Punto fisso

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In matematica, un punto fisso per una funzione definita da un insieme in sé è un elemento coincidente con la sua immagine.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

In matematica, un punto fisso per una funzione  f : A \to A definita su un insieme A è un elemento  x in A tale che:[1]

x = f(x) \

Si tratta di un punto che la funzione mappa in sé stesso.

Teoremi di esistenza[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teoremi di punto fisso.

Alcuni teoremi molto importanti in matematica asseriscono che alcune funzioni da un insieme in sé hanno dei punti fissi. Questi teoremi si applicano in analisi matematica, analisi funzionale e topologia. Di questi, i più noti sono il teorema del punto fisso di Banach e il teorema del punto fisso di Brouwer.

La proprietà topologica del punto fisso[modifica | modifica sorgente]

Uno spazio topologico X si dice avere la proprietà del punto fisso (brevemente PPF) se per ogni funzione continua

f: X \to X

esiste un x \in X tale che f(x)=x.

La proprietà del punto fisso è un invariante topologico, cioè viene preservata dagli omeomorfismi. Inoltre la PPF viene preservata dalle retrazioni.

Per il teorema del punto fisso di Brouwer tutti i sottoinsiemi compatti e convessi di uno spazio euclideo posseggono la PPF. La sola compattezza non garantisce la PPF e la convessità non è neppure una proprietà topologica, quindi ha senso chiedersi quali condizioni sulla topologia di uno spazio siano necessarie e sufficienti perché si abbia la PPF. Nel 1932 Borsuk congetturò che la PPF fosse posseduta da ogni spazio topologico compatto e contraibile. Il problema rimase aperto per 20 anni finché Kinoshita trovò un esempio di spazio compatto e contraibile che non aveva la PPF.[2]

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Sono funzioni con punti fissi:

infatti un calcolo diretto mostra che f(2) = 2.

Sono funzioni senza punti fissi:

  • Una rotazione della circonferenza di un angolo diverso da zero (o di un multiplo di 2π) è una funzione senza punti fissi sulla circonferenza.
  • Una traslazione diversa dalla identità non ha punti fissi (la traslazione può essere definita su uno spazio vettoriale o anche su un gruppo).

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 150
  2. ^ Kinoshita, S. On Some Contractible Continua without Fixed Point Property. Fund. Math. 40 (1953), 96-98

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506.

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