Spazio normale

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In matematica, e più precisamente in topologia, uno spazio normale è uno spazio topologico che soddisfa il seguente assioma di separazione:

Per ogni coppia di chiusi disgiunti (E, F), esiste una coppia di aperti disgiunti (U,V) tali che U contiene E e V contiene F.

Ogni coppia di chiusi è contenuta in due aperti disgiunti.

Uno spazio T4 è uno spazio normale che è anche T1. Questa condizione è necessaria affinché l'assioma T4 implichi gli assiomi di separazione precedenti T0, T1, T2 e T3.

Nelle pubblicazioni matematiche la nomenclatura è spesso instabile e le due definizioni sono spesso scambiate, a seconda del periodo storico o del gusto dell'autore.

Funzioni continue definite su spazi normali[modifica | modifica wikitesto]

L'importanza degli spazi normali risiede nella ricchezza delle funzioni continue che è possibile definirvi.
Negli spazi normali (non necessariamente T4), vale infatti l'importante proprietà enunciata dal lemma di Urysohn:

Per ogni coppia di chiusi disgiunti (E,F) di X, esiste una funzione reale continua che assuma valore nullo su E e valga 1 su F.

Definizione equivalente[modifica | modifica wikitesto]

Un'altra condizione del tutto equivalente è la seguente, valida per tutti gli spazi normali:

dati un chiuso E e un aperto A che lo contiene, esiste sempre un aperto U contenente E la cui chiusura è contenuta in A.

È sufficiente considerare l'insieme chiuso F come complementare di A ed applicare la definizione, ricordando i teoremi di De Morgan.
Questa formulazione si mostra più maneggevole di quella canonica in alcune dimostrazioni, come ad esempio quella del Lemma di Urysohn.

Spazio perfettamente normale[modifica | modifica wikitesto]

In analogia a quanto si fa con quelli regolari si potrebbe definire spazio completamente normale uno spazio tale che per ogni coppia di chiusi disgiunti (E,F), esiste una funzione continua f: X \rightarrow [0,1], che valga 0 su E e 1 su F.

Il lemma di Urysohn mostra che tale proprietà, apparentemente più restrittiva, è invece perfettamente equivalente a quella di spazio normale. Per questo la condizione deve farsi ancora più precisa, cioè:

Per ogni coppia di chiusi disgiunti (E,F), esiste una funzione continua f: X \rightarrow [0,1] tale che f^{-1}(0)=E e f^{-1}(1)=F.

Questa proprietà è effettivamente più restrittiva della definizione di spazio normale: uno spazio che la soddisfa si dice spazio perfettamente normale. Uno spazio T5 è uno spazio T1 perfettamente normale.

Spazi metrici[modifica | modifica wikitesto]

Se X è uno spazio metrico, A, B due suoi sottoinsiemi, x un punto qualsiasi, definiamo

d(x, A)= \inf \{d(x, a): a \in A\}

Posto g_A(x) = d(x, A) è facile dimostrare, usando la disuguaglianza triangolare, che per ogni coppia di x e y in X si ha:

|g_A(x) - g_A(y)| \le d(x, y)

definendo così una funzione continua (anzi lipschitziana).

Se E, F sono due insiemi chiusi disgiunti, definiamo:

f(x)=\frac{g_E(x)}{g_E(x)+g_F(x)}

La funzione è ben definita perché i due termini al denominatore non si annullano mai contemporaneamente (ricordiamo che i due sottoinsiemi sono disgiunti). Per note proprietà delle funzioni reali essa è continua e assume il valore 0 su E e il valore 1 su F. Se ne deduce che ogni spazio metrico è completamente normale e quindi T4.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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