Successione di Mayer-Vietoris

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In matematica, più precisamente in topologia algebrica, la successione di Mayer-Vietoris è uno strumento per calcolare alcuni invarianti topologici come i gruppi di omologia e di coomologia di uno spazio topologico attraverso i gruppi di omologia (o, rispettivamente, di coomologia) di suoi sottospazi e della loro intersezione; è analoga al teorema di Van Kampen per il calcolo del gruppo fondamentale. Prende il nome dai due matematici austriaci Walther Mayer e Leopold Vietoris, che lo dimostrarono negli anni Venti del Novecento.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Dato uno spazio X e due suoi aperti U e V che ricoprono X, la successione di Mayer-Vietoris è la successione esatta \begin{align}
\cdots\rightarrow H_{n+1}(X)\,&\xrightarrow{\partial_*}\,H_{n}(U\cap V)\,\xrightarrow{(i_*,j_*)}\,H_{n}(U)\oplus H_{n}(V)\,\xrightarrow{k_* - l_*}\,H_{n}(X)\xrightarrow{\partial_*}\\
&\quad\xrightarrow{\partial_*}\,H_{n-1} (U\cap V)\rightarrow \cdots\rightarrow H_0(U)\oplus H_0(V)\,\xrightarrow{k_* - l_*}\,H_0(X)\rightarrow\,0.
\end{align}

dove gli Hi sono i gruppi di omologia (o di coomologia).

Le mappe i* e j* corrispondono alle inclusioni di U\cap V in U e V rispettivamente, mentre k* ed l* a quelle di U e V in X.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Omologia delle sfere[modifica | modifica wikitesto]

Una prima ed importante applicazione della successione di Mayer-Vietoris è il calcolo dei gruppi di omologia delle sfere n-dimensionali Sn. Scegliendo due punti p e q della sfera, e

U=S^n\setminus\{p\}\qquad V=S^n\setminus\{q\}

questi sono omeomorfi a \mathbb{R}^n (quindi contraibili e con gruppi di omologia, eccetto lo 0-esimo, banali) mentre la loro intersezione è omeomorfa a S^{n-1}\times\mathbb{R}, e quindi omotopicamente equivalente a Sn -1. Si ha dunque, per n > 1,

H_n(U)\oplus H_n(V)\rightarrow H_n(S^n)\rightarrow H_{n-1}(U\cap V)\rightarrow H_{n-1}(U)\oplus H_{n-1}(V)

ovvero

0\rightarrow H_n(S^n)\rightarrow H_{n-1}(S^{n-1})\rightarrow 0

e quindi H_n(S^n) è isomorfo a H_{n-1}(S^{n-1}); da cui, usando l'omologia di S0 (che consiste di due punti), si ha

H_n(S^k)\cong\begin{cases}
\mathbb{Z} & \mbox{se } n\in\{0,k\}\\
0 & \mbox{altrimenti}
\end{cases}

Bouquet[modifica | modifica wikitesto]

La successione di Mayer-Vietoris permette di calcolare facilmente i gruppi di omologia del bouquet di due spazi se questi sono localmente contraibili (ovvero se i punti identificati hanno intorni di cui sono un loro retratto di deformazione): in questo caso, prendendo come U e V i due spazi più la parte l'intorno contraibile del punto base si ha

H_n(U\cap V)=0\rightarrow H_n(U)\oplus H_n(V)\rightarrow H_n(X)\rightarrow 0=H_{n-1}(U\cap V)

e quindi

H_n(U)\oplus H_n(V)\cong H_n(X)

Superfici[modifica | modifica wikitesto]

Un'altra applicazione è nel calcolo dei gruppi di omologia delle superfici; per questo è conveniente utilizzare la loro rappresentazione come quoziente di poligoni, prendendo come U l'interno del poligono (o meglio la sua immagine secondo la mappa quoziente) e come V la superficie meno un punto (interno al poligono): il primo aperto è contraibile, mentre il secondo è omotopicamente equivalente ad un bouquet di un certo numero (dipendente dal genere della superficie) di circonferenze, di cui è possibile calcolare l'omologia.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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