Retrazione

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In matematica, più precisamente in topologia, una retrazione è una particolare funzione continua che "proietta" uno spazio topologico  X su un sottoinsieme  A .

Quando la retrazione è realizzata da una deformazione continua, il sottoinsieme  A è un retratto di deformazione di X e conserva molte delle sue proprietà topologiche.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Retrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia X uno spazio topologico e A un sottoinsieme di X. Una funzione continua

r:X \to A

è un retrazione di X su A se la sua restrizione ai punti di A è la funzione identità, ovvero se

r(a) = a \ \forall a\in A.

Un sottoinsieme A è un retratto di X se esiste una retrazione di X su A.

Retratto di deformazione[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione continua

F:X \times [0, 1] \to X

è una retrazione di deformazione di X su A se sono soddisfatte le relazioni seguenti

 F(x,0) = x, \; F(a,1) = a, \; F(x,1) \in A.

per ogni x in X e ogni a in A. In altre parole, una retrazione di deformazione è un'omotopia fra una retrazione e la funzione identità su X.

Un sottoinsieme A è un retratto di deformazione di X se esiste una retrazione di deformazione di X su A.

Infine, una retrazione di deformazione F si dice forte se

F(a,t) = a

per ogni t in [0,1]. In altre parole, la deformazione non muove i punti in A. In questo caso A è un retratto di deformazione forte.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Retrazioni[modifica | modifica wikitesto]

Sia X uno spazio qualsiasi e x_0 un punto. La funzione costante

f:X \to \{x_0\}\,\!

è una retrazione. Più in generale, è possibile scegliere un punto in ogni componente connessa di X e mandare tutta la componente connessa nello stesso punto: il risultato è sempre una retrazione. D'altra parte, non è possibile costruire una retrazione di uno spazio connesso su due suoi punti, poiché l'immagine di un connesso tramite una funzione continua è sempre connessa.

Deformazioni[modifica | modifica wikitesto]

Sia X un sottoinsieme convesso di \R^n contenente l'origine, ad esempio la palla unitaria o tutto \R^n. La funzione

F: X \times [0,1] \to X
F: (x,t) \mapsto (1-t)x\,\!

è una retrazione di deformazione di X sull'origine A = \{0\}.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Retrazioni[modifica | modifica wikitesto]

Una retrazione

r:X\to A

manda ogni componente connessa C di X in un sottoinsieme connesso di C.

Se X è connesso per archi, anche A lo è e l'omomorfismo indotto

r_*:\pi(X) \to \pi(A)

fra i loro gruppi fondamentali è suriettivo. Inoltre l'inclusione

i:A\to X

induce una funzione iniettiva

i_*:\pi(A) \to \pi(X).

Entrambe le proprietà derivano dal fatto che la composizione

r\circ i: A \to A

è la funzione identità e quindi induce l'omomorfismo identità

(r\circ i)_* = r_*\circ i_* :\pi(A) \to \pi(A).

Poiché questo è composizione degli omomorfismi i_* e r_*, il primo deve essere iniettivo ed il secondo suriettivo. Gli stessi risultati valgono per i gruppi di omotopia superiori.

Deformazioni[modifica | modifica wikitesto]

Se la retrazione r è indotta da una deformazione, è omotopa all'identità ed induce quindi una equivalenza omotopica tra X e A. In particolare, le mappe r_* e i_* sono entrambe isomorfismi.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Teorema del punto fisso di Brower[modifica | modifica wikitesto]

Non esistono retrazioni

r: D^n \to S^{n-1} = \partial D^n

del disco unitario sulla sua sfera di bordo. Infatti l'omomorfismo indotto

r_*:\pi_{n-1}(D^n) \to \pi_{n-1} (S^{n-1})

sull'(n-1)-esimo gruppo di omotopia non può essere suriettivo, visto che il primo gruppo è banale ed il secondo no:

\pi_{n-1}(D^n) = \{e\}, \quad \pi_{n-1} (S^{n-1}) = \mathbb Z.

Da questo fatto discende facilmente il teorema del punto fisso di Brouwer, che asserisce che ogni funzione continua

f:D^n \to D^n

dal disco unitario in sé ha un punto fisso.

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