Energia potenziale

In meccanica, l'energia potenziale di un sistema è una funzione scalare delle coordinate nel sistema di riferimento che laddove esista rappresenti l'energia conferita da un campo di forze al sistema.
Il termine fu coniato da Rankine nel 1853. Nel sistema internazionale di unità di misura è quindi misurata in Joule (J).

Definizione

Si definisce energia potenziale la differenza di energia posseduta da un oggetto in una data posizione nello spazio e l'energia posseduta dallo stesso in una posizione di riferimento.
In termini matematici la definizione è espressa dall'uguaglianza tra l'opposto della variazione di energia potenziale ΔU ed il lavoro W compiuto dal campo:

$\,W = -\Delta U = -[U(\mathbf r_B) - U(\mathbf r_A)]$

dove il lavoro è dato in generale dalla relazione

$W = \int_{C} \bold{F} \cdot \mathrm{d}\bold{x}$

che in forma differenziale si scrive:

$\delta W = \bold{F} \cdot \mathrm{d}\bold{x}$

in cui $\bold{F}$ è la forza esercitata dal campo.
La definizione è in accordo con la legge di conservazione dell'energia, e si tratta di un differenziale inesatto dal momento che in generale il calcolo del lavoro lungo il percorso dipende dal percorso stesso.
Nel caso di un campo di forze conservativo il lavoro non dipende dal percorso compiuto, ma soltanto dagli estremi di integrazione: il differenziale è allora esatto, e se l'oggetto si sposta da un punto A, definito da un vettore posizione r_A, ad un punto B, definito da r_B, la forza esercitata dal campo compie un lavoro pari all'opposto dell'energia potenziale posseduta dall'oggetto nelle due posizioni, indipendentemente dal percorso seguito.

L'energia potenziale è definita a meno di una costante additiva, è quindi possibile fissare arbitrariamente il livello zero dell'energia potenziale in corrispondenza di particolari posizioni r.

Sistemi ad un grado di libertà

Per sistemi ad un grado di libertà l'energia potenziale di una forza conservativa è pari ad una primitiva della forza, cambiata di segno:

$F(x)=-\frac{dU(x)}{dx}$

$U(x)=-\int_{x_0}^xF(\xi )d\xi + U(x_0)$

Il valore dell'energia potenziale in x₀ è definito arbitrariamente dal punto di vista matematico; per scegliere da questa classe la funzione con significato fisico più umanamente comprensibile si impone una particolare condizione al contorno di Dirichlet, detta condizione di località:

$U(\infty)=0$.

Si noti tuttavia che questa condizione ha senso soltanto per le forze locali (nulle all'infinito), ed è necessaria solamente al confronto energetico locale (punto per punto) fra sistemi diversi, ma diviene ininfluente nell'analisi dinamica (newtoniana e lagrangiana) dei sistemi. Ciò viene chiarito anche numericamente più avanti.

Sistemi a più gradi di libertà

Nel caso di più gradi di libertà (es. una particella nello spazio tridimensionale) prima di poter calcolare l'energia potenziale bisogna essere sicuri che la forza sia gradiente di un potenziale scalare. Se il dominio è stellato, una condizione sufficiente e necessaria è data dal lemma di Poincaré.

Una volta garantita l'esistenza si risale all'energia potenziale tramite un'integrazione su un cammino tridimensionale, che per comodità il più delle volte è una spezzata: infatti caratteristica dei campi conservativi è che il lavoro della forza tra due punti O e P non dipende dalla curva su cui si calcola l'integrale. Abbiamo:

$F(x,y,z)=-\nabla U(x,y,z)$

$U(x,y,z)=-\int_{O}^{P}\vec F \cdot \vec {ds}+cost$

In particolare lungo una spezzata con i segmenti paralleli agli assi cartesiani:

$U(x,y,z)=-\int_0^x\vec F(\tau, 0, 0)\cdot \vec e_1 d\tau -\int_0^y\vec F(x, \tau, 0) \cdot \vec e_2 d\tau -\int_0^z\vec F(x,y,\tau)\cdot \vec e_3 d\tau +cost$

dove il punto O=(0,0,0) è stato scelto arbitrariamente, come nel caso unidimensionale, e $\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3$ sono i versori canonici di $\mathbb {R}^3.$

Esempi di campi conservativi

Elenchiamo qui di seguito alcune forze locali conservative:

1. la forza di gravità, cui corrisponde l'energia potenziale gravitazionale.
   • Un corpo di massa m, in prossimità della superficie terrestre, posto ad un'altezza h rispetto ad una quota di riferimento scelta arbitrariamente, ha un'energia potenziale U(h) = mgh
     essendo g (9,81 m/s²) l'accelerazione di gravità.
   • Se la distanza di un corpo di massa m dalla superficie terrestre (o di qualunque altro corpo celeste) è tale da non poter trascurare le variazioni della forza gravitazionale con la distanza, allora l'energia potenziale ad una distanza r dal centro del corpo celeste è definita da $U(r) = -G \, \tfrac {Mm}{r}$
     dove G è la costante di gravitazione universale e M la massa della terra o del corpo celeste. In quest'ultima il livello di zero di U è posto a distanza infinita dal corpo celeste; di conseguenza i valori di U sono sempre negativi.
     
