Energia potenziale

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In fisica, l'energia potenziale di un oggetto è l'energia che esso possiede a causa della sua posizione o della sua orientazione rispetto a un campo di forze.[1] Nel caso si tratti di un sistema, l'energia potenziale può dipendere dalla disposizione degli elementi che lo compongono.[2] Si può vedere l'energia potenziale anche come la capacità di un oggetto (o sistema) di trasformare la propria energia in un'altra forma di energia, come ad esempio l'energia cinetica.

Il termine "energia potenziale" fu coniato da Rankine[3][4] nel 1853. Nel sistema internazionale è misurata in joule (J).

Si tratta di una funzione scalare delle coordinate dell'oggetto nel sistema di riferimento utilizzato. Dato un campo vettoriale conservativo, l'energia potenziale è la sua capacità di compiere lavoro: il lavoro relativo ad una forza che agisce su un oggetto è l'integrale di linea di seconda specie della forza valutato sul cammino compiuto dall'oggetto, e se essa è conservativa il valore di questo integrale non dipende dal tipo di cammino seguito. Quando si ha a che fare con forze conservative si può definire un potenziale scalare, che talvolta viene fatto coincidere con l'energia potenziale, definito in tutto lo spazio. In particolare, dal punto di vista matematico tale potenziale esiste solo se la forza è conservativa, e del resto si assume che per tutte le forze conservative si può sempre definire fisicamente un'energia potenziale.

L'energia potenziale può essere definita anche per il campo magnetico, che non è conservativo, in assenza di correnti elettriche. In tal caso, infatti, il rotore del campo è nullo.[5] L'energia potenziale magnetica di un magnete in un campo magnetico è definita come il lavoro della forza magnetica (il momento meccanico) nel ri-allineare il momento di dipolo magnetico.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Se in una regione di spazio sono presenti una qualche forza ed un oggetto che è sensibile alla presenza della forza, l'energia potenziale (associata alla forza) posseduta dall'oggetto è definita come la differenza tra l'energia che esso possiede a causa della forza in una data posizione nello spazio e l'energia posseduta in una posizione scelta come riferimento. Spesso nella posizione scelta come riferimento l'energia potenziale è nulla.

Data una forza \mathbf {F}, il lavoro W lungo una curva C è dato in generale dalla relazione:

W = \int_{C} \mathbf {F} \cdot \mathrm{d}\bold{x}

che in forma locale si scrive:

\delta W = \mathbf {F} \cdot \mathrm{d}\bold{x}

Nel caso il campo di forze sia conservativo, il lavoro non dipende dal tipo di percorso compiuto, ma soltanto dall'entità della forza agli estremi del cammino (gli estremi di integrazione): il differenziale \delta W è allora un differenziale esatto, e il campo conservativo corrisponde (per definizione) al gradiente di un campo scalare, chiamato potenziale. In questo caso, se l'oggetto si sposta da un punto \mathbf r_A ad un punto \mathbf r_B la forza esercitata dal campo compie un lavoro pari all'opposto -\Delta U della differenza \Delta U = U(\mathbf r_B) - U(\mathbf r_A) tra l'energia potenziale posseduta dall'oggetto nelle due posizioni iniziale e finale:

W = \int_A^B \mathbf {F} \cdot \mathrm{d}\bold{x} = -[U(\mathbf r_B) - U(\mathbf r_A)] = -\Delta U

Il motivo del segno meno, per cui il lavoro è pari all'opposto dell'energia, è il fatto che in questo modo ad un lavoro positivo corrisponde una riduzione del potenziale. Poiché è possibile fissare arbitrariamente il livello zero dell'energia potenziale, essa viene definita a meno di una costante additiva. Nel caso più semplice, in cui il moto si svolge in una sola direzione, l'energia potenziale di una forza conservativa è pari ad una qualche primitiva della forza, cambiata di segno:

F(x)=-\frac{\operatorname d}{\operatorname dx}U(x) \qquad U(x)=-\int_{x_0}^xF(\xi )\operatorname d\xi + U(x_0)

dove U(x_0) è la costante additiva. Fissando x_0 si determina qual è la primitiva, e pertanto si rende necessario imporre delle condizioni al contorno: per le forze nulle all'infinito si utilizza la condizione al contorno di Dirichlet U(\infty)=0, detta condizione di località.

