Compattificazione di Alexandrov

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La compattificazione di Alexandroff (o compattificazione a un punto) di uno spazio topologico non compatto X è uno spazio topologico compatto che estende lo spazio di partenza X mediante l'aggiunta di un unico punto (solitamente indicato con \infty).

Ad esempio, la compattificazione di Alexandroff della retta reale si ottiene aggiungendo il punto in modo che questo "congiunga" i due estremi all'infinito della retta, che in tal modo diventa topologicamente equivalente alla circonferenza S^1. Analogamente, la compattificazione di Alexandroff del piano reale topologicamente equivalente alla sfera S^2.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Formalmente, la compattificazione di Alexandroff di uno spazio topologico ( X,\mathcal{U} ), dove \mathcal{U} è la classe degli aperti che compongono la topologia di  X , è lo spazio

(X^\infty, \mathcal U^\infty)

con

 X^\infty = X \cup \{ \infty \},
 \mathcal U^\infty = \mathcal U \cup \{ V \cup \{\infty\}\ |\ X\setminus V {\rm\ chiuso \ e \ compatto\ in\ } X\}.

Intuitivamente, si può pensare che nello spazio topologico  X^\infty gli aperti che contengono il punto  \infty  sono i complementari degli insiemi compatti di  X .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Inclusione[modifica | modifica wikitesto]

L'inclusione

 i:X\hookrightarrow X^\infty

è una funzione continua. Se  X non è compatto, l'immagine  i(X) è un insieme denso in X^\infty .

Compattezza[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio  X^\infty è compatto. Infatti, dato un ricoprimento aperto \mathcal{R}di X^\infty, esiste certamente un aperto U \in \mathcal{R} del ricoprimento che contiene \infty. Poiché X \setminus U è compatto ed è ricoperto da \mathcal{R}, esiste un sottoricoprimento finito \mathcal {R}' di X\setminus U . Un ricoprimento finito di X^\infty è quindi dato da

\mathcal{R}' \cup \{ U \}.

Connessione[modifica | modifica wikitesto]

Se  X è connesso, non compatto e di Hausdorff, allora X^\infty è connesso. Infatti se fosse unione disgiunta di due aperti, uno di questi conterrebbe \infty e l'altro sarebbe necessariamente compatto. Poiché di Hausdorff, sarebbe quindi anche chiuso: per connessione, l'unico insieme non vuoto aperto e chiuso in  X è  X stesso, il quale non è però compatto.

Spazio di Hausdorff[modifica | modifica wikitesto]

Se  X è di Hausdorff e localmente compatto, allora anche  X^\infty è di Hausdorff, e viceversa. Infatti per ogni  x in  X esistono due intorni disgiunti  U di  x e  V di \infty : basta prendere  U contenuto in un compatto  K contenente x , e  V il complementare di  K.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

La compattificazione di \R^n è topologicamente equivalente alla sfera  S^n . L'inclusione

\R^n\to S^n

può essere descritta dalla proiezione stereografica.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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