si comprende anche il contributo del campo elettrico.

Questa forza deve il suo nome al fisico olandese Hendrik Lorentz.

Definizione

Data una carica elettrica puntiforme q in moto con velocità $\vec v$ in una regione caratterizzata dalla presenza di un campo di induzione magnetica $\vec B$, sulla suddetta carica agirà una forza $\vec F_l$, detta appunto Forza di Lorentz, proporzionale a q stessa e al prodotto vettoriale di $\vec v$ per$\vec B$, secondo la seguente formula:

$\vec F_l = q\vec v \times \vec B$

Forza agente su una corrente

Poiché la corrente elettrica è costituita da un moto di cariche elettriche, se un conduttore attraversato da una corrente viene immerso in un campo magnetico, la forza di Lorentz è una forza agente sul conduttore stesso.

Si consideri un conduttore di dimensioni qualunque immerso in un campo magnetico $\vec B$ e percorso da una corrente elettrica stazionaria I. La forza complessiva agente sul conduttore è data dalla somma vettoriale delle Forze di Lorentz applicate alle singole cariche (elettroni) in moto con velocità $\vec v$:

$\vec F = - e \cdot \vec v \times \vec B$.

Dalla definizione di densità di corrente agente su un tratto infinitesimo di filo $d\vec l$ sappiamo che:

$I d\vec l= \int_{S} \vec J \cdot d\vec S \cdot d\vec l$

Ora se vogliamo calcolare la forza agente su un tratto di conduttore di lunghezza $d\vec l$ dobbiamo integrare la quantità:

$I d\vec l \times \vec B = \vec J \cdot d\vec S d \vec l \times \vec B$

quindi per un conduttore di forma qualsiasi:

$\vec F = \int_{V} \vec J \times \vec B \cdot dV$

dove $dV = d\vec S \cdot d\vec l$

Nel caso il conduttore sia filiforme non serve chiamare in causa la densità di corrente poiché per un tratto finito l di circuito:

$\vec F = I \int_l d\vec l \times \vec B$

Lavoro della forza di Lorentz

La forza totale agente su una carica in moto è composta dalla forza di Lorentz e dalla forza dovuta al campo elettrico:

$\vec F_{_{TOT}} = q (\vec E + \vec v \times \vec B)$.

La forza agente su una particella carica è quindi la somma di un termine parallelo al campo elettrico $\vec E$ e di un termine, dipendente dalla velocità della particella, perpendicolare sia al campo magnetico $\vec B$, sia alla velocità $\vec v$ della particella. In molti testi il termine forza di Lorentz è usato per indicare l'intera espressione $\vec F_{_{TOT}}$, non solo il termine dipendente dal campo magnetico. Per una migliore comprensione delle conseguenze fisiche di ciò, consideriamo separatamente l'effetto in termini di accelerazione e di variazione dell'energia cinetica.

Accelerazione della particella carica

L'accelerazione, come per qualunque moto di un punto materiale, ha una componente nella direzione del moto (accelerazione tangente) e una componente perpendicolare alla traiettoria (accelerazione normale). La prima ha come effetto di variare il modulo della velocità (velocità scalare), la seconda determina una variazione della direzione della velocità.

Dall'espressione della forza complessiva si osserva che il campo elettrico può determinare sia un'accelerazione tangente, sia un'accelerazione normale (tutto dipende dall'angolo fra la velocità istantanea e il campo elettrico nel punto in cui si trova la particella). Nel caso di un campo elettrostatico uniforme (in particolare nullo), se la velocità iniziale è nulla o parallela al campo elettrico, non vi è accelerazione normale e la particella assume un moto uniformemente accelerato su una traiettoria rettilinea. Se invece la velocità $\vec v$ è in un certo istante perpendicolare al campo elettrico, in quell'istante l'accelerazione sarà normale e il campo elettrico farà deviare la particella; questa condizione, in generale, non potrà valere in un istante successivo: se il campo elettrico è uniforme, la velocità della particella tenderà ad allinearsi con il campo elettrico (come nel caso del moto di caduta di un grave sotto il suo peso).

Viceversa, il campo magnetico determina solo un'accelerazione normale. In assenza di campo elettrico, se la particella è in quiete, la forza agente è nulla, e la particella resta in quiete. Se la particella è in moto, qualunque sia la direzione di $\vec B$ la forza di Lorentz avrà come solo effetto quello di far deviare la particella. In particolare è possibile, nel caso di un campo magnetico costante, che la particella si muova di moto circolare uniforme. In realtà, in questo caso la particella perde energia irradiando onde elettromagnetiche, energia che può essere restituita alla particella con un campo elettrico opportunamente variabile.

