Insieme stellato

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Un esempio di insieme stellato.

In matematica, un insieme S nello spazio euclideo Rn si dice stellato (o stellato-convesso) se esiste almeno un punto x_0 in S tale che per tutti i punti x in S il segmento da x_0 a x è contenuto in S. Un tale x_0 si dice centro e, se esiste, può non essere unico.

Questa definizione è generalizzabile per ogni spazio vettoriale reale o complesso. In uno spazio vettoriale V su Rn un insieme A si dice stellato se esiste almeno un punto x \in A tale che per ogni altro punto y \in A il segmento che li congiunge, cioè l'insieme \{x+t(y-x):t \in [0,1]\}, è interamente contenuto in A.

Sottoinsieme stellato A di \mathbb{R}^2. Ogni punto della porzione in viola è un centro e l'insieme dei centri è un convesso.

Intuitivamente, se si immagina S come una regione circondata da un recinto, S è un insieme stellato se si può trovare un punto di vista x_0 in S dal quale qualunque punto x di S è visibile (cioè compreso nella linea dello sguardo).

Un particolare caso di insieme stellato è quello di insieme convesso, per il quale vale una condizione più forte: tutti i segmenti aventi per estremi una qualsiasi coppia di punti x,y \in A sono interamente contenuti nell'insieme. Dunque un convesso è uno stellato che ha un centro in ogni suo punto.

Un campo irrotazionale definito su un dominio stellato è un conservativo.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Qualunque linea o piano in Rn è un dominio stellare.
  • Una linea o piano di cui si esclude un punto non sono domini stellari.
  • Se A è un insieme in Rn, l'insieme
B= \{ ta : a\in A, t\in[0,1] \}
ottenuto connettendo qualunque punto in A all'origine è un dominio stellare.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Un insieme stellato non è necessariamente convesso in senso ordinario.
  • Ogni insieme convesso è un insieme stellato, mentre non è valido il viceversa.
  • Un insieme è convesso se e solo se è un insieme stellato rispetto a tutti i punti dell'insieme.
  • La chiusura di un insieme stellato è un insieme stellato, ma l'interno di un insieme stellato non è necessariamente un insieme stellato.
  • L'unione e l'intersezione di due insiemi stellati non sono necessariamente un insieme stellato.
  • Una figura a forma di stella o croce è un insieme stellato, ma non è convesso.
  • Un insieme stellato non vuoto S in Rn è diffeomorfo a Rn.
  • Ogni insieme stellato è uno spazio contraibile, attraverso un'omotopia che è una retta. In particolare, quindi, ogni insieme stellato è semplicemente connesso.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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