Cono (topologia)

Cono di una circonferenza. La circonferenza di partenza è blu, ed il punto collassato è verde.

In topologia, il cono di uno spazio topologico $X$ è un nuovo spazio topologico $C(X)$ che, similmente all'usuale cono geometrico, ha un vertice ed una base omeomorfa a $X$.

Definizione

Sia $X$ uno spazio topologico. Il cono $C(X)$ è lo spazio quoziente

$C(X)=(X\times [0,1])/(X\times \{0\})$

del prodotto di $X$ con l'intervallo unitario $[0,1]$ rispetto alla relazione d'equivalenza che identifica tutti i punti del tipo $(x,0)$.

Il cono è quindi costruito in due fasi: prima si costruisce un "cilindro" $X\times [0,1]$, e quindi si collassa una delle due basi del cilindro ad un punto.

Esempi

Punti

Se $X$ è un insieme finito di punti $x_{1},\ldots ,x_{k}$ con la topologia discreta, il cono $C(X)$ è omeomorfo ad un grafo con vertici $v,x_{1},\ldots ,x_{k}$ stellato in $v$, cioè con uno spigolo che collega $v$ ad ogni $x_{i}$.

Dischi e sfere

Valgono gli omeomorfismi seguenti:

$C(S^{n-1})\cong D^{n},\quad C(D^{n-1})\cong D^{n}.$

Il cono su una sfera è quindi un disco, ed il cono su un disco è anch'esso un disco (l'usuale cono geometrico è infatti omeomorfo ad un disco).

Proprietà

Un cono è sempre connesso per archi, anche se lo spazio di partenza $X$ non lo è. Infatti è sempre possibile congiungere due punti del cono passando dal vertice.

Un cono è sempre uno spazio contrattile. Ne segue che ogni spazio topologico è contenuto in uno spazio contrattile.

Bibliografia

• Allen Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0
• (EN) cone, in PlanetMath.