Condizione al contorno

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In matematica, una condizione al contorno (o al bordo) è un insieme di valori cui la soluzione di un'equazione differenziale viene imposto di soddisfare in determinati punti del suo insieme di definizione per risolvere il problema in studio. Normalmente infatti un'equazione differenziale ha un'infinità più che numerabile di soluzioni e l'imposizione di particolari valori da assumere (in quantità variabile a seconda dell'equazione) all'altezza di un qualche punto del dominio consente l'individuazione della soluzione soddisfacente tutte le condizioni, che sarà unica se l'equazione soddisfa certe ipotesi di regolarità. In un modello fisico, le condizioni al contorno descrivono il comportamento del sistema ai bordi della regione di simulazione.

Ci sono molti tipi possibili di condizioni, dipendenti dalla formulazione del problema, dal numero di variabili coinvolte e dalla natura matematica dell'equazione: condizioni imposte al tempo iniziale (t=0) preso come riferimento, o comunque in un punto prefissato del dominio di definizione, danno il nome di ' problema alle condizioni iniziali ' o problema di Cauchy, che sono quelli più diretti da studiare. Altre condizioni possibili sono per esempio un particolare valore da assumere per t → +∞.

Nel caso delle equazioni differenziali alle derivate parziali, le condizioni al contorno si strutturano come imposizioni date alla soluzione su tutto un perimetro o una superficie.

Nella teoria delle EDP ellittiche, famose sono le condizioni al contorno di Dirichlet e quelle di Neumann.

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