Semispazio di Poincaré

Tassellatura eptagonale del modello.

Il semispazio di Poincaré è un modello di geometria iperbolica, descritto dal matematico francese Jules Henri Poincaré. Un altro modello con caratteristiche simili è il disco di Poincaré.

Definizione

Il semispazio di Poincaré è il semispazio $n$-dimensionale

$H^n = \{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\ |\ x_n>0\}$

dotato del tensore metrico

$ds^2 = \frac{\sum_i dx_i^2}{x_n^2}.$

In altre parole, il tensore metrico nel punto $(x_1,\ldots,x_n)$ è

$g_{ij} = \frac 1{x_n^2}\delta_{ij}$

dove $\delta$ è la delta di Kronecker. Cioè

$g = \frac 1{x_n^2}I$

dove $I$ è la matrice identità $n$-dimensionale. Si tratta quindi dell'usuale tensore metrico euclideo, riscalato di un fattore positivo

$\frac 1{x_n^2}$

che dipende dal punto, e che tende a infinito se il punto si avvicina all'iperpiano $x_n=0$.

Proprietà

Il tensore metrico è definito positivo in ogni punto: il disco di Poincaré è quindi una varietà riemanniana di dimensione $n$. Su una varietà riemanniana sono quindi definiti i concetti di distanza, geodetica e angolo.

Voci correlate

• Spazio iperbolico
• Disco di Poincaré

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