Modello di Klein

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Il V postulato della geometria iperbolica nel modello di Klein.

Il modello di Klein è un modello di geometria iperbolica, introdotto da Eugenio Beltrami[1] per dimostrare l'indipendenza del V postulato di Euclide dai primi quattro. La descrizione del modello come spazio metrico è dovuta successivamente a Arthur Cayley[2] ed approfondita successivamente da Felix Klein[3].

Come il disco di Poincaré, il modello di Klein è una palla n-dimensionale. La geometria è definita però in modo differente: le geodetiche nel modello di Klein sono infatti segmenti e non archi di circonferenza. La maggiore semplicità nella descrizione delle geodetiche è però controbilanciata da una maggiore complicazione nella descrizione degli angoli fra queste: il modello di Klein non è un infatti modello conforme, gli angoli fra rette non sono cioè quelli usuali del piano euclideo.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Il modello di Klein è un modello di geometria iperbolica definito sulla palla n-dimensionale

B^n = \{x\in\R^n\ |\ |x|<1\}

dotata di una geometria diversa da quella euclidea. Tale geometria può essere introdotta in vari modi. La dimensione n è arbitraria, ma la più studiata è senza dubbio la dimensione n=2: in questo caso lo spazio è veramente un disco, centrato nell'origine e di raggio unitario.

Distanza[modifica | modifica sorgente]

La distanza fra due punti è definita nel modo seguente. Siano u e v due punti del disco. Siano u' e v' i punti di intersezione della retta r passante per u e v con il bordo del disco

\partial B^n = \{x\in\R^n\ |\ |x|=1\}.

I punti u', u, v, v' giacciono con questo ordine sulla retta r. La distanza fra u e v è

d(u,v) = \frac 12\ln\big(\operatorname b(u,v',v,u')\big)

ovvero il logaritmo naturale del birapporto dei quattro punti. Con questa distanza il modello di Klein è uno spazio metrico.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante in Annali. di Mat., ser II, vol. 2, 1868, pp. 232–255. DOI:10.1007/BF02419615.
  2. ^ Arthur Cayley, A Sixth Memoire upon Quantics in Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol. 159, 1859, pp. 61–91. DOI:10.1098/rstl.1859.0004.
  3. ^ Felix Klein, Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie in Mathematische Annalen, vol. 4, 1871, pp. 573–625. DOI:10.1007/BF02100583.
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