Germe di funzione

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In matematica, un germe di funzione (continua, differenziabile o analitica) è una classe di equivalenza di funzioni (continue. differenziabili o analitiche) da uno spazio topologico a un altro (spesso dalla retta reale a se stessa), raggruppate insieme sulla base della loro uguaglianza sull'intorno di un punto fissato sul loro dominio di definizione. Allo stesso modo, un germe di insiemi è una classe di equivalenza di sottoinsiemi di un dato spazio topologico, raggruppati insieme sulla base della loro uguaglianza sull'intorno di un punto fissato appartenente alla loro intersezione.

Definizione formale[modifica | modifica sorgente]

Due funzioni f e g tra lo stesso spazio topologico X e un insieme Y si dicono equivalenti vicino a un punto x nel loro dominio, se esiste un intorno aperto U di x in X su cui coincidono, cioè

 f(x') = g(x') \quad \forall x'\in U\iff f|_U=g|_U \iff f \sim_x g

Questa è una relazione di equivalenza sullo spazio Y^X = \mbox{Hom}(X,Y) delle mappe tra X e Y. Per la dimostrazione, è sufficiente notare che l'uguaglianza è usata nella sua definizione: allora la riflessività e la simmetria sono conseguenze immediate. Per la transitività, date le funzioni f,g,h tali che f=g su U e g=h su V, allora f=g=h su UV.

Le singole classi di equivalenza si dicono germi di funzioni nel punto x e saranno della forma

[f]_x=\left\{g \in Y^X\mid f \sim_x g\right\}

Lo spazio dei germi di funzioni si dice una fibra di funzioni in x.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Nicolas Bourbaki, General Topology. Chapters 1-4, paperback ed., Springer-Verlag, 1989, ISBN 3-540-64241-2.
  • Raghavan Narsimhan, Analysis on Real and Complex Manifolds, 2nd ed., chapter 2, paragraph 2.1, "Basic Definitions"., North-Holland Elsevier, 1973, ISBN 0-7204-2501-8.
  • Robert C. Gunning and Hugo Rossi, Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice-Hall, 1965.
  • Giuseppe Tallini, Varietà differenziabili e coomologia di De Rham (Differentiable manifolds and De Rham cohomology), Edizioni Cremonese, 1973, ISBN 88-7083413-1.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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