Retta proiettiva

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In matematica, e più precisamente in geometria proiettiva, la retta proiettiva è un'estensione della retta, ottenuta aggiungendo il "punto all'infinito".

Nel caso della retta reale, si distingue dalla retta estesa, che è ottenuta aggiungendo due punti all'infinito, uno per ogni direzione: +\infty e -\infty .

A differenza della retta estesa, che è definita soltanto per i numeri reali, il concetto di retta proiettiva si applica poi su qualsiasi campo (ad esempio, il campo dei complessi), ed è la versione 1-dimensionale del concetto più generale di spazio proiettivo.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una definizione informale di retta proiettiva, dipendente da un campo  K , potrebbe essere data aggiungendo semplicemente un punto a  K, chiamato "infinito" o \infty . Una definizione di questo tipo non mostra però come questo nuovo punto debba essere considerato nella nuova struttura: si sceglie quindi (come in tutti gli spazi proiettivi) una definizione più formale ed omogenea, apparentemente molto diversa, che considera subito tutti i punti allo stesso livello. Le due descrizioni arrivano quindi a coincidere al momento in cui si deciderà che un dato punto è "quello all'infinito".

Quoziente[modifica | modifica wikitesto]

Sia  K un campo. La retta proiettiva su  K è definita a partire dal piano

 K^2 = \{(x,y)\ |\ x,y\in K \}

rimuovendo l'origine (0,0) e quozientando per la relazione d'equivalenza

 (x_1,y_1)\sim (\lambda x_1, \lambda y_1)

che identifica due punti ottenuti l'uno dall'altro tramite riscalamento per un fattore \lambda . In altre parole, identifica tutti i punti presenti su ogni singola retta passante per l'origine. Formalmente:

 \mathbb P^1(K) = \big(K^2\setminus\{(0,0)\}\big)_{/\sim}.

Coordinate omogenee[modifica | modifica wikitesto]

Come in ogni spazio proiettivo, ogni punto della retta proiettiva è quindi identificato da una coppia di coordinate omogenee

 P = [x_0,x_1]\,\!

dove si intende che moltiplicando entrambi i valori  x_0 e  x_1 per un numero \lambda\neq 0 si ottiene lo stesso punto  P :

 P = [x_0,x_1] = [\lambda x_0, \lambda x_1].\,\!

Punto all'infinito[modifica | modifica wikitesto]

Usando queste coordinate, è possibile ricavare la descrizione più familiare di retta proiettiva come unione di una retta normale  K e di un "punto all'infinito". Infatti

 \mathbb P^1(K) = \{[1,0]\}\cup\{[x,1]\ |\ x\in K\}

poiché a meno di riscalamento ogni coppia [x_0,x_1] può essere espressa unicamente in uno dei modi descritti. In questa descrizione, il "punto all'infinito" è  [1,0] . Ogni punto della retta proiettiva può però essere identificato come "punto all'infinito" in una opportuna descrizione.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Caso reale[modifica | modifica wikitesto]

Se  K = \R è il campo dei numeri reali, la retta proiettiva è ottenuta aggiungendo un punto all'infinito alla retta reale. Dal punto di vista topologico, lo spazio che si ottiene è una circonferenza.

Caso complesso[modifica | modifica wikitesto]

La retta proiettiva complessa è la sfera di Riemann, ottenuta aggiungendo il punto all'infinito al piano complesso.

Il caso complesso risulta essere di notevole interesse in matematica e in geometria. La retta proiettiva complessa \mathbb P^1(\mathbb C) è ottenuta aggiungendo un punto al piano complesso. Topologicamente, come si evince dalla proiezione stereografica, è una sfera, detta sfera di Riemann. La sfera di Riemann è un oggetto importante, che ha molti collegamenti con vari ambiti della geometria: è centrale infatti sia nella geometria proiettiva che nella differenziale.

Campi finiti[modifica | modifica wikitesto]

La definizione è ovviamente valida anche nel caso in cui il campo  K sia un campo finito, con  n elementi. In questo caso, la retta proiettiva consta di  n+1 elementi.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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