Spazio iperbolico

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Una tassellazione del piano iperbolico tramite triangoli.

In matematica, lo spazio iperbolico è uno spazio introdotto indipendentemente dai matematici Bolyai e Lobachevsky nel XIX secolo, su cui è definita una particolare geometria non euclidea, detta geometria iperbolica. Si tratta dell'esempio più importante di geometria non euclidea, assieme alla geometria ellittica.

Lo spazio iperbolico ha dimensione arbitraria n ed è indicato con \mathbb H^n. Può essere realizzato tramite vari modelli equivalenti, quali ad esempio il disco, il semispazio di Poincaré o il modello dell'iperboloide. Come nella geometria euclidea, gli spazi più studiati sono il piano iperbolico \mathbb H^2 e lo spazio iperbolico tridimensionale \mathbb H^3.

I modelli[modifica | modifica sorgente]

Lo spazio iperbolico \mathbb H^n è un particolare spazio, su cui è definita una geometria che soddisfa i primi 4 assiomi di Euclide ma non il quinto. La geometria presente in questo spazio è detta iperbolica.

Il numero n indica la dimensione dello spazio iperbolico. In ogni dimensione n, lo spazio iperbolico può essere realizzato da differenti modelli, tutti equivalenti.

Modello del disco[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Disco di Poincaré.
Tre rette incidenti nel modello del disco. Una retta è un arco di circonferenza (o segmento) ortogonale al bordo.

Nel modello del disco di Poincaré, lo spazio iperbolico è la palla n-dimensionale

B^n = \{x\in\R^n\ |\ |x|<1\}.

Per n=2, questo è il cerchio di raggio unitario centrato nell'origine del piano cartesiano, senza la circonferenza di bordo.

Una retta nel disco di Poincaré è un arco di circonferenza, oppure un segmento, che interseca il bordo \partial B^n della palla B^n ortogonalmente in due punti. Due "rette" che si intersecano in un punto formano un angolo, e la sua ampiezza è pari all'angolo formato dalle tangenti.

Modello del semispazio[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Semispazio di Poincaré.

Nel modello del semispazio di Poincaré, lo spazio iperbolico è il semispazio

\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\ |\ x_n>0\}.

Come nel modello del disco, le rette iperboliche sono gli archi di circonferenza e le rette ortogonali al bordo. In questo modello, il bordo è l'iperpiano orizzontale  x_n=0 .

Modello di Klein[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Modello di Klein.
Il V postulato della geometria iperbolica nel modello di Klein.

Nel modello di Klein lo spazio iperbolico è (come nel modello del disco) l'insieme dei punti interni ad un cerchio C. Le rette sono però segmenti veri e propri: la maggiore semplicità nel descrivere le rette viene però pagata nella descrizione degli angoli, che sono distorti rispetto agli angoli euclidei: l'angolo formato da due rette non è quello euclideo, ma dipende da questo tramite una formula opportuna.

La distanza fra due punti P e Q interni al disco è

 d(P,Q) = \frac 12\log\frac{|Q-A||P-B|}{|P-A||Q-B|}

dove |R-S| è la distanza euclidea fra i punti R e S. I punti A e B sono le intersezioni fra la retta euclidea passante per P e Q e il bordo \partial B^n. Il logaritmo è il logaritmo naturale. L'argomento del logaritmo è il birapporto dei quattro punti allineati.

Modello dell'iperboloide[modifica | modifica sorgente]

Nel modello dell'iperboloide, lo spazio iperbolico è l'iperboloide

H = \big\{(x_1,\ldots,x_{n+1})\in\R^{n+1}\ \big|\ x_1^2+\ldots+x_n^2-x_{n+1}^2=-1, x_{n+1}>0\big\}.

In questo modello, una retta è data dall'intersezione di H con un piano passante per l'origine di \R^{n+1}. In questo contesto, è utile definire su \R^{n+1} una struttura di spaziotempo di Minkowski, cioè il prodotto scalare con segnatura (n,1):

\phi\big((x_1,\ldots,x_{n+1}),(y_0,\ldots,y_{n+1})\big) = x_1y_1+\ldots +x_ny_n-x_{n+1}y_{n+1}.

