Teorema della funzione aperta (analisi funzionale)

In analisi funzionale, il teorema della funzione aperta o teorema dell'applicazione aperta, altrimenti noto come teorema di Banach-Schauder, stabilisce che un operatore lineare continuo suriettivo tra spazi di Banach è una funzione aperta.

Enunciato

Sia $T : X \to Y$ un operatore lineare continuo suriettivo tra spazi di Banach $X$ e $Y$. Allora $T$ è una funzione aperta, ovvero se $U$ è un insieme aperto in $X$, allora $T(U)$ è aperto in $Y$.

Dimostrazione

La dimostrazione fa uso del teorema della categoria di Baire, e si può suddividere in tre parti.

Parte 1

Occorre provare che per ogni $x\in X$ e per ogni $N\subseteq X$, intorno di $x$, $T(N)$ è un intorno di $Tx$. Per linearità risulta $T(x+A)=Tx+T(A)$ ($x\in X$, $A\subseteq X$), per cui è sufficiente provare l'affermazione per $x=0$. Poiché un intorno dello zero contiene necessariamente una palla $B_r=B(0,r)$, è sufficiente provare che per ogni $r>0$ esiste un $r^\prime>0$ tale che $B^Y_{r^\prime}\subseteq T(B^X_r)$. Osserviamo inoltre che $B_r=rB_1$ ed anche, per linearità, che $T(B^X_r)=rT(B^X_1)$ per ogni $r>0$.

Per la suriettività di $T$ si ha:

$Y=\cup_{n=1}^{\infty} T(B_n) = \cup_{n=1}^{\infty} \overline{T(B_n)}$.

Per il teorema della categoria di Baire esiste $\overline n$ tale che:$\overline{T(B_{\overline n})}$ ha interno non vuoto e pertanto, essendo:

$\overline{T(B_{\overline n})}=\overline n \overline{T(B_1)}$

deduciamo che $\overline{T(B_1)}$ ha interno non vuoto.

Parte 2

Sia $W$ un aperto di $Y$ tale che:

$W\subseteq \overline{T(B_1)}$

Ovviamente $\overline{T(B_1)}$ contiene lo zero, ma occorre provare che esiste $\varepsilon >0$ tale che:

$B^Y_\varepsilon \subseteq W$

Siano $x_0\in B_1$ e $y_0=Tx_0\in W$. Poiché l'applicazione $x\mapsto x-x_0$ è un omeomorfismo, esiste un intorno $V$ di zero in $Y$ tale che:

$V\subseteq -y_0+\overline{T(B_1)}$

Si ha:

$-y_0+T(B_1)=\left\{-y_0+ Tw, w\in B_1\right\}=\left\{T(w-x_0), w\in B_1\right\}\subseteq T(B_2)$

poiché $x_0,w\in B_1$ implica che $w-x_0\in B_2$. Pertanto abbiamo provato che:

$V\subseteq -y_0 + \overline{T(B_1)}\subseteq \overline{T(B_2)}$

e quindi:

$\tilde V\doteq \frac{1}{2} V\subseteq \overline{T(B_1)}$

e $\tilde V$ è un intorno di zero in $Y$. Pertanto esiste $\varepsilon >0$ tale che:

$B^Y_\varepsilon \subseteq \overline{T(B_1)}$

Parte 3

Si vuole provare che $\overline{T(B_1)}\subseteq T(B_2)$, cosa che conclude la dimostrazione poiché ne segue che $B^Y_{\frac{\varepsilon }{2}}$ risulta contenuto in $T(B_1)$. Sia $y\in \overline{T(B_1)}$. Si scelga $x_1\in B^X_1$ tale che $\|y-Tx_1\|<\frac{\varepsilon}{2}$, cioè $y-Tx_1 \in B^Y_{\frac{\varepsilon}{2}}$. Per quanto detto in precedenza risulta:

$B^Y_{\frac{\varepsilon}{2}}\subseteq \overline{T(B_{\frac{1}{2}}}$

quindi possiamo scegliere $x_2\in B^X_{\frac{1}{2}}$ tale che:

$\|y-Tx_1-Tx_2\|< \frac{\varepsilon}{4}$, cioè $y-Tx_1-Tx_2\in B^Y_{\frac{\varepsilon}{4}}$

Iterando il procedimento risulta definita una successione $(x_n)$ in $X$ tale che:

$x_n\in B^X_{2^{1-n}}$ e $y-\sum_{j=1}^n Tx_j \in B^Y_{\varepsilon 2^{1-n}}$

Risulta:

$\left\|\sum_{j=n}^{n+p}\right\|< 2^{1-n}\ \ \forall n,p\in \textbf{N}$

quindi esiste:

$x = \sum_{j=1}^\infty x_j$

e si ha:

$\|x\|\le \sum_{j=1}^\infty \|x_j\| < \sum_{j=1}^\infty 2^{1-j} = 2$

Quindi $x\in B_2$ e, per la continuità di $T$, risulta $Tx=y$. Da ciò segue che

$\overline{T(B_1)}\ni y = Tx\in T(B_2)$

ed il teorema è provato.

Corollari

Per approfondire, vedi Teorema della funzione inversa e Teorema del grafico chiuso.

Il teorema della funzione aperta ha due importanti conseguenze:

• Il teorema della funzione inversa afferma che se $T: X \to Y$ è un operatore lineare continuo e bigettivo tra gli spazi di Banach $X$ e $Y$, allora l'operatore inverso $T^{-1}: Y \to X$ è anch'esso continuo.
• Il teorema del grafico chiuso afferma che se $T: X \to Y$ è un operatore lineare tra gli spazi di Banach $X$ e $Y$, e se per ogni successione $x_n$ in $X$ tale che $x_n \to 0$ e $Tx_n \to y$ segue che $y=0$, allora $t$ è continuo.

Bibliografia

• (EN) Krantz, S. G. "The Open Mapping Theorem." §5.2.1 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 73-74, 1999.
• (EN) Zeidler, E. Applied Functional Analysis: Applications to Mathematical Physics. New York: Springer-Verlag, 1995.
• (EN) M. de Wilde, Closed graph theorems and webbed spaces , Pitman (1978)
• (EN) H.H. Schaefer, Topological vector spaces , Springer (1971)
• (EN) H. Jarchow, Locally convex spaces , Teubner (1981)

Voci correlate

• Funzione aperta
• Operatore lineare continuo
• Teorema del grafico chiuso
• Teorema della categoria di Baire
• Teorema della funzione aperta (analisi complessa)

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