Principio dell'uniforme limitatezza

In matematica, il principio dell'uniforme limitatezza o teorema di Banach-Steinhaus è uno dei risultati fondamentali in analisi funzionale e, insieme con il teorema di Hahn-Banach e con il teorema della funzione aperta, è considerato una delle basi di questa branca dell'analisi. Nella sua forma più semplice, esso afferma che per una famiglia di operatori lineari continui definiti su uno spazio di Banach, la limitatezza puntuale è equivalente alla limitatezza.

Il teorema fu pubblicato per la prima volta nel 1927 da Stefan Banach e Hugo Steinhaus ma fu anche dimostrato indipendentemente da Hans Hahn.

Enunciato

Siano $X$ uno spazio di Banach e $Y$ uno spazio normato. Sia $F$ sia una famiglia di operatori lineari continui da $X$ in $Y$ tale che per tutti gli x in X risulti

$\sup \left\{\,\|Tx\| : T \in F \,\right\} < \infty,$.

Allora

$\sup \left\{\, \|T\| : T \in F \;\right\} < \infty.$

Dimostrazione

Per ogni $n\in\N$ definiamo l'insieme

$A_n \doteq \left\{x\in X: \|Tx\|\le n \ \forall T\in F\right\}$.

Per ipotesi, per ogni $x\in X$ esiste un indice naturale $n=n(x)$ tale che $\|Tx\|\le n\ \forall T\in F$ e, pertanto, si ha $X=\cup_{n=1}^\infty A_n$. Osserviamo che, per la continuità di ogni elemento $T$ di $F$, tutti gli insiemi $A_n$ sono chiusi. Invocando il teorema della categoria di Baire deduciamo che esiste un naturale $m$ tale che $\overline{A}_m=A_m$ ha interno non vuoto, vale a dire che esistono $y\in X$ e $\varepsilon>0$ tali che

$B(y,\varepsilon)\subseteq T^{-1}\left(\left\{z: \|z\|\le m\right\}\right) \ \forall T \in F$.

In altre parole si ha

$\|T(x+y)\|\le m \ \forall x: \|x\|< \varepsilon, \ \forall T\in F$

e quindi

$\|Tx\|\le \|T(x+y)\|+\|Ty\|\le m + \|Ty\| \ \forall x: \|x\|<\varepsilon, \ \forall T\in F$.

Dato $x\in X$ si ha

$\|Tx\|=\left\|T\left(\frac{2\|x\|}{\varepsilon}\cdot \frac{\varepsilon}{2\|x\|}\cdot x\right)\right\| = \frac{2\|x\|}{\varepsilon}\left\|T\left(\frac{\varepsilon}{2} \cdot \frac{x}{\|x\|}\right)\right\| \le \frac{2\|x\|}{\varepsilon}\left(m+\|Ty\|\right) \ \forall T\in F$.

Da ciò segue che

$\|T\| = \sup_{\|x\| \le 1} \|Tx\| \le \sup_{\|x\| \le 1} \left[ \frac{2\|x\|}{\varepsilon}\left(m+\|Ty\|\right) \right] \le \frac{2}{\varepsilon}\left(m+\|Ty\|\right)\ \forall T\in F$.

Con ciò il teorema è provato.

Generalizzazione

L'ambiente naturale per il principio dell'uniforme limitatezza è uno spazio botte dove vale la seguente versione generalizzata del teorema:

Dato uno spazio botte X e uno spazio localmente convesso Y, allora qualsiasi famiglia di operatori lineari continui puntualmente limitati da X a Y è equicontinua (anche uniformemente equicontinua).

Voci correlate

• Spazio botte, uno spazio vettoriale topologico con minimi requisiti affinché valga il teorema di Banach-Steinhaus

Bibliografia

• (FR) Stefan Banach, Hugo Steinhaus. "Sur le principle de la condensation de singularités". Fundamenta Mathematicae, 9 50-61, 1927.

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