L'insieme degli x aventi \phi(x,x)=-1 ha due componenti connesse, una delle quali (quella superiore, avente x_{n+1}>0) è l'iperboloide H. La distanza fra due punti P e Q su H è definita come

d(P,Q)= \operatorname{arccosh}(\phi(P,Q)).

Definizione univoca[modifica | modifica sorgente]

La definizione più rigorosa di spazio iperbolico \mathbb H^n è la seguente: \mathbb H^n è l'unica varietà iperbolica completa e semplicemente connessa di dimensione n. Una varietà iperbolica è una varietà riemanniana avente curvatura sezionale costantemente -1.

Per "unica" si intende "a meno di isometrie": tutti i modelli elencati sopra sono in effetti collegati tramite isometrie, quindi definiscono concretamente la stessa varietà. Il fatto che esista un solo spazio con queste proprietà è un teorema importante in geometria differenziale.

Sottospazi[modifica | modifica sorgente]

Geodetiche[modifica | modifica sorgente]

Una geodetica è l'analogo della retta nel contesto euclideo. Nel modello del disco o del semispazio, le geodetiche sono archi di circonferenza o retta ortogonali al bordo (del disco o del semispazio). Le geodetiche hanno proprietà simili alle rette nella geometria euclidea:

  1. Per ogni coppia di punti distinti passa una sola geodetica,
  2. Per ogni punto e per ogni vettore tangente nel punto, esiste un'unica geodetica passante per il punto e tangente a questo vettore,
  3. La geodetica che collega due punti P e Q è la curva con lunghezza minore fra tutte le curve che collegano i due punti. Questa lunghezza è proprio pari alla distanza d(P,Q).

Le ultime due proprietà sono valide, almeno localmente, in ogni varietà riemanniana.

Sottospazi[modifica | modifica sorgente]

Come nello spazio euclideo, in quello iperbolico sono definiti, oltre alle geodetiche, spazi di dimensione superiore, come ad esempio i piani.

Un sottospazio di \mathbb H^n è un sottoinsieme S tale che per ogni coppia P e Q di punti in S l'intera geodetica passante per P e Q è contenuta in S.

Mentre le geodetiche esistono (almeno localmente) in ogni varietà riemanniana, i sottospazi esistono solo in varietà molto particolari, quali appunto lo spazio euclideo e quello iperbolico. Come nel caso euclideo, un sottospazio di \mathbb H^n risulta essere isometrico a \mathbb H^k, per qualche k. Il numero k è la dimensione del sottospazio: per k=1 si ottiene una geodetica, per k=2 un piano, etc.

L'intersezione di due sottospazi è sempre un sottospazio.

Parallelismo[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Parallelismo in geometria iperbolica.

Lo spazio iperbolico si differenzia però nettamente da quello euclideo per la nozione di parallelismo. Dati due sottospazi S e S' disgiunti, esistono due nozioni di parallelismo ben distinte:

  1. Se esiste un k>0 tale che d(x,x')>k per ogni x in S e ogni x' in S', allora i due spazi sono ultraparalleli.
  2. Se non esiste un tale k, i due spazi sono asintoticamente paralleli.

Nel secondo caso, esistono successioni di punti (x_i) e (x_i') in S e S' le cui distanze d(x_i,x_i') tendono a zero. Questo fenomeno non si verifica negli spazi euclidei.

Isometrie[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Isometria dello spazio iperbolico.

Una isometria di \mathbb H^n è un movimento rigido dello spazio, cioè una funzione che sposta tutti i punti dello spazio mantenendo le distanze fra questi. Le isometrie dello spazio iperbolico si comportano per molti aspetti in modo simile a quelle dello spazio euclideo. Possono inoltre essere studiate efficacemente tramite la sfera all'infinito.

Spazio omogeneo e isotropo[modifica | modifica sorgente]

Nello spazio euclideo \R^n, esempi di isometrie sono le traslazioni e le rotazioni. Tramite queste isometrie è possibile spostare punti e rette a piacimento: la stessa proprietà vale anche nello spazio iperbolico: questo è infatti omogeneo e isotropo: i punti e le rette sono tutti indistinguibili. Più precisamente, per ogni coppia di punti P e Q, e per ogni coppia di rette r e s passanti rispettivamente per P e Q, esiste una isometria dello spazio che manda P in Q e r in s.

