Teorema della categoria di Baire

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In matematica, il teorema della categoria di Baire è un importante strumento della topologia generale e dell'analisi funzionale. Il teorema è disponibile in due versioni, ciascuna delle quali fornisce una condizione sufficiente affinché uno spazio topologico sia uno spazio di Baire.

Enunciato del teorema[modifica | modifica wikitesto]

Vi sono due versioni del teorema, la prima riguarda gli spazi metrici:

TCB1 Ogni spazio metrico completo non vuoto è uno spazio di Baire. Più in generale, ogni sottoinsieme aperto di uno spazio pseudometrico completo è uno spazio di Baire.

La seconda riguarda i più generali spazi di Hausdorff:

TCB2 Ogni spazio di Hausdorff localmente compatto non vuoto è uno spazio di Baire.

Nessuna delle due proposizioni implica l'altra poiché non necessariamente uno spazio metrico completo è localmente compatto così come uno spazio di Hausdorff localmente compatto non è necessariamente metrizzabile (un esempio è dato dallo spazio di Fort non numerabile).

Un sottoinsieme di uno spazio metrico è mai denso se la sua chiusura ha parte interna vuota. Il teorema di Baire per gli spazi metrici può essere formulato nel modo seguente:

TCB3 Uno spazio metrico completo non può essere unione numerabile di insiemi mai densi.

La seguente versione è largamente utilizzata come teorema di esistenza.

TCB4 In uno spazio metrico completo l'intersezione numerabile di aperti densi è densa.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si fornisce la dimostrazione del teorema nella forma TCB3. Sia (X,d) uno spazio metrico completo e si supponga, per assurdo, che:

X=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n

dove la chiusura \overline{A_n} ha parte interna vuota per ogni n.

Si scelgano  x_1 in  X ed 0<r<1 tali che:

B(x_1,r_1)\cap A_1 =\emptyset

Ciò è possibile perché la chiusura di A_1 ha parte interna vuota. Indicando con B(x,r) la palla aperta in X di centro x e raggio r, è possibile scegliere x_2 in  B(x_1,r_1) e 0<r_2<1/2 tali che:

\overline{B(x_2,r_2)}\subseteq B(x_1,r_1) \qquad B(x_2,r_2)\cap A_2=\emptyset

ed è possibile perché la chiusura di A_2 ha parte interna vuota. Iterando il procedimento si costruiscono quindi una successione (x_n) in X ed una successione (r_n) in \R tali che:

0< r_n < \frac{1}{2^{n-1}} \qquad \overline{B(x_n,r_n)}\subseteq B(x_{n-1},r_{n-1})\qquad B(x_n,r_n)\cap A_n=\emptyset \ \forall n\in \N

ne segue che, per ogni n,m naturali con n,m > N risulta:

d(x_n,x_m)\le \frac{1}{2^{N-1}}

e pertanto la successione (x_n) è di Cauchy e quindi convergente ad un certo x in X. D'altronde, x non è in  A_n per ogni n e pertanto:

x\notin \cup_{n=1}^{\infty} A_n = X

il che è assurdo e quindi il teorema è dimostrato.

Relazione con l'assioma della scelta[modifica | modifica wikitesto]

Le dimostrazioni di entrambe le versioni richiedono l'assioma della scelta; infatti la proposizione che ogni spazio pseudometrico completo è uno spazio di Baire è logicamente equivalente ad una più debole formulazione dell'Assioma della Scelta nota come assioma della scelta dipendente.[1]

Applicazioni del teorema[modifica | modifica wikitesto]

TCB1 è utilizzato nelle dimostrazioni del teorema della funzione aperta, del teorema del grafico chiuso e del principio dell'uniforme limitatezza.

TCB1 mostra inoltre che ogni spazio metrico completo privo di punti isolati è non numerabile (se X è uno spazio metrico completo numerabile privo di punti isolati, allora ogni insieme \{ x \} formato da un punto in X è mai denso e pertanto X stesso è di prima categoria). In particolare, ciò mostra che l'insieme di tutti i numeri reali è non numerabile.

TCB1 mostra che ciascuno dei seguenti insiemi è uno spazio di Baire:

  • L'insieme \R dei numeri reali
  • L'insieme di Cantor
  • Ogni varietà (in quanto insiemi localmente compatti)
  • Ogni spazio topologico omeomorfo ad uno spazio di Baire (per esempio, l'insieme dei numeri irrazionali che non è completo rispetto alla metrica ereditata da \R)

Vi sono anche altre applicazioni importanti di TCB1.[2]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/excerpts/equivdc.gif
  2. ^ Applicazioni e relazioni con fenomeni simili sono riportate in Bwatabaire (il sito è quasi interamente in francese; alcune pagine sono in inglese).

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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