Modello di Klein

Il V postulato della geometria iperbolica nel modello di Klein.

Il modello di Klein è un modello di geometria iperbolica, introdotto da Eugenio Beltrami per dimostrare l'indipendenza del V postulato di Euclide dai primi quattro. La descrizione del modello come spazio metrico è dovuta successivamente a Arthur Cayley ed approfondita successivamente da Felix Klein.

Come il disco di Poincaré, il modello di Klein è una palla $n$-dimensionale. La geometria è definita però in modo differente: le geodetiche nel modello di Klein sono infatti segmenti e non archi di circonferenza. La maggiore semplicità nella descrizione delle geodetiche è però controbilanciata da una maggiore complicazione nella descrizione degli angoli fra queste: il modello di Klein non è un infatti modello conforme, gli angoli fra rette non sono cioè quelli usuali del piano euclideo.

Definizione

Il modello di Klein è un modello di geometria iperbolica definito sulla palla $n$-dimensionale

$B^n = \{x\in\R^n\ |\ |x|<1\}$

dotata di una geometria diversa da quella euclidea. Tale geometria può essere introdotta in vari modi. La dimensione $n$ è arbitraria, ma la più studiata è senza dubbio la dimensione $n=2$: in questo caso lo spazio è veramente un disco, centrato nell'origine e di raggio unitario.

Distanza

La distanza fra due punti è definita nel modo seguente. Siano $u$ e $v$ due punti del disco. Siano $u'$ e $v'$ i punti di intersezione della retta $r$ passante per $u$ e $v$ con il bordo del disco

$\partial B^n = \{x\in\R^n\ |\ |x|=1\}.$

I punti $u', u, v, v'$ giacciono con questo ordine sulla retta $r$. La distanza fra $u$ e $v$ è

$d(u,v) = \frac 12\ln\big(\operatorname b(u,v',v,u')\big)$

ovvero il logaritmo naturale del birapporto dei quattro punti. Con questa distanza il modello di Klein è uno spazio metrico.

Note

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