Teorema della funzione aperta (analisi funzionale)

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In analisi funzionale, il teorema della funzione aperta o teorema dell'applicazione aperta, altrimenti noto come teorema di Banach-Schauder, stabilisce che un operatore lineare continuo suriettivo tra spazi di Banach è una funzione aperta.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Sia T : X \to Y un operatore lineare continuo suriettivo tra spazi di Banach X e Y. Allora T è una funzione aperta, ovvero se U è un insieme aperto in X, allora T(U) è aperto in Y.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

La dimostrazione fa uso del teorema della categoria di Baire, e si può suddividere in tre parti.

Parte 1[modifica | modifica sorgente]

Occorre provare che per ogni x\in X e per ogni N\subseteq X, intorno di x, T(N) è un intorno di Tx. Per linearità risulta T(x+A)=Tx+T(A) (x\in X, A\subseteq X), per cui è sufficiente provare l'affermazione per x=0. Poiché un intorno dello zero contiene necessariamente una palla B_r=B(0,r), è sufficiente provare che per ogni r>0 esiste un r^\prime>0 tale che B^Y_{r^\prime}\subseteq T(B^X_r). Osserviamo inoltre che B_r=rB_1 ed anche, per linearità, che T(B^X_r)=rT(B^X_1) per ogni r>0.

Per la suriettività di T si ha:

Y=\cup_{n=1}^{\infty} T(B_n) = \cup_{n=1}^{\infty} \overline{T(B_n)}.

Per il teorema della categoria di Baire esiste \overline n tale che:\overline{T(B_{\overline n})} ha interno non vuoto e pertanto, essendo:

\overline{T(B_{\overline n})}=\overline n \overline{T(B_1)}

deduciamo che \overline{T(B_1)} ha interno non vuoto.

Parte 2[modifica | modifica sorgente]

Sia W un aperto di Y tale che:

W\subseteq \overline{T(B_1)}

Ovviamente \overline{T(B_1)} contiene lo zero, ma occorre provare che esiste \varepsilon >0 tale che:

B^Y_\varepsilon \subseteq W

Siano x_0\in B_1 e y_0=Tx_0\in W. Poiché l'applicazione x\mapsto x-x_0 è un omeomorfismo, esiste un intorno V di zero in Y tale che:

V\subseteq -y_0+\overline{T(B_1)}

Si ha:

-y_0+T(B_1)=\left\{-y_0+ Tw, w\in B_1\right\}=\left\{T(w-x_0), w\in B_1\right\}\subseteq T(B_2)

poiché x_0,w\in B_1 implica che w-x_0\in B_2. Pertanto abbiamo provato che:

V\subseteq -y_0 + \overline{T(B_1)}\subseteq \overline{T(B_2)}

e quindi:

\tilde V\doteq \frac{1}{2} V\subseteq \overline{T(B_1)}

e \tilde V è un intorno di zero in Y. Pertanto esiste \varepsilon >0 tale che:

B^Y_\varepsilon \subseteq \overline{T(B_1)}

Parte 3[modifica | modifica sorgente]

Si vuole provare che \overline{T(B_1)}\subseteq T(B_2), cosa che conclude la dimostrazione poiché ne segue che B^Y_{\frac{\varepsilon }{2}} risulta contenuto in T(B_1). Sia y\in \overline{T(B_1)}. Si scelga x_1\in B^X_1 tale che \|y-Tx_1\|<\frac{\varepsilon}{2}, cioè y-Tx_1 \in B^Y_{\frac{\varepsilon}{2}}. Per quanto detto in precedenza risulta:

B^Y_{\frac{\varepsilon}{2}}\subseteq \overline{T(B_{\frac{1}{2}}}

quindi possiamo scegliere x_2\in B^X_{\frac{1}{2}} tale che:

\|y-Tx_1-Tx_2\|< \frac{\varepsilon}{4}, cioè y-Tx_1-Tx_2\in B^Y_{\frac{\varepsilon}{4}}

Iterando il procedimento risulta definita una successione (x_n) in X tale che:

x_n\in B^X_{2^{1-n}} e y-\sum_{j=1}^n Tx_j \in B^Y_{\varepsilon 2^{1-n}}

Risulta:

\left\|\sum_{j=n}^{n+p}\right\|< 2^{1-n}\ \ \forall n,p\in \textbf{N}

quindi esiste:

x = \sum_{j=1}^\infty x_j

e si ha:

\|x\|\le \sum_{j=1}^\infty \|x_j\| < \sum_{j=1}^\infty 2^{1-j} = 2

Quindi x\in B_2 e, per la continuità di T, risulta Tx=y. Da ciò segue che

\overline{T(B_1)}\ni y = Tx\in T(B_2)

ed il teorema è provato.

Corollari[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema della funzione inversa e Teorema del grafico chiuso.

Il teorema della funzione aperta ha due importanti conseguenze:

  • Il teorema della funzione inversa afferma che se T: X \to Y è un operatore lineare continuo e bigettivo tra gli spazi di Banach X e Y, allora l'operatore inverso T^{-1}: Y \to X è anch'esso continuo.
  • Il teorema del grafico chiuso afferma che se T: X \to Y è un operatore lineare tra gli spazi di Banach X e Y, e se per ogni successione x_n in X tale che x_n \to 0 e Tx_n \to y segue che y=0, allora T è continuo.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Krantz, S. G. "The Open Mapping Theorem." §5.2.1 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 73-74, 1999.
  • (EN) Zeidler, E. Applied Functional Analysis: Applications to Mathematical Physics. New York: Springer-Verlag, 1995.
  • (EN) M. de Wilde, Closed graph theorems and webbed spaces , Pitman (1978)
  • (EN) H.H. Schaefer, Topological vector spaces , Springer (1971)
  • (EN) H. Jarchow, Locally convex spaces , Teubner (1981)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica