Semispazio di Poincaré

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Tassellatura eptagonale del modello.

Il semispazio di Poincaré è un modello di geometria iperbolica, descritto dal matematico francese Jules Henri Poincaré. Un altro modello con caratteristiche simili è il disco di Poincaré.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Il semispazio di Poincaré è il semispazio n-dimensionale

H^n = \{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\ |\ x_n>0\}

dotato del tensore metrico

ds^2 = \frac{\sum_i dx_i^2}{x_n^2}.

In altre parole, il tensore metrico nel punto (x_1,\ldots,x_n) è

g_{ij} = \frac 1{x_n^2}\delta_{ij}

dove \delta è la delta di Kronecker. Cioè

g = \frac 1{x_n^2}I

dove I è la matrice identità n-dimensionale. Si tratta quindi dell'usuale tensore metrico euclideo, riscalato di un fattore positivo

\frac 1{x_n^2}

che dipende dal punto, e che tende a infinito se il punto si avvicina all'iperpiano x_n=0.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Il tensore metrico è definito positivo in ogni punto: il semispazio di Poincaré è quindi una varietà riemanniana di dimensione n. Su una varietà riemanniana sono quindi definiti i concetti di distanza, geodetica e angolo.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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