Nel caso tridimensionale, se il dominio è un insieme stellato il lemma di Poincaré fornisce una condizione sufficiente e necessaria affinché nel punto (x,y,z) la forza sia l'opposto - \nabla U del gradiente \nabla U di un potenziale scalare U (ovvero sia conservativa):

\mathbf F (x,y,z) = -\nabla U (x,y,z)

Inoltre, l'integrale si può separare:

 U(x,y,z)= -\int_{(0,0,0)}^{(x,y,z)} \mathbf F \ \cdot \ \mathbf {\operatorname ds} \ + \ \mathrm{cost} = - \ \int_{x_0}^x \mathbf F(t, 0, 0) \ \cdot \  \mathbf e_1 \operatorname dt \ - \ \int_{y_0}^y \mathbf F(x, t, 0)  \ \cdot \ \mathbf e_2 \operatorname dt \ - \ \int_{z_0}^z \mathbf F(x,y,t) \ \cdot  \ \mathbf e_3 \operatorname dt \ + \ \mathrm{cost}

dove il punto (0,0,0) è scelto arbitrariamente e i vettori \mathbf e_1, \mathbf e_2 e \mathbf e_3 sono i versori canonici di \R^3.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

 U(h) = mgh
essendo g = 9,81 m/s² l'intensità dell'accelerazione di gravità.
  • Se, invece, la distanza di una massa m dalla superficie terrestre (o di qualunque altro corpo celeste) è arbitraria (il corpo non è posto vicino alla superficie) allora l'energia potenziale ad una distanza \mathbf r dal centro del corpo celeste è definita dalla relazione generale:
 U(\mathbf r) = -G \, \tfrac {Mm}{| \mathbf r |}
dove G è la costante di gravitazione universale e M la massa della terra o del corpo celeste. In quest'ultima il livello di zero di U è posto a distanza infinita dal corpo celeste, e di conseguenza i valori di U sono sempre negativi.
 U(\mathbf r) = \tfrac{1}{4 {\pi} {\epsilon_0}} \tfrac{Qq}{| \mathbf r |}
essendo \epsilon_0 la costante dielettrica del vuoto. Nello studio dei fenomeni elettrici è di uso frequente il potenziale della forza, il potenziale elettrico, definito come l'energia potenziale per unità di carica elettrica:
V=\tfrac{U}{q}
F = - {k}{x}
dove k è la costante elastica della molla e x l'allungamento (o accorciamento). In tale caso l'energia potenziale è:
U(x) = \tfrac {1}{2}\, {k} {x}^2

Esempio numerico[modifica | modifica wikitesto]

Una forza di posizione agente su un punto materiale qualsiasi dello spazio tridimensionale in un sistema di riferimento viene definita in particolare come:

\mathbf F=(2xy-\sin(yz),x^2-xz\cos (yz) ,-xy\cos(yz)+3e^z)

dove x, y, z sono le coordinate cartesiane di un generico punto nel riferimento, e agisce su un punto materiale di massa m.

Si nota subito che questa forza è di tipo non locale, in quanto non è nulla all'infinito:

{\lim_{x,y,z \to \infty} 2xy-\sin(yz) \neq 0 \qquad  \lim_{x,y,z \to \infty} x^2-xz\cos (yz) \neq 0  \qquad  \lim_{x,y,z \to \infty} -xy\cos(yz)+3e^z \neq 0} = T

Il calcolo del lavoro della forza lungo la curva \Gamma parametrizzata da:

\lambda(t)=(t^2-4, \sin(t), \frac{1}{1+t^2/\pi^2}) \qquad t\in [0:\pi]

avviene tramite un integrale curvilineo, oppure controllando che possa esistere una funzione energia potenziale associata alla forza \mathbf F. La forza è definita su tutto \mathbb{R}^3.Per il lemma di Poincaré se il campo è irrotazionale esiste una funzione energia potenziale associata. Il rotore di \mathbf F è:

