Teorema del guscio sferico

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Nella meccanica classica, il teorema del guscio sferico (o semplicemente teorema del guscio) consente di semplificare lo studio della gravitazione in presenza di corpi con simmetria sferica.

Formulato da Isaac Newton, che elaborò la teoria della gravitazione universale, esso si compone di due affermazioni:

  1. un guscio sferico di massa M, avente densità uniforme, esercita su una particella esterna una forza gravitazionale pari a quella di una particella puntiforme di massa M posta nel suo centro;
  2. la forza gravitazionale esercitata da un guscio sferico avente densità uniforme su una particella posta al suo interno è nulla.

La sua dimostrazione si deve a Carl Friedrich Gauss che applicò il suo importante teorema del flusso, tuttavia lo stesso Newton lo aveva dimostrato ed usato per spiegare a Robert Hooke la sua teoria della gravitazione, senza però mai metterlo per iscritto.

Il teorema, pur essendo stato sviluppato per la forza gravitazionale, si applica anche alla forza elettrostatica e a qualsiasi fenomeno in cui la forza dipende dall'inverso del quadrato della distanza.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Prima affermazione[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un guscio sferico di raggio R e spessore infinitesimo e una particella di massa m posta a distanza r dal centro del guscio. Possiamo considerare il guscio come costituito da una serie di anelli di raggio R\sin\theta, spessore Rd\theta e massa dM, con 0 \leq \theta \leq \pi (vedi figura a lato).

Per la legge della Gravitazione, la forza di attrazione esercitata da ciascuno di questi anelli è

dF = \frac{Gm \;dM}{s^2} \cos \phi

ed è diretta lungo r, in quanto per la simmetria dell'anello le componenti della forza perpendicolari ad r si annullano.

La forza totale esercitata dal guscio è data da:

F = \int dF = Gm \int \frac{dM \cos\phi} {s^2}

occorre ora esprimere  dM e \cos\phi in funzione di s, per poter calcolare l'integrale, che avrà per estremi s = r - R e s = r + R.

Shell-diag-1.png

La superficie totale di un guscio sferico è

4\pi R^2

mentre quella dell'anello tra θ and θ + è

2\pi R^2\sin\theta \,d\theta

Se  M è la massa totale del guscio sferico, quella dell'anello risulta quindi:

dM = \frac {2\pi R^2\sin\theta }{4\pi R^2} M\,d\theta = \textstyle\frac{1}{2} M\sin\theta \,d\theta

Per la legge del coseno (o teorema di Carnot) ed altre semplici considerazioni trigonometriche si ha che

\cos\phi = \frac{r^2 + s^2 - R^2}{2rs}
\cos\theta = \frac{r^2 + R^2 - s^2}{2rR}.

Differenziando la seconda equazione rispetto a \theta e s si ottiene inoltre che

\sin\theta \,d\theta = \frac{s}{rR}\,ds

Possiamo quindi esprimere l'integrale rispetto alla variabile s, ed otteniamo

F = \frac{GMm}{4r^2 R} \int_{r-R}^{r+R} \left( 1 + \frac{r^2 - R^2}{s^2} \right) ds.

Il valore dell'integrale è 4R, quindi si ottiene che

 F = G \frac{Mm}{r^2}

che è la forza esercitata da una particella di massa M posta a distanza r (ovvero al centro del guscio) dalla particella m, come volevamo dimostrare.

Seconda affermazione[modifica | modifica wikitesto]

Punto all'interno di un guscio infinitesimo

Suddividiamo il guscio in gusci di spessore infinitesimo dS. Sia P una massa puntiforme all'interno del guscio infinitesimo. Se facciamo passare per P un cono di semiapertura (infinitesima) α il suo asse incontra il guscio nei punti A e B. L'area della superficie del guscio sferico contenuta all'interno del cono dalla parte di A sarà proporzionale al quadrato della distanza PA. Lo stesso dicasi per B. Detta σ la densità, la massa dei due volumetti sarà, rispettivamente

m_A=\sigma \pi \left ( PA \, \operatorname{tan}\alpha \right)^2 \times dS
m_B=\sigma \pi \left ( PB \, \operatorname{tan}\alpha \right)^2 \times dS

Se ora calcoliamo la forza gravitazionale esercitata dai due volumetti su P, detta m_P la sua massa, abbiamo

F_A=G  \frac {m_P \times m_A}{PA^2}=G m_P \times \sigma \pi  \operatorname{tan}^2 \alpha \times dS
F_B=G  \frac {m_P \times m_B}{PB^2}=G m_P \times \sigma \pi  \operatorname{tan}^2 \alpha \times dS

Dato che le due forze agiscono nella stessa direzione, ma sono di verso opposto, essendo uguali in modulo, si annullano, annullando dunque l'influenza del guscio infinitesimo. Con una semplice operazione, estendendo l'integrale al guscio sferico, si vede che il campo gravitazionale, all'interno del guscio sferico, è nullo.

Potenziale del campo gravitazionale generato da una sfera omogenea[modifica | modifica wikitesto]

Estendendo il discorso ad una sfera omogenea di centro O, per un punto P situato all'interno, agli effetti del campo gravitazionale, deve considerarsi solo la materia contenuta all'interno della sfera di centro O, e raggio OP. La cosa si vede facilmente considerando la sfera più grande di raggio R come composta da un guscio sferico di spessore R-OP e da una sfera di raggio OP.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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