Sfera all'infinito[modifica | modifica sorgente]

Nel modello del disco di Poincaré B^n, la sfera all'infinito dello spazio iperbolico \mathbb H^n è il bordo \partial B^n del disco. Come spazio topologico, \overline {\mathbb H^n} è omeomorfo al disco chiuso

D^n = \{x\in\R^n\ |\ |x| \leq 1\} = B^n \cup S^{n-1}.

Si tratta quindi di uno spazio compatto. Il procedimento di compattificazione tramite aggiunta di "punti all'infinito" è simile al passaggio dallo spazio euclideo a quello proiettivo.

Tipi di isometrie[modifica | modifica sorgente]

Una isometria dello spazio iperbolico

f:\mathbb H^n\to\mathbb H^n

si estende al bordo. Esiste cioè un unico omeomorfismo

\bar f:\overline {\mathbb H^n}\to\overline {\mathbb H^n}

che coincide con f all'interno del disco, cioè su \mathbb H^n.

Il teorema del punto fisso di Brouwer asserisce che ogni omeomorfismo del disco chiuso D^n in sé ha un punto fisso. Tale teorema, che non è valido sulla palla aperta B^n, garantisce quindi l'esistenza di un punto fisso per la funzione estesa \bar f (ma non per f).

Una isometria f che preserva l'orientazione dello spazi iperbolico è detta:

  • ellittica se ha un punto fisso in \mathbb H^n,
  • parabolica se non ha punti fissi in \mathbb H^n e ne ha uno al bordo \partial \mathbb H^n,
  • iperbolica se non ha punti fissi in \mathbb H^n e ne ha due al bordo \partial \mathbb H^n.

Non vi sono altre possibilità oltre a quelle elencate.

Varietà iperboliche complete[modifica | modifica sorgente]

Ogni varietà iperbolica completa è ottenibile come quoziente dello spazio iperbolico per un gruppo di isometrie che agisce in modo libero e propriamente discontinuo. In particolare, una tale isometria non deve avere punti fissi in \mathbb H^n.

Se la varietà iperbolica è orientabile, il gruppo è formato da isometrie che preservano l'orientazione. Tali isometrie sono quindi iperboliche o paraboliche (le ellittiche sono escluse perché hanno punti fissi in \mathbb H^n). Se la varietà è compatta, tutte le isometrie sono iperboliche.

Piano iperbolico[modifica | modifica sorgente]

Geometria iperbolica[modifica | modifica sorgente]

Piano iperbolico rappresentato tramite il disco di Poincaré.
Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Geometria iperbolica.

Il piano iperbolico è lo spazio iperbolico \mathbb H^2 bidimensionale. È lo spazio iperbolico più studiato, ed il primo ad essere stato introdotto storicamente, come esempio di geometria iperbolica e quindi non-euclidea. Sul piano iperbolico sono infatti validi i primi quattro assiomi di Euclide:

  1. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta.
  2. Si può prolungare una retta oltre i due punti indefinitamente.
  3. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.
  4. Tutti gli angoli retti sono uguali.

ma non è vero il quinto:

Data una qualsiasi retta  r ed un punto  P non appartenente ad essa, è possibile tracciare per  P una ed una sola retta parallela alla retta  r data.

Quest'ultimo assioma va infatti sostituito con il seguente:

Data una qualsiasi retta  r ed un punto  P non appartenente ad essa, è possibile tracciare per  P infinite rette parallele alla retta  r data.

Spazio iperbolico tridimensionale[modifica | modifica sorgente]

Lo spazio iperbolico tridimensionale \mathbb H^3 è stato oggetto di intensi studi da parte dei matematici soprattutto a partire dalla fine degli anni settanta, cioè più di un secolo dopo l'introduzione del piano iperbolico. L'improvviso interesse per lo spazio iperbolico è dovuto agli studi di William Thurston, che hanno mostrato inaspettatamente l'enorme importanza della geometria iperbolica nello studio delle varietà differenziabili di dimensione 3.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Riccardo Benedetti, Carlo Petronio, Lectures on hyperbolic geometry, Springer, 1992.
  • (EN) John Milnor, Hyperbolic geometry: the first 150 years in Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 6, nº 1, 1982.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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