Compattificazione di Stone-Čech

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La compattificazione di Stone-Čech di uno spazio topologico X è uno spazio topologico compatto (indicato con \beta X) tale che ogni funzione continua da X verso uno spazio topologico compatto può essere estesa ad una funzione definita su tutto \beta X. Generalmente, si assume che X sia uno spazio di Tychonoff, perché solo in questo caso \beta X estende lo spazio di partenza  X . Fra le varie compattificazioni di uno spazio topologico, quella di Stone-Čech è la "più grande", contrapposta alla compattificazione di Alexandrov, ottenuta aggiungendo un punto solo.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La compattificazione di Stone-Čech di uno spazio topologico  X è uno spazio \beta X contenente  X con queste proprietà:

f:X\to K

a valori in uno spazio compatto di Hausdorff  K esiste una funzione continua

f':\beta X\to K

che estende f

L'ultima proprietà può essere descritta dicendo che X è C*-immerso in \beta X.

Principali proprietà[modifica | modifica sorgente]

La compattificazione di Stone-Cech si può vedere come la "massima" compattificazione di uno spazio (mentre la compattificazione di Alexandrov è la più piccola), come indicano le seguenti proprietà:

  • è unica a meno di omeomorfismi;
  • è l'unico spazio compatto in cui X è C^{\star}-immerso;
  • è il più grande spazio in cui X è C^{\star}-immerso.

Formulazioni della compattificazione di Stone-Čech[modifica | modifica sorgente]

È possibile formulare la compattificazione di Stone-Čech in diversi modi tra di loro equivalenti: ad esempio, le funzioni continue da X all'intervallo chiuso [0,1] costituiscono la compattificazione desiderata.

Un'altra possibile formulazione equivalente è la seguente: dato uno spazio topologico X discreto, la compattificazione di Stone-Cech \beta X è formata da tutti gli ultrafiltri di X. La base della topologia di \beta X possiede come elementi tutti gli ultrafiltri che contengono un dato aperto A:

\mathcal{B} = \{ p \in \beta X | A \in p \} _{A \in \mathcal{A}}, dove \mathcal{A} sono gli aperti della topologia di X.

Nel caso di un generico spazio X che sia Tychonoff, la compattificazione di Stone-Cech di X si può ottenere usando gli insiemi massimali costituiti di zero insiemi.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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