2. la forza di Coulomb, che ammette un'energia potenziale elettrica: una carica q posta a distanza r dalla carica Q generatrice del campo, possiede un'energia potenziale $U(r) = \tfrac{1}{4 {\pi} {\epsilon_0}} \tfrac{Qq}{r}$, essendo ε_o la costante dielettrica del vuoto. Nello studio dei fenomeni elettrici è tuttavia di uso più frequente il potenziale elettrico, definito come energia potenziale per unità di carica elettrica: $V=\tfrac{U}{q}$
   
3. la forza elastica se segue la legge di Hooke F = − kx (essendo k la costante elastica della molla e x l'allungamento o accorciamento). In tale caso l'energia potenziale è $U(x) = \tfrac {1}{2}\, {k} {x}^2$

Esempio numerico

Una forza di posizione agente su un punto materiale qualsiasi dello spazio tridimensionale in un sistema di riferimento viene definita in particolare come:

$\mathbf F=(2xy-\sin(yz),x^2-xz\cos (yz) ,-xy\cos(yz)+3e^z)$

dove x,y,z sono le coordinate cartesiane di un generico punto nel riferimento, e agisce su un punto materiale di massa m.

Si nota subito che questa forza è di tipo non locale, in quanto non è nulla in un intorno dell'infinito:

${\lim_{x,y,z \to \infty} 2xy-\sin(yz) \neq 0 \or \lim_{x,y,z \to \infty} x^2-xz\cos (yz) \neq 0 \or \lim_{x,y,z \to \infty} -xy\cos(yz)+3e^z \neq 0} = T$

Il calcolo del lavoro della forza lungo la curva Γ parametrizzata da

$\lambda(t)=(t^2-4, \sin(t), \frac{1}{1+t^2/\pi^2})$ con $t\in [0:\pi]$

avviene tramite un integrale curvilineo, oppure controllando che possa esistere una funzione energia potenziale associata alla forza F. La forza è definita su tutto $\mathbb{R}^3$: per il lemma di Poincaré se il campo è irrotazionale esiste una funzione energia potenziale associata. Calcoliamo il rotore di F:

$\nabla \times \mathbf F=\hat i(-x\cos(yz)-xyz\sin(yz)+x\cos(yz)+xyz\sin(yz))+\hat j(-y\cos(yz)+y\cos(yz))+\hat k(2x-z\cos(yz)-2x+z\cos(yz))=0$

Il campo è quindi conservativo: ciò significa che il lavoro compiuto dalla forza non dipende dalla traiettoria del corpo. Calcoliamo la funzione energia potenziale:

$U(x,y,z)=- \int_0^x\mathbf F(\tau, 0, 0)\cdot \mathbf e_1 d\tau +\int_0^y\mathbf F(x, \tau, 0) \cdot \mathbf e_2 d\tau +\int_0^z\mathbf F(x,y,\tau)\cdot \mathbf e_3 d\tau=$

$= - \int_0^x(2\tau \cdot 0+0)d\tau+\int_0^y(x^2-0)d\tau+\int_0^z\left(-xy\cos(y\tau)+3e^\tau \right)d\tau=-x^2y+x\sin(yz)-3e^z + cost$-

mettiamo di volere imporre la condizione di località: $\lim_{x,y,z \to \infty} -x^2y+x\sin(yz)-3e^z + cost=0 \rightarrow cost = \infty$ Risulta quindi che il campo di energia potenziale è di tipo non locale (come anche la forza che la origina). Chiamando A = λ(0) = ( − 4,0,1) e B = λ(π) = (π² − 4,0,1 / 2), abbiamo che il lavoro compiuto dalla forza lungo la traiettoria Γ è funzione dei soli estremi del percorso e pari a:

$L_{\Gamma}= L_{AB}=U(A)-U(B)=3(\sqrt{e}-1)$

Come si vede l'imposizione della condizione di località non ha alcun influsso sul lavoro (né l'avrebbe sulla forza). Inoltre, se la forza F è l'unica forza presente, si conserva l'energia meccanica del sistema E, anche se risulta infinita:

$E=T+U=\frac{1}{2}m \left( \dot x^2+\dot y^2+\dot z^2\right)-x^2y+x\sin(yz)-3e^z + \infty = cost (+\infty)$,

e quindi la conservatività della quantità meccanica:

$\frac{1}{2}m \left( \dot x^2+\dot y^2+\dot z^2\right)-x^2y+x\sin(yz)-3e^z=cost$,

non dipende dalla condizione di località.

Voci correlate

• Superficie di energia potenziale

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