Retrazione

In matematica, più precisamente in topologia, una retrazione è una particolare funzione continua che "proietta" uno spazio topologico $X$ su un sottoinsieme $A$.

Quando la retrazione è realizzata da una deformazione continua, il sottoinsieme $A$ è un retratto di deformazione di $X$ e conserva molte delle sue proprietà topologiche.

Definizione

Retrazione

Sia $X$ uno spazio topologico e $A$ un sottoinsieme di $X$. Una funzione continua

$r:X \to A\,\!$

è un retrazione di $X$ su $A$ se la sua restrizione ai punti di $A$ è la funzione identità, ovvero se

$r(a) = a \ \forall a\in A.$

Un sottoinsieme $A$ è un retratto di $X$ se esiste una retrazione di $X$ su $A$.

Retratto di deformazione

Una funzione continua

$F:X \times [0, 1] \to X\!\,$

è una retrazione di deformazione di $X$ su $A$ se sono soddisfatte le relazioni seguenti

$F(x,0) = x, \; F(a,1) = a, \; F(x,1) \in A.$

per ogni $x$ in $X$ e ogni $a$ in $A$. In altre parole, una retrazione di deformazione è un'omotopia fra una retrazione e la funzione identità su $X$.

Un sottoinsieme $A$ è un retratto di deformazione di $X$ se esiste una retrazione di deformazione di $X$ su $A$.

Infine, una retrazione di deformazione $F$ si dice forte se

$F(a,t) = a\,$

per ogni $t$ in $[0,1]$. In altre parole, la deformazione non muove i punti in $A$. In questo caso $A$ è un retratto di deformazione forte.

Esempi

Retrazioni

Sia $X$ uno spazio qualsiasi e $x_0$ un punto. La funzione costante

$f:X \to \{x_0\}\,\!$

è una retrazione. Più in generale, è possibile scegliere un punto in ogni componente connessa di $X$ e mandare tutta la componente connessa nello stesso punto: il risultato è sempre una retrazione. D'altra parte, non è possibile costruire una retrazione di uno spazio connesso su due suoi punti, poiché l'immagine di un connesso tramite una funzione continua è sempre connessa.

Deformazioni

Sia $X$ un sottoinsieme convesso di $\R^n$ contenente l'origine, ad esempio la palla unitaria o tutto $\R^n$. La funzione

$F: X \times [0,1] \to X\,\!$

$F: (x,t) \mapsto (1-t)x\,\!$

è una retrazione di deformazione di $X$ sull'origine $A = \{0\}$.

Proprietà

Retrazioni

Una retrazione

$r:X\to A\,\!$

manda ogni componente connessa $C$ di $X$ in un sottoinsieme connesso di $C$.

Se $X$ è connesso per archi, anche $A$ lo è e l'omomorfismo indotto

$r_*:\pi(X) \to \pi(A) \,\!$

fra i loro gruppi fondamentali è suriettivo. Inoltre l'inclusione

$i:A\to X\,\!$

induce una funzione iniettiva

$i_*:\pi(A) \to \pi(X). \,\!$

Entrambe le proprietà derivano dal fatto che la composizione

$r\circ i: A \to A\,\!$

è la funzione identità e quindi induce l'omomorfismo identità

$(r\circ i)_* = r_*\circ i_* :\pi(A) \to \pi(A).$

Poiché questo è composizione degli omomorfismi $i_*$ e $r_*$, il primo deve essere iniettivo ed il secondo suriettivo. Gli stessi risultati valgono per i gruppi di omotopia superiori.

Deformazioni

Se la retrazione $r$ è indotta da una deformazione, è omotopa all'identità ed induce quindi una equivalenza omotopica tra $X$ e $A$. In particolare, le mappe $r_*$ e $i_*$ sono entrambe isomorfismi.

Applicazioni

Teorema del punto fisso di Brower

Non esistono retrazioni

$r: D^n \to S^{n-1} = \partial D^n\,\!$

del disco unitario sulla sua sfera di bordo. Infatti l'omomorfismo indotto

$r_*:\pi_{n-1}(D^n) \to \pi_{n-1} (S^{n-1})\,\!$

sull'$(n-1)$-esimo gruppo di omotopia non può essere suriettivo, visto che il primo gruppo è banale ed il secondo no:

$\pi_{n-1}(D^n) = \{e\}, \quad \pi_{n-1} (S^{n-1}) = \mathbb Z.\,\!$

Da questo fatto discende facilmente il teorema del punto fisso di Brouwer, che asserisce che ogni funzione continua

$f:D^n \to D^n\,\!$

dal disco unitario in sé ha un punto fisso.

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