Chirurgia di Dehn

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In matematica, e più precisamente nella topologia della dimensione bassa, la chirurgia di Dehn è una operazione che permette la trasformazione di una 3-varietà in un'altra 3-varietà. La trasformazione consiste nella rimozione di un toro solido dal suo interno, e nel suo successivo reincollamento, con una mappa che può essere diversa da quella originaria.

La seconda operazione (di reincollamento) può essere effettuata autonomamente e ha il nome di riempimento di Dehn.

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Riempimento di Dehn[modifica | modifica wikitesto]

Sia M una 3-varietà con bordo, il cui bordo contiene un toro T. Un riempimento di Dehn è l'operazione di incollamento di M e di un toro solido S lungo i bordi T e \partial S.

Più precisamente, l'incollamento è determinato da un omeomorfismo

\phi:T\to\partial S

fra i due tori. Questo determina lo spazio quoziente

 N = (M\cup S)/_\sim

dove \sim è la relazione di equivalenza indotta da \phi, che identifica ogni punto x di T con il punto \phi(x) di \partial S. Lo spazio quoziente N risulta essere una 3-varietà.

Chirurgia di Dehn[modifica | modifica wikitesto]

La chirurgia di Dehn è una operazione che consta di due passaggi. Sia M una 3-varietà orientabile e K un nodo contenuto nell'interno di M. Il primo passaggio consiste nella rimozione di un piccolo intorno tubolare aperto del nodo K da M. Poiché M è orientabile, l'intorno tubolare è omeomorfo ad un toro solido, e la varietà M' risultante dalla rimozione ha una nuova componente di bordo T, data dal bordo di questo toro solido, omeomorfa ad un toro.

La seconda operazione consiste in un riempimento di Dehn della nuova componente di bordo T. Entrambe le operazioni possono essere sintetizzate dicendo che un toro solido viene rimosso da M, e quindi reincollato. Poiché il modo in cui viene reincollato dipende fortemente dalla scelta della mappa \phi, la varietà che ne risulta può essere molto differente da quella iniziale.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Anatolij Fomenko, Sergej Matveev, Algorithmic and computer methods for three-manifolds, Dordrecht (Paesi Bassi), Kluwer, 1997.
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