Energia cinetica della particella e lavoro della forza di Lorentz

Il lavoro compiuto dalla forza è uguale alla variazione dell'energia cinetica dalla particella, che a sua volta è proporzionale al quadrato della velocità scalare. Quindi non è sorprendente scoprire che la forza determinata dal solo campo magnetico B (la quale è sempre perpendicolare alla traiettoria e quindi non varia la velocità scalare) non ha effetto sull'energia cinetica, ossia non compie lavoro. Questo si può ricavare matematicamente considerando che il lavoro istantaneo, o potenza, è dato dal prodotto scalare fra la forza agente e la velocità della particella: nel nostro caso abbiamo

$W = \vec F_{_{TOT}}\cdot\vec v = q (\vec E + \vec v \times \vec B)\cdot\vec v = q \vec E \cdot\vec v$.

Quindi la variazione istantanea di energia cinetica della particella (che è uguale alla potenza della forza) è interamente dovuta alla componente del campo elettrico $\vec E$ lungo la direzione del moto, mentre il campo magnetico $\vec B$ non ha effetto sull'energia cinetica. Questa è la ragione per cui, negli acceleratori di particelle, i campi elettrici servono ad aumentare l'energia cinetica delle particelle, mentre i campi magnetici sono usati per mantenere il fascio entro la traiettoria desiderata.

Quanto detto produce un apparente paradosso: dato che la velocità di una particella è sempre relativa al sistema di riferimento dell'osservatore, la forza di Lorentz deve a sua volta dipendere dall'osservatore, in contrasto con il fatto che due osservatori inerziali, anche se in moto relativo l'uno rispetto all'altro, devono misurare le stesse forze. In particolare, per un osservatore inerziale che si muova (in un dato istante) con la stessa velocità della particella carica, la forza di Lorentz agente sulla particella è sempre nulla: ma allora, come è possibile che sia non nulla per un altro osservatore? In realtà non c'è alcun paradosso: la decomposizione del campo elettromagnetico nei due vettori $\vec E$ e $\vec B$ dipende a sua volta dall'osservatore. La forza che per un osservatore deriva dal campo magnetico, per un osservatore solidale con la particella dipende invece dal campo elettrico: la forza totale $\vec F_{_{TOT}}$ rimane invariata.

Poiché la forza di Lorentz dipende dalla velocità e non solo dalla posizione della particella, per poter parlare in questo caso di conservatività e di esistenza di un potenziale si devono opportunamente generalizzare questi concetti. La forza di Lorentz ammette un potenziale generalizzato, dato dal prodotto scalare fra il potenziale vettore del campo magnetico e la velocità della particella. In generale, l'esistenza di un tale potenziale è possibile per campi di forze dipendenti dalla velocità purché (1) la dipendenza dalle velocità sia lineare, e (2) il lavoro compiuto dalla forza sia identicamente nullo. Nel caso di campi elettromagnetici non statici, il contesto appropriato in cui formulare la teoria e definire un potenziale è fornito dalla formulazione covariante dell'elettromagnetismo, nell'ambito della relatività ristretta.

Moto di una carica in un campo magnetico

Come applicazione notevole della forza di Lorentz consideriamo il moto di una carica elettrica q che attraversa un campo magnetico uniforme $\vec B$ con velocità $\vec v$ perpendicolare ad esso. Siano allora (con un'opportuna scelta del riferimento) $\vec v_0 = (v_{0x},v_{0y},0)$ la velocità iniziale e $\vec B = (0,0,B)$ il campo magnetico, supposto costante. Poiché l'accelerazione risulterà sempre perpendicolare a $\vec B$, la velocità sarà sempre contenuta nel piano (x,y). Specificamente, in ogni istante la forza di Lorentz sarà espressa da:

$\vec F = ( q v_y B , -q v_x B , 0)$

Ciò significa che dobbiamo risolvere un sistema di due equazioni:

$\begin{cases} m a_x = q v_y B \\ m a_y = -q v_x B \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} m \frac {dv_{x}^{2}} {dt^2} = q B \frac {dv_y}{dt} = -\frac {q^2 B^2}{m} v_x \\ m \frac {dv_{y}^{2}}{dt^2} = -q B \frac {dv_x}{dt} = - \frac {q^2 B^2}{m} v_y \end{cases}$

un sistema di due equazioni differenziali nelle incognite (v_x,v_y):

$\begin{cases} \frac {dv_{x}^{2}} {dt^2} + \frac {q^2 B^2}{m^2} v_x = 0 \\ \frac {dv_{y}^{2}}{dt^2} + \frac {q^2 B^2}{m^2} v_y = 0\end{cases}$

che se chiamiamo $\omega = \frac {qB}{m}$ capiamo che è un moto circolare uniforme con velocità angolare costante ω e componenti della velocità lineare:

$\begin{cases} v_x = v_0 cos \omega t \\ v_y = v_0 sin \omega t \end{cases}$

con traiettoria una circonferenza di raggio $R = \frac {m v_0}{qB}$ percorsa con periodo $T = \frac {2\pi} {\omega} = \frac {2\pi m}{qB}$.

