Teorema della palla pelosa

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Una visualizzazione grafica del teorema della palla pelosa: non è possibile pettinare la palla senza lasciare punti singolari.
Una superficie toroidale è invece facilmente pettinabile.

In topologia algebrica, il teorema della palla pelosa stabilisce che non esiste un campo vettoriale continuo non nullo tangente ad una sfera. Questa proprietà viene spesso espressa come "non è possibile pettinare completamente una palla pelosa" o "non è possibile pettinare i capelli di una palla da biliardo"; i capelli pettinati rappresentano il campo vettoriale continuo. Infatti, come conseguenza del teorema, è impossibile eseguire una pettinatura che non abbia almeno una chierica, o una riga.

Un'enunciazione più formale è la seguente: data una sfera S e una funzione continua f: S \rightarrow \mathbb{R}^3 che associa ad ogni punto P della sfera un vettore tridimensionale tangente alla sfera stessa in P, esiste almeno un punto della sfera Q \in S tale che f(Q) = 0.

Il teorema, dimostrato nel 1912 da Luitzen Brouwer, può essere visto come un caso particolare del Teorema di Poincaré-Hopf, che asserisce che la somma degli zeri di determinati campi vettoriali su una superficie è pari alla caratteristica di Eulero di tale superficie: poiché la caratteristica di Eulero della sfera è 2, il campo deve possedere almeno uno zero; una superficie a caratteristica zero, come il toro, è invece "pettinabile". In questo contesto più ampio il teorema della palla pelosa costituisce un esempio di legame tra le proprietà topologiche di una superficie (la caratteristica di Eulero) e quelle analitiche (i campi vettoriali su di essa). Esistono tuttavia numerose altre dimostrazioni, ad esempio a partire dal lemma di Sperner[1][2].

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema della palla pelosa ha applicazioni non solo in ambito matematico, ma anche in alcuni campi della fisica e della tecnologia.

Punti fissi e antipodali[modifica | modifica wikitesto]

Una conseguenza del teorema della palla pelosa è che qualunque funzione continua che mappa la sfera in sé stessa ha necessariamente un punto che viene mappato su sé stesso (punto fisso) o sul proprio punto antipodale:

\forall f: S \rightarrow S \quad \mathrm{continua} ,\, \exists P \in S :\, f(P) = \pm P.

La dimostrazione di questa proprietà si ottiene associando alla funzione continua una funzione vettoriale tangente nel seguente modo: preso un punto P sulla sfera, si costruisce la proiezione stereografica di f(P) usando P come polo della proiezione, e si prende come vettore tangente \mathbf{v}(P) il vettore posizione della proiezione rispetto a P.

I vettori tangenti così costruiti definiscono una funzione continua che rispetta le ipotesi del teorema: quindi esiste un punto P della sfera tale che \mathbf{v}(P) = 0; questo implica che f(P) coincide con P, oppure si trova al suo antipodo.

Meteorologia[modifica | modifica wikitesto]

La circolazione atmosferica di un pianeta può essere rappresentata con un modello che assegna a ogni punto della superficie un vettore tangente alla superficie stessa e avente la direzione del vento; questa approssimazione equivale a trascurare la componente verticale del vento, condizione accettabile dato che il diametro del pianeta è significativamente maggiore dello spessore dell'atmosfera.

Tranne il caso banale in cui il vento è fermo su tutto il pianeta, il campo vettoriale così definito rispetta le ipotesi del teorema della palla pelosa; segue che esiste almeno un punto della superficie in cui il vento ha velocità nulla: questi punti corrispondono all'occhio di un ciclone o di un anticiclone. Il teorema garantisce quindi che sulla superficie di un pianeta dotato di atmosfera esiste sempre almeno un ciclone.

Computer grafica[modifica | modifica wikitesto]

Un problema comune in computer grafica è la generazione di un vettore non nullo ortogonale ad un altro vettore dato. Se consideriamo il vettore di partenza come posizionato sul raggio di una sfera, i vettori ortogonali sono tangenti alla sfera stessa; dal teorema della palla pelosa segue che non esiste una funzione continua in grado di risolvere il problema per qualunque vettore di partenza, ossia per tutti i punti della sfera.

Estensioni del teorema[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema può essere esteso a sfere in dimensioni superiori: si può dimostrare che esso è valido per tutte le 2n-sfere, in dimensione pari. Questa proprietà è facilmente derivabile tramite la caratteristica di Eulero: quest'ultima infatti si può ottenere come somma alternata dei numeri di Betti della m-sfera, che valgono 0 tranne che per le dimensioni 0 ed m, per cui la caratteristica di Eulero vale 2 se m è pari, perché i due termini non nulli hanno lo stesso segno, 0 se m è dispari.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Tyler Jarvis
  2. ^ John Milnor presenta una dimostrazione basata unicamente su considerazioni analitiche; vedi anche [1] per una presentazione e una discussione della dimostrazione.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) The Hairy Ball Theorem, BBC, 22-03-2006. URL consultato il 06-09-2008.
  • Tyler Jarvis, James Tanton, The Hairy Ball Theorem via Sperner's Lemma in American Mathematical Monthly, nº 111, 2004, pp. 599-603. URL consultato il 06-09-2008.
  • John Milnor, Analytic proofs of the “hairy ball theorem” and the Brouwer fixed point theorem in American Mathematical Monthly, nº 85, 1978, pp. 521-524.
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