Frontiera (topologia)

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In topologia, la frontiera o contorno di un sottoinsieme S di uno spazio topologico X è la chiusura dell'insieme meno il suo interno. Un elemento della frontiera di S è chiamato punto di frontiera di S. Le notazioni usate per indicare la frontiera di un insieme S includono bd(S), fr(S), e \partial S.

Esistono altri due modi equivalenti per definire la frontiera di S e i punti di frontiera di S.

  1. Si definisce frontiera di S l'intersezione fra la chiusura di S e la chiusura del suo complementare.
  2. Si definisce frontiera di S l'insieme dei punti p in X tali che ogni intorno di p contiene almeno un punto di S e almeno un punto non appartenente a S.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • La frontiera di un insieme è chiusa.
  • La frontiera di un insieme è uguale all'intersezione fra la chiusura dell'insieme e la chiusura del suo complemento.
  • Un insieme è chiuso se e solo se la frontiera dell'insieme è contenuta nell'insieme, e aperto se e solo se è disgiunto dalla sua frontiera.
  • La frontiera di un insieme è uguale alla frontiera del suo complemento.
  • La chiusura di un insieme è uguale all'unione dell'insieme con la sua frontiera.
  • La frontiera di un insieme è vuota se e solo se l'insieme è contemporaneamente chiuso e aperto (cioè se è un insieme chiuso-aperto).
  • In  \mathbb{R}^n , ogni insieme chiuso è la frontiera di un insieme.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Consideriamo la usuale topologia dell'asse reale; se X=[0,5), allora secondo \partial X = \{0,5\} .
  • \partial \overline{B}(\mathbf{a}, r) = \overline{B}(\mathbf{a}, r) - B(\mathbf{a}, r)
  • \partial D^n \simeq S^{n-1}
  • \partial \emptyset = \emptyset
  • Se Ω denota il disco caratterizzato dalla disuguaglianza x2+y2 ≤ 1, in R3 si ha ∂Ω = Ω, mentre in R2, ∂Ω = {(x, y) | x2+y2 = 1}. Quindi, la frontiera di un insieme può dipendere dall'insieme in cui è immerso.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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