Spazio omogeneo

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In geometria, uno spazio omogeneo è uno spazio i cui punti sono indistinguibili. La nozione si basa sul concetto di omogeneità, applicato in fisica ad esempio ad un corpo o all'intero universo.

In matematica questa nozione è resa formalmente dalla presenza di un gruppo che agisce sullo spazio in modo transitivo.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Definizione generale[modifica | modifica wikitesto]

Uno spazio omogeneo è una tripla (X,G,\rho) formata da un insieme X, un gruppo G ed una azione

\rho:G\to {\rm Aut}(X)

che associa ad un elemento g del gruppo un automorfismo (cioè una biezione o equivalentemente una permutazione) \rho(g) di X. L'azione deve essere transitiva: per ogni coppia x,y di elementi di X deve esistere almeno un elemento g tale che \rho(g)(x)=y.

Strutture[modifica | modifica wikitesto]

Se l'insieme X è dotato di una struttura, generalmente si suppone che gli automorfismi in {\rm Aut}(X) preservino questa struttura. Ad esempio:

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Poiché per ogni coppia di punti x e y esiste un auomorfismo che manda x in y, i punti di X sono indistinguibili dalla struttura. Ad esempio, la circonferenza X, con il gruppo G delle rotazioni, è uno spazio omogeneo, perché tramite un'opportuna rotazione è possibile spostare qualsiasi punto x in un punto dato y. D'altra parte, il quadrato con il gruppo delle rotazioni non è omogeneo, perché non è possibile con una rotazione spostare ad esempio un vertice all'interno di un lato.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Spazi a curvatura costante[modifica | modifica wikitesto]

La sfera S^n di dimensione n è uno spazio omogeneo con il gruppo ortogonale G = O(n+1): tale gruppo agisce su \R^{n+1} preservando la lunghezza dei vettori, e quindi agisce sulla sfera. L'azione è effettivamente transitiva.

Lo spazio euclideo \R^n è uno spazio omogeneo con il gruppo delle traslazioni: tramite opportuna traslazione si può infatti spostare un punto in un qualsiasi altro punto dello spazio.

Lo spazio iperbolico \mathbb H^n è omogeneo con il suo gruppo delle isometrie.

Gli esempi appena descritti sono precisamente le varietà riemanniane semplicemente connesse complete a curvatura sezionale costante K, rispettivamente con K>0 (la sfera) K=0 (il piano) e K<0 (lo spazio iperbolico).

Spazi proiettivi e affini[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio proiettivo \mathbb P^n(K) , definito su un campo K (ad esempio, il campo dei numeri reali o complessi), è uno spazio omogeneo assieme al gruppo G delle proprie proiettività.

Lo spazio affine E^n è uno spazio omogeneo con il gruppo delle traslazioni.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of differential geometry 2, Wiley Classics Library.
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