Immersione (geometria)

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In geometria, una immersione è una funzione differenziabile fra varietà differenziabili, il cui differenziale è ovunque iniettivo.

Le immersioni non sono necessariamente iniettive globalmente, ma lo sono localmente.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Una funzione differenziabile

f:M\to N

fra due varietà differenziabili è una immersione se il differenziale

d_pf : T_p M \to T_{f(p)}N

è iniettivo per ogni punto p di M.[1] Equivalentemente, se il rango del differenziale è ovunque pari alla dimensione di M

\operatorname{rank}\,f = \dim M.

L'equivalenza fra le due definizioni è garantita dal teorema della dimensione.

Le varietà differenziabili M e N possono essere ad esempio degli aperti contenuti in spazi euclidei \R^n e \R^k.

Iniettività[modifica | modifica sorgente]

Una immersione f non è necessariamente iniettiva. Lo è però localmente, grazie ad una versione del teorema di invertibilità locale: ogni punto p di M ha un intorno  U su cui la funzione è iniettiva.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ M. Abate, F. Tovena, op. cit., p. 90

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5.
  • Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
  • G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di Geometria Differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, ISBN 978-88-339-5556-8.
  • Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
  • (EN) R.W. Sharpe, Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, 1997, ISBN 0-387-94732-9.
  • (EN) F.W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag, New York, 1983, ISBN 0-387-90894-3.


Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


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