Infatti, per il 2º principio della dinamica la forza di Lorentz produce un'accelerazione, che ha il suo stesso verso e direzione. Essendo la forza sempre perpendicolare al campo $\vec B$ e alla velocità $\vec v$, l'accelerazione è centripeta e possiamo scrivere che:

$q \cdot v \cdot B = \frac {m v^2}{r}$.

Il periodo si ricava dalla definizione di velocità come rapporto di tempo e spazio percorso, sostituendo la precedente formula in:

$\frac {1}{T} = \frac {v}{2 \pi r}$.

Tenuto conto che il campo magnetico è uniforme per ipotesi, vale la conservazione della carica (principio di Franklin) e della massa, e che la forza di Lorentz lascia inalterata la velocità, il raggio di curvatura e il periodo del moto sono costanti e la carica si muove su un piano descrivendo un cerchio.

Il periodo non dipende dalla velocità (che si semplifica nel calcolo). L'ultima relazione lega periodo, raggio di curvatura e velocità che in un moto uniforme è costante. Una velocità costante è ottenibile anche con un raggio di curvatura e un periodo che variano di pari passo: se massa e/o carica sono variabili, la carica descrive un'elica e si muove lungo un vortice o cono in cui il raggio di curvatura si restringe fino a collassare nel vertice e il periodo a ridursi ad un istante. In questo movimento elicoidale della carica, diviene ben visibile l'effetto dell'accelerazione centripeta esercitata dalla forza di Lorentz.

La variazione di massa avviene quando si muove a velocità che sono dell'ordine di grandezza della velocità della luce.

Riepilogando, la carica immersa in un campo magnetico uniforme subisce una forza deflettente che ne incurva la traiettoria, e assume un moto circolare uniforme con la velocità iniziale, e un raggio di curvatura e un periodo costanti.

Filo percorso da corrente in un campo magnetico uniforme

Dal caso generale al caso particolare in cui il calcolo della forza di Lorentz su un filo percorso da corrente I immerso in un campo magnetico uniforme cioè $\vec B = costante$ in direzione qualunque. In questo caso infatti l'integrale su un tratto finito di filo l si riduce a:

$\vec F = I \int_l d\vec l \times \vec B = I \cdot l \cdot B \sin \alpha \cdot \vec n$

dove $\vec n$ è il versore ortogonale al piano individuato da $\vec B$ e $d\vec l$ e α l'angolo formato da questi due vettori.

Conduttori paralleli in campo magnetico uniforme

Esempio di induzione magnetica: ogni conduttore percorso da corrente sviluppa un campo magnetico coerente con la corrente che lo attraversa in modulo, direzione e verso; ponendo due conduttori percorsi da corrente, paralleli e a distanza tale che ognuno risenta il campo magnetico prodotto dall'altro conduttore per effetto della Forza di Lorentz, si ottiene il seguente effetto.

Se i due conduttori paralleli sono percorsi dalla corrente nello stesso verso, il campo magnetico prodotto dal conduttore sull'altro svilupperà una forza di attrazione verso l'altro conduttore e viceversa, con il risultato che i conduttori si avvicineranno; altrimenti, se i conduttori sono percorsi in versi opposti, le forze sviluppate saranno di repulsione e i conduttori si allontaneranno.

Applicazioni

La forza di Lorentz ricorre in:

• Altoparlanti
• Ciclotroni e altri particolari acceleratori di particelle
• Generatori omopolari
• Magnetron
• Spettrometro di massa
• Spinning Plasma
• Microscopio elettronico (per la focalizzazione degli elettroni)

La forza di Lorentz può inoltre agire su un conduttore di corrente (in questo caso è chiamata forza di Laplace) mediante l'interazione tra gli elettroni conduttori e gli atomi del materiale conduttore. Questo serve in particolare nei generatori elettrici e nei motori elettrici

Voci correlate

• Campo magnetico
• Corrente elettrica
• Elettromagnetismo
• Equazioni di Maxwell
• Trasformazione di Lorentz

Altri progetti

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