Cono (topologia)

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Cono di una circonferenza. La circonferenza di partenza è blu, ed il punto collassato è verde.

In topologia, il cono di uno spazio topologico X è un nuovo spazio topologico C(X) che, similmente all'usuale cono geometrico, ha un vertice ed una base omeomorfa a X.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia X uno spazio topologico. Il cono C(X) è lo spazio quoziente

C(X) = (X \times [0,1])/(X \times \{0\})

del prodotto di X con l'intervallo unitario  [0,1] rispetto alla relazione d'equivalenza che identifica tutti i punti del tipo (x,0).

Il cono è quindi costruito in due fasi: prima si costruisce un "cilindro" X\times [0,1], e quindi si collassa una delle due basi del cilindro ad un punto.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Punti[modifica | modifica sorgente]

Se X è un insieme finito di punti x_1,\ldots, x_k con la topologia discreta, il cono C(X) è omeomorfo ad un grafo con vertici v,x_1,\ldots, x_k stellato in v, cioè con uno spigolo che collega v ad ogni x_i.

Dischi e sfere[modifica | modifica sorgente]

Valgono gli omeomorfismi seguenti:

C(S^{n-1}) \cong D^n, \quad C(D^{n-1}) \cong D^n.

Il cono su una sfera è quindi un disco, ed il cono su un disco è anch'esso un disco (l'usuale cono geometrico è infatti omeomorfo ad un disco).

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Un cono è sempre connesso per archi, anche se lo spazio di partenza X non lo è. Infatti è sempre possibile congiungere due punti del cono passando dal vertice.

Un cono è sempre uno spazio contrattile. Ne segue che ogni spazio topologico è contenuto in uno spazio contrattile.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]