Immersione compatta
In matematica la nozione di immersione compatta esprime l'idea che un insieme sia "ben contenuto" all'interno di un altro. Il concetto di immersione compatta è presente in topologia ed in analisi funzionale.
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[modifica] Definizione (spazi topologici)
Sia (X, T) uno spazio topologico, e siano V e W sottoinsiemi di X. Si dice che V è immerso in modo compatto in W, e si scrive V ⊂⊂ W, se
- V ⊆ Cl(V) ⊆ Int(W), dove Cl(V) denota la chiusura di V, e Int(W) denota la parte interna di W; e
- Cl(V) è compatto.
[modifica] Definizione (spazi normati)
Siano X e Y due spazi normati con norme ||•||X e ||•||Y rispettivamente, e si supponga che X ⊆ Y. Si dice X è immerso in modo compatto in Y, e si scrive X ⊂⊂ Y, se
- X è immerso continuamente in Y; cioè esiste una costante C tale che ||x||Y ≤ C||x||X per ogni x in X; e
- qualsiasi insieme limitato in X è precompatto in Y, cioè qualsiasi successione in tale insieme limitato possiede una sottosuccessione che è di Cauchy nella norma ||•||Y.
Se Y è uno spazio di Banach, una definizione equivalente è che l'operatore di immersione (l'identità) i : X → Y è un operatore compatto.
Questa definizione dell'immersione compatta viene utilizzata nell'ambito dell'analisi funzionale quando si studiano spazi di Banach di funzioni. Parecchi teoremi di immersione di Sobolev sono teoremi di immersione compatta.
[modifica] Bibliografia
- Evans, Lawrence C., Partial differential equations, Providence, RI, American Mathematical Society, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
- Rennardy, M., & Rogers, R.C., An Introduction to Partial Differential Equations, Berlin, Springer-Verlag, 1992. ISBN 3-540-97952-2
[modifica] Voci correlate
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