Insieme finito

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In matematica, un insieme A è detto finito se esiste una biiezione (ovverosia una funzione sia iniettiva che suriettiva) tra un insieme della forma \left\{ 1,..., n \right\} ed A, dove n è un numero naturale. Per brevità scriviamo \bar{n}:=
\left\{ 1,..., n \right\}.
Ad esempio l'insieme A:= \left\{ e, \pi, e^\pi \right\} è finito perché la funzione f: \left\{ 1,2,3 \right\} \rightarrow A
definita mediante  f(1):=e, \ f(2):=\pi, \ 
f(3):=e^{\pi} è una biiezione tra \bar{3} ed A.
Per poter definire il numero di elementi di un insieme finito ci occorre il seguente risultato: se A è un insieme finito ed esistono n,m numeri naturali e f:\bar{n} \rightarrow A, g:\bar{m} \rightarrow A
biiezioni allora n=m.
Questo fatto ci consente di definire il numero di elementi di un insieme finito A come l'unico naturale n tale che esiste una biiezione tra \bar{n} ed A (esiste di certo per la definizione stessa di insieme finito ed è unico per il risultato citato).
Tale numero si indica con \#A oppure con |A| e si dice talvolta cardinalità di A. Ora possiamo affermare a rigore che l'insieme A=\left\{e, \pi, e^\pi
\right\} dell'esempio ha 3 elementi, cioè \#A=3. Altri esempi: \#\left\{7,-12,18,\pi \right\}=4, \#\left\{1,2,1,1 \right\}=2; per definizione, inoltre, si pone  \#\emptyset=0 (dove \emptyset denota l'insieme vuoto). Un insieme si dice infinito se non è finito. Esistono altre definizioni di insieme infinito, equivalenti a questa, che si adoperano in matematica a seconda delle esigenze dimostrative.

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