Potenziale scalare

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In matematica e fisica, in particolare nel calcolo vettoriale, il potenziale scalare è un campo scalare il cui gradiente è un campo vettoriale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Dato un campo vettoriale \mathbf F : \Omega \subseteq \mathbb{R}^{k} \to \mathbb{R}^{k}, il potenziale scalare è una funzione \Phi : \Omega \to \mathbb{R} tale che:

\nabla \Phi = - \mathbf F

ovvero il gradiente di \Phi è il campo stesso. Se il gradiente esiste, il campo vettoriale è un campo conservativo.

In modo equivalente, se \mathbf F è conservativo (il suo rotore è nullo) e le sue componenti hanno derivate parziali continue, il potenziale di \mathbf F in \mathbf r rispetto alla posizione \mathbf r_0 è dato dall'integrale di linea:

\Phi(\mathbf r) = -\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = -\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt

dove C è una curva parametrizzata che congiunge \mathbf r_0 a \mathbf r:

 a\leq t\leq b \qquad \mathbf{r}(a)=\mathbf{r_0} \qquad \mathbf{r}(b)=\mathbf{r}

In tre dimensioni, ponendo \mathbf r = (x,y,z) e \mathbf r_0 = (0,0,0) si ha:

\Phi(x,y,z) - \Phi(0,0,0) = - \int_{(0,0,0)}^{(x,0,0)} F_x(t,0,0)dt - \int_{(x,0,0)}^{(x,y,0)} F_y(x,t,0)dt - \int_{(x,y,0)}^{(x,y,z)} F_z(x,y,t)dt

e le componenti di \mathbf F sono:

F_x(x,y,z) = - \frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,y,z)
F_y(x,y,z) = - \frac{\partial \Phi}{\partial y}(x,y,z)
F_z(x,y,z) = - \frac{\partial \Phi}{\partial z}(x,y,z)

ovvero le derivate parziali del potenziale rispetto alla variabile x, y e z. Integrando ambo i membri di ogni equazione del sistema si ha un sistema di equazioni differenziali che hanno come soluzione una classe di funzioni definite a meno di una costante C.

Il potenziale è sempre definito a meno di una costante moltiplicativa arbitraria ed è quindi proporzionale all'energia potenziale di un corpo immerso nel campo. La costante di proporzionalità è la stessa che si ha tra l'intensità del campo e la forza agente sul corpo.

Potenziale gravitazionale[modifica | modifica wikitesto]

Secondo la legge di gravitazione universale di Newton, il campo gravitazionale esercitato da un corpo puntiforme di massa M, che per semplicità consideriamo posto nell'origine degli assi cartesiani, è:

\mathbf{g}(\mathbf{r}) = - G M \frac{\mathbf{r}}{r^3}

dove r è il modulo di \mathbf{r}, mentre G è la costante di gravitazione universale. Di conseguenza il potenziale (per unità di massa) ha l'espressione:

U(\mathbf{r}) =  \frac{G M}{r} + C

Per convenzione, la costante additiva C si pone uguale a zero: questo corrisponde a fissare la condizione al contorno che il potenziale si annulli per r tendente all'infinito (tende invece all'infinito per r tendente a zero).

Quando si consideri una regione limitata nei pressi della superficie terrestre, il campo gravitazionale della Terra si può approssimare con un vettore costante diretto verticalmente verso il basso. In questo caso l'espressione del potenziale è:

U(z) = gz + C \

dove g è il valore dell'accelerazione di gravità sulla superficie terrestre, pari a circa 9.8 m s-2. La costante C si determina fissando una quota di riferimento alla quale il potenziale è nullo.

Potenziale elettrostatico[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Campo elettrico.

Il campo elettrostatico ammette un potenziale elettrico, mentre nel caso generale il campo elettrico è funzione anche della variazione temporale del potenziale magnetico:

\mathbf E = - \nabla V - \frac {\partial \mathbf A}{\partial t}

Il potenziale elettrico corrisponde al valore dell'energia potenziale associato ad una carica puntiforme per unità di carica elettrica, poiché il campo magnetico non ammette energia potenziale. L'energia potenziale della carica è il livello di energia che la carica possiede a causa della sua posizione all'interno del campo elettrico; pertanto il potenziale elettrico della carica di prova è il rapporto tra l'energia potenziale e il valore della carica stessa, cioè:

\operatorname V=\frac{U}{q}

L'unità di misura del potenziale elettrico è il volt: tra due punti A e B di una regione di spazio sede di un campo elettrico c'è una differenza di potenziale di 1 V se la forza elettrica compie il lavoro di 1 J per portare una carica di 1 C da A a B.

Diffusività materiale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Diffusività di materia.

La velocità in un mezzo diffusivo ammette un potenziale cinetico detto diffusività, mentre nel caso generale la velocità è funzione anche di altri parametri legati al suo rotore:

\mathbf v = - \nabla D + \Delta v.

Nel caso diffusivo si dimostrano valide le leggi di Fick.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
  • (EN) George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6th edition, Elsevier Academic Press (2005)
  • (EN) D. J. Acheson, Elementary Fluid Dynamics, Oxford University Press (2005)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]