Topologia cofinita

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La topologia cofinita su un insieme X è la topologia i cui chiusi sono tutti e soli i sottoinsiemi finiti, oltre a X stesso. [1]

Un sottoinsieme cofinito di un insieme X è un sottoinsieme A di X che contiene tutti gli elementi di X tranne un numero finito di essi. In altri termini, il suo complemento in X è un insieme finito.

Questa topologia è la meno fine fra tutte quelle che soddisfano l'assioma T1 di separabilità; in altre parole, è la meno fine fra tutte quelle in cui ciascun punto costituisce un insieme chiuso. Se X è un campo, questa coincide con la topologia di Zariski, in cui i chiusi sono gli insiemi su cui si annullano i polinomi.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Su uno spazio finito le topologie discrete e cofinita coincidono.
  • Uno spazio con la topologia cofinita è di Hausdorff se e solo se è finito.
  • Tutti i sottoinsiemi di uno spazio con la topologia cofinita sono compatti, benché non siano necessariamente chiusi: questo è possibile perché lo spazio non è di Hausdorff.
  • Gli spazi topologici con topologia cofinita a meno di omeomorfismo sono classificati dalla loro cardinalità.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La topologia cofinita T è effettivamente una topologia, perché i sottoinsiemi finiti verificano gli assiomi di spazio topologico riguardanti gli insiemi chiusi: l'unione finita e l'intersezione arbitraria di insiemi finiti è infatti un insieme finito.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ M. Manetti, p. 39

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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