Cerchio

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In geometria piana, il cerchio è una porzione di piano delimitata da una circonferenza[1], ovvero l'insieme dei punti che distano da un punto dato detto centro non più di una distanza fissata detta raggio. In un sistema di assi cartesiani un generico cerchio di centro (a;b) e raggio R è rappresentato dall'insieme di punti che soddisfano la seguente condizione:

\overline{ D }=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 \le R^2\}

Esso può essere immaginato come un poligono regolare con un numero di lati infinito, o meglio come il limite di una successione di poligoni regolari ad n lati per n che tende ad infinito

Un segmento avente gli estremi sulla circonferenza è detto corda; ognuna delle due parti in cui questa divide il cerchio si chiama segmento circolare. Se la corda in questione passa per il centro, essa si chiama diametro e i due segmenti sono congruenti e si chiamano semicerchi.

Un segmento circolare può anche essere la parte di cerchio compresa tra due corde parallele.

Circle elements - Italian.svg

L'intersezione fra un angolo al centro, cioè un angolo avente come vertice il centro del cerchio, ed il cerchio stesso (visivamente, un "spicchio" di cerchio) si chiama settore circolare. Se l'angolo al centro è retto, il settore circolare che individua si chiama quadrante; se è piatto, è il semicerchio.

Due cerchi aventi lo stesso centro si dicono concentrici. L'area compresa fra le due circonferenze si chiama corona circolare.

La formula dell'area del cerchio può essere ottenuta come limite di quella del poligono regolare, ovvero come lunghezza della circonferenza per raggio diviso 2:

\mathrm{Area}=\frac{circonferenza \times raggio}{2}=\pi r^2

La quadratura del cerchio si riferisce all'impossibile compito di costruire con riga e compasso, a partire da un cerchio, un quadrato della stessa area.

Alcuni solidi tridimensionali che possono avere, se tagliati da un piano, sezioni circolari sono la sfera, il cilindro ed il cono.

Il cerchio viene detto inscritto in un poligono quando la sua circonferenza è tangente ad ogni lato di quest'ultimo, e circoscritto quando passa per ogni vertice.

Indice

[modifica] L'area

[modifica] Integrazione con le coordinate polari

Il valore dell'area del cerchio può venir visto come il valore dell'integrale doppio della funzione f(x,y) = 1 su un intervallo coincidente con il cerchio. In formule si ha \iint_{cerchio}1 dx dy.. Utilizzando il cambio di coordinate da cartesiane a polari si ottiene \int_0^{2\pi}\int_{0}^R \rho d\rho d\theta, dove ρ e θ sono le variabili polari. Al posto della funzione integranda f(x,y) = 1 abbiamo f(ρ,θ) = ρ per via del cambio base. A questo punto l'integrale doppio si può scomporre nel prodotto di due integrali, in quanto le variabili sono separabili. Si ottiene \int_0^{2\pi} d\theta \cdot\int_{0}^R \rho d\rho=2\pi\cdot \frac{1}{2}R^2=\pi R^2.

[modifica] Integrazione "a cipolla"

Un metodo di integrazione per calcolare l'area del cerchio

Un primo approccio, tramite gli integrali, al calcolo dell'area del cerchio può essere fatto pensando che questa superficie è data dalla somma progressiva di infiniti cerchi concentrici che hanno come valore massimo la circonferenza e come minimo il centro del cerchio. In pratica è come se sommassimo tra di loro infiniti anelli, aventi ognuno spessore infinitesimo. Da questa rappresentazione comprendiamo come il nome legato alla cipolla derivi proprio dalla stratificazione del cerchio, come quella di una cipolla, anche se in due dimensioni. Possiamo dunque chiamare t il raggio del cerchio a cui corrisponde ogni singola circonferenza, la cui lunghezza è 2πt (notiamo che in questa dimostrazione si dà per assunto questo dato). Quindi possiamo integrare (integrazione definita) 2πtdt, cioè la funzione che ci dà le diverse circonferenze (separate dal fattore infinitesimo dt), tra il valore massimo e minimo dei loro raggi, r e 0.

\begin{align} \mathrm{Area}(r) &{}= \int_0^{r} 2 \pi t \, dt \\ &{}= \left[ (2\pi) \frac{t^2}{2} \right]_{t=0}^{r}\\ &{}= \pi r^2. \end{align}

