Topologia cofinita
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La topologia cofinita su un insieme X è la topologia i cui chiusi sono tutti e soli i sottoinsiemi finiti, oltre a X stesso.
Questa topologia è la meno fine fra tutte quelle che soddisfano l'assioma T1 di separabilità; in altre parole, è la meno fine fra tutte quelle in cui ciascun punto costituisce un insieme chiuso. Se X è un campo, questa coincide con la topologia di Zariski, in cui i chiusi sono gli insiemi su cui si annullano i polinomi.
Proprietà [modifica]
- Su uno spazio finito le topologie discrete e cofinita coincidono.
- Uno spazio con la topologia cofinita è di Hausdorff se e solo se è finito.
- Tutti i sottoinsiemi di uno spazio con la topologia cofinita sono compatti, benché non siano necessariamente chiusi: questo è possibile perché lo spazio non è di Hausdorff.
- Gli spazi topologici con topologia cofinita a meno di omeomorfismo sono classificati dalla loro cardinalità.
Dimostrazione [modifica]
La topologia cofinita T è effettivamente una topologia, perché i sottoinsiemi finiti verificano gli assiomi di spazio topologico riguardanti gli insiemi chiusi: l'unione finita e l'intersezione arbitraria di insiemi finiti è infatti un insieme finito.
Voci correlate [modifica]
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