\nabla \times \mathbf F = \mathbf i \ (-x\cos(yz)-xyz\sin(yz)+x\cos(yz)+xyz\sin(yz)) + \mathbf j \ (-y\cos(yz)+y\cos(yz)) + \mathbf k(2x-z\cos(yz)-2x+z\cos(yz)) = 0

Il campo è quindi conservativo: ciò significa che il lavoro compiuto dalla forza non dipende dalla traiettoria del corpo. La funzione energia potenziale si calcola nel seguente modo:

U(x,y,z)=- \int_0^x\mathbf F(\tau, 0, 0)\cdot \mathbf e_1 \operatorname d\tau +\int_0^y\mathbf F(x, \tau, 0) \cdot \mathbf e_2 \operatorname d\tau +\int_0^z\mathbf F(x,y,\tau)\cdot \mathbf e_3 \operatorname d\tau=
= - \int_0^x(2\tau \cdot 0+0)\operatorname d\tau+\int_0^y(x^2-0)\operatorname d\tau+\int_0^z\left(-xy\cos(y\tau)+3e^\tau \right)\operatorname d\tau=-x^2y+x\sin(yz)-3e^z + \mathrm{cost}

Imponendo la condizione di località:

\lim_{x,y,z \to \infty} -x^2y+x\sin(yz)-3e^z + \mathrm{cost}=0 \rightarrow \mathrm{cost} = \infty

Risulta quindi che il campo di energia potenziale è di tipo non locale (come anche la forza che la origina). Chiamando:

A=\lambda(0)=(-4,0,1) e B=\lambda(\pi)=(\pi^2-4, 0, 1/2)

il lavoro compiuto dalla forza lungo la traiettoria \Gamma è funzione dei soli estremi del percorso e pari a:

L_{\Gamma}= L_{AB}=U(A)-U(B)=3(\sqrt{e}-1)

Come si vede l'imposizione della condizione di località non ha alcun influsso sul lavoro (né l'avrebbe sulla forza). Inoltre, se la forza \mathbf F è l'unica forza presente, si conserva l'energia meccanica del sistema E, anche se risulta infinita:

E=T+U=\frac{1}{2}m \left( \dot x^2+\dot y^2+\dot z^2\right)-x^2y+x\sin(yz)-3e^z + \infty = \mathrm{cost} = +\infty

e quindi la conservatività della quantità meccanica:

\frac{1}{2}m \left( \dot x^2+\dot y^2+\dot z^2\right)-x^2y+x\sin(yz)-3e^z=\mathrm{cost}

non dipende dalla condizione di località.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) IUPAC Gold Book, "potential energy"
  2. ^ (EN) Mahesh C. Jain, Textbook of Engineering Physics (Part I), PHI Learning Pvt. Ltd., 2009, p. 10, ISBN 81-203-3862-6., Chapter 1, p. 10
  3. ^ (EN) William John Macquorn Rankine (1853) "On the general law of the transformation of energy," Proceedings of the Philosophical Society of Glasgow, vol. 3, no. 5, pages 276-280.
  4. ^ (EN) Crosbie Smith, The Science of Energy - a Cultural History of Energy Physics in Victorian Britain, The University of Chicago Press, 1998, ISBN 0-226-76420-6.
  5. ^ Un campo conservativo è sempre irrotazionale, mentre un campo irrotazionale è conservativo se l'insieme in cui esso è definito è un insieme aperto stellato, o più in generale un insieme semplicemente connesso, come stabilisce il lemma di Poincaré.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Richard Feynman, La fisica di Feynman, Bologna, Zanichelli, 2001.:
    • Vol I, par. 14-3: Forze conservative
    • Vol I, par. 14-5: Potenziali e campi
  • (EN) Feynman, Richard P., 14: Work and potential energy in The Feynman Lectures on Physics, Vol. I, Basic Books, 2011, (14 -) 6 -14, ISBN 978-0-465-02493-3.
  • (EN) Serway, Raymond A.; Jewett, John W., Physics for Scientists and Engineers (8th ed.), Brooks/Cole cengage, 2010, ISBN 1-4390-4844-4.
  • (EN) Tipler, Paul, Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.), W. H. Freeman, 2004, ISBN 0-7167-0809-4.

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