Nerbo (matematica)

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Nella teoria degli insiemi, il nerbo è un oggetto associato ad un ricoprimento. Si tratta di uno schema simpliciale che contiene le informazioni sulle incidenze degli insiemi del ricoprimento.

Tale concetto è particolarmente utile in topologia perché può permettere (se sono verificate opportune ipotesi) di descrivere con sufficiente precisione uno spazio topologico tramite un oggetto combinatorio.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Dato un insieme X e un suo ricoprimento

\mathbb{U} = \left ( U_{i}\right)_{i \in I}

(I è una famiglia qualsiasi di indici), ossia una collezione di insiemi tali che

\bigcup_{i \in I}U_{i} = X,

il nerbo di X è lo schema simpliciale associato allo spazio come segue: indicato con

\bold{N}\left( \mathbb{U} \right) = \left( K , I \right)

lo schema si ha

\left\{ i_{0} , i_{1}, \dots  , i_{k} \right\} \in K \Longleftrightarrow \, U_{i_{0}} \cap U_{i_{1}} \cap \dots \cap U_{i_{k}} \, \neq \emptyset.

In topologia[modifica | modifica sorgente]

Il concetto di nerbo risulta avere importanti applicazioni in topologia algebrica. In questo contesto, X è uno spazio topologico e \mathbb{U} è un suo ricoprimento aperto. Il nerbo dipende fortemente dal ricoprimento scelto. Tuttavia, se il ricoprimento è sufficientemente "buono" allora \bold{N}\left( \mathbb{U} \right) risulta essere una buona approssimazione di X: ad esempio, può essere omotopicamente equivalente ad X, oppure avere la stessa omologia.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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