Punti antipodali (matematica)

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In matematica, i punti antipodali su una sfera generalizzano il concetto geografico di punti antipodali sulla Terra anche a sfere di dimensioni arbitrarie.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una sfera di dimensione n è descritta dall'equazione

x_1^2+\ldots + x_{n+1}^2=1

nello spazio euclideo (n+1)-dimensionale \R^{n+1}.

Il punto antipodale ad un punto (x_1,\ldots,x_{n+1}) è il punto (-x_1,\ldots,-x_{n+1}): tutte le coordinate cambiano cioè di segno.

Spazio quoziente[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio quoziente rispetto alla relazione di equivalenza di antipodalità è lo spazio proiettivo reale, oggetto fondamentale della geometria proiettiva.

Mappa antipodale[modifica | modifica wikitesto]

La funzione che associa ad ogni punto di una sfera il suo antipodale è detta mappa antipodale.

La mappa antipodale preserva l'orientazione della sfera se e solo se n è dispari. Infatti la funzione è la restrizione della funzione lineare

f:\R^{n+1}\to\R^{n+1}
f:x\mapsto -x

associata alla matrice -I opposta alla matrice identità I. Il determinante di questa matrice è (-1)^{n+1}, ed il suo segno è quindi effettivamente positivo solo per n dispari.

Per questo motivo, lo spazio proiettivo è orientabile solo per n dispari.

Teorema di Borsuk-Ulam[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema di Borsuk-Ulam.

Il teorema di Borsuk-Ulam è un risultato di topologia riguardante i punti antipodali in dimensione arbitraria: asserisce che ogni funzione continua da una sfera in uno spazio euclideo della stessa dimensione manda due punti antipodali sullo stesso punto (in particolare, non può essere iniettiva).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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