Punto di aderenza

In topologia generale, un punto di aderenza ad un sottospazio di uno spazio topologico è un punto che contiene punti "arbitrariamente vicini" di questo sottospazio. Si tratta di una nozione meno restrittiva di quella di punto di accumulazione.

Definizione

Un punto a è aderente ad A se comunque si prenda un intorno dell'elemento a, l'intersezione dell'intorno con l'insieme A è sempre non vuota.

Spazi topologici

Un punto $x_0$ appartenente ad uno spazio topologico $(X,T)$ è detto punto di aderenza (o punto di chiusura) per un sottoinsieme $S$ di $X$ se ogni aperto contenente $x_0$ interseca $S$. In simboli:

$\forall A \in T, x_0 \in A: A \cap S \not= \varnothing$.

Spazi metrici

In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturalmente indotta dalla metrica, la definizione è equivalente alla richiesta seguente.

$\forall r>0: B(x_0,r) \cap S \not= \varnothing$,

dove con $B(x_0,r)$ si indica la palla di raggio $r$ e centro $x_0$. Non ne consegue (come nel caso dei punti di accumulazione) che in ogni palla vi siano infiniti punti di S.

Differenza con i Punti di accumulazione

Tutti i punti di accumulazione di S sono anche aderenti ma non è valido il viceversa. Non è richiesto infatti che ogni intorno di $x_0$ intersechi S in punti diversi da $x_0$. L'intersezione non vuota può essere garantita dallo stesso punto, purché appartenente a S.

Ne consegue che tutti i punti di S sono aderenti in S, anche quando non sono di accumulazione. In tale ultimo caso si parla di punti isolati.

Chiusura di un insieme

L'insieme dei punti di aderenza di S è detto chiusura (o aderenza) di S.

Voci correlate

• Punto di accumulazione
• Punto isolato
• Chiusura

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