[modifica] Integrazione della semicirconferenza nel piano cartesiano

Per procedere al calcolo dell'area di un cerchio attraverso un secondo metodo consideriamo innanzitutto una circonferenza con centro nell'origine degli assi; questo ci permette infatti di semplificare il caso generico di una circonferenza traslata rispetto all'origine, dato che la traslazione non modifica l'area.
L'equazione di una circonferenza di generico raggio r e centro nell'origine degli assi è:
x2 + y2 = r2
Come sappiamo dalla definizione la suddetta formula non è una funzione, in quanto associa a alcuni punti più di un punto. Per risolvere questo inconveniente e integrare la funzione è sufficiente, dopo averla esplicitata rispetto alle ordinate, y=\pm\sqrt{r^2-x^2},prenderne solo le immagini non negative.
Avremo quindi che l'equazione della funzione che ci descrive la semicirconferenza con centro nell'origine di generico raggio r è y=\sqrt{r^2-x^2}
Per conoscere quindi l'area del cerchio completo basta calcolare l'area sottesa alla funzione, tra -r e r :
\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}\,dx.
Svolgiamo quindi i calcoli, ricorrendo al teorema fondamentale del calcolo integrale:

\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}\,dx =\left [ \int\sqrt{r^2-x^2}\right ]_{-r}^{r}=
=\left [ \frac{1}{2} \left ( r^2\arcsin\left ({\frac{x}{r}}\right )+x\sqrt{r^2-x^2} \right ) \right ]_{-r}^{r}=
=\frac{1}{2}{{r^2}\arcsin\left ( {\frac{r}{r}} \right )}+\frac{1}{2}{r\sqrt{r^2-r^2}}-\frac{1}{2}{{r^2}\arcsin\left ({\frac{r}{-r}}\right )}+\frac{1}{2}{r}{\sqrt{r^2-r^2}}=\,\!
=\frac{1}{2}{{r^2}\arcsin\left ({1}\right )}+\frac{1}{2}{r\sqrt0}-\frac{1}{2}{{r^2}\arcsin\left ({-1}\right )}+\frac{1}{2}{r\sqrt0}=
=\frac{1}{2}{r^2}\frac{\pi}{2}+0+\frac{1}{2}{r^2}\frac{\pi}{2}+0=
=\frac{1}{2}{\pi}{r^2}


Per arrivare alla formula finale ricordiamo che fin dal principio stavamo calcolando l'area tra il grafico della semicirconferenza y=\sqrt{r^2-x^2} e l'asse x, per cui l'area del cerchio con centro nell'origine sarà il doppio: 2\cdot \frac{1}{2}{\pi}{r^2}={\pi}{r^2}\qquad\,che è proprio la formula usata comunemente.
Dobbiamo notare che in questa dimostrazione diamo per definita la formula dell'arcoseno (per trovare una primitiva della funzione), e quindi buona parte della trigonometria; questo però significa inserire anche nei concetti necessari per usare questo metodo quello di pi greca, che è indissolubilmente legato al concetto di cerchio e alle relazioni tra le sue parti.

[modifica] Il perimetro del cerchio

[modifica] Integrazione della semicirconferenza nel piano cartesiano

Il perimetro del cerchio, che si può definire anche come la lunghezza della circonferenza, si può pensare calcolabile grazie all'integrazione della funzione corrispondente alla semicirconferenza, avente centro nell'origine, tra -r e r, cioè il raggio. Ovviamente non possiamo utilizzare l'integrale definito, ma ci serve l'integrale che associa ad una funzione la lunghezza della curva che descrive: la formula di questo integrale, data una funzione f(x) e due punti a e b è:
\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left ( \dot {f}(x) \right )^2 }\,dx
Sappiamo che l'equazione di una circonferenza di generico raggio r e centro nell'origine degli assi è:
x2 + y2 = r2
Questa, come visto per l'area, va resa una funzione, e per farlo basta dopo averla esplicitata in funzione di y, y=\pm\sqrt{r^2-x^2}, prenderne solo le immagini non negative.
L'equazione della funzione che descrive la semicirconferenza che ci serve sarà allora y=\sqrt{r^2-x^2}
Per calcolare l'integrale ci serve però la derivata prima della funzione stessa, quindi: y'=\frac{-2x}{ 2 \sqrt{r^2-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}
Adesso possiamo procedere al calcolo dell'integrale della curva tra -r e r:
Svolgiamo quindi i calcoli, ricorrendo come prima al teorema di Torricelli-Barrow:

\int_{-r}^{r} \sqrt {1+ \left (\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}} \right )^2} \,dx =\left [ \int\ \sqrt { 1+ \frac{x^2}{r^2-x^2} } \right ]_{-r}^{r}=
=\left [ \int\ \sqrt { \frac{r^2-x^2+x^2}{r^2-x^2} } \right ]_{-r}^{r}=
=\left [ \int\ \sqrt { \frac{r^2}{r^2-x^2} } \right ]_{-r}^{r}=
=\left [ \int\ \frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}} \right ]_{-r}^{r}=
=\left [ \int\ \frac{r}{r\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}} \right ]_{-r}^{r}=
=\left [ \int\ \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}} \right ]_{-r}^{r}=
=\left [ r \arcsin \left ( {\frac{x}{r}} \right ) \right ]_{-r}^{r}=
= r \arcsin \left ({\frac{r}{r}}\right ) - r \arcsin \left ({\frac{-r}{r}}\right ) =
= r \arcsin \left ( 1 \right ) - r \arcsin \left ( -1 \right ) =
=r\frac{\pi}{2} +r\frac{\pi}{2} =
= 2*\frac{\pi r}2 = {\pi r}


Ma dal momento che stavamo calcolando la lunghezza dei una semicirconferenza, allora il perimetro del cerchio sarà pari al doppio del valore trovato, cioè: 2 \cdot \pi r = 2 \pi r
Ed è esattamente il valore che viene utilizzato solitamente.
Come per il calcolo dell'area, dobbiamo ricordare che per la dimostrazione è essenziale conoscere la trigonometria, che implica di fatto la conoscenza del valore di pi greco e il suo legame con le componenti di un cerchio. In pratica quindi quella che abbiamo fatto più che una dimostrazione è una riprova della formula che lega il raggio e la lunghezza di una circonferenza qualunque.

[modifica] Cerchio, letteratura e filosofia

La figura del cerchio e del circolo è al centro dell'opera di Platone. Leonardo da Vinci preferì invece collocare al centro della natura la figura della spirale. Lo stesso fece Ralph Waldo Emerson, introducendo nel suo saggio sui "Cerchi" la figura di cerchi in espansione come simbolo dell'avanzamento dello spirito umano.

[modifica] Angoli particolari nel cerchio

[modifica] Angolo al centro

Si definisce 'angolo al centro' l'angolo che ha per vertice il centro della circonferenza e per lati due semirette che intersecano la circonferenza. Il cerchio è quindi diviso in due partic da ogni suo angolo al centro.

[modifica] Angolo alla circonferenza

Si definisce 'angolo alla circonferenza' l'angolo CONVESSO che ha per vertice un punto appartenente alla circonferenza e per lati due semirette che sono o entrambe secanti la circonferenza o una secante ed una tangente alla circonferenza.

[modifica] Proprietà

L'angolo al centro è sempre il doppio del corrispondente angolo alla circonferenza.

[modifica] Formulario

[modifica] Formule geometriche

Area Raggio Diametro Circonferenza
Area - \pi r^2\! \frac{\pi}{4}d^2 \frac{P^2}{4\pi}
Raggio \sqrt{\frac{A}{\pi}} - \frac{d}{2} \frac{P}{2\pi}

[modifica] Formule analitiche

Avendo le coordinate del centro (X0,Y0) e di un punto sulla circonferenza ((Xi,Yi)) è possibile determinare l'area

Raggio \sqrt{(x_0 - x_i)^2 + (y_0 - y_i)^2} \!
Area \pi((x_0 - x_i)^2 + (y_0 - y_i)^2) \!

date invece le coordinate di tre punti a, b, c qualsiasi sulla circonferenza le coordinate del centro si calcolano come quelle del circumcentro del triangolo[2]

x_0 = \frac{b_x}{-2a} \quad ; \quad y_0 = \frac{b_y}{-2a}

con

b_x = -\begin{vmatrix} x_a^2+y_a^2 & y_a & 1 \\ x_b^2+y_b^2 & y_b & 1 \\ x_c^2+y_c^2 & y_c & 1 \\ \end{vmatrix}  ; b_y = \begin{vmatrix} x_a^2+y_a^2 & x_a & 1 \\ x_b^2+y_b^2 & x_b & 1 \\ x_c^2+y_c^2 & x_c & 1 \\ \end{vmatrix}  ; a = \begin{vmatrix} x_a & y_a & 1 \\ x_b & y_b & 1 \\ x_c & y_c & 1 \\ \end{vmatrix}

[modifica] Note

  1. ^ De Mauro (archiviato dall'url originale) Def. 1b
  2. ^ Circumcircle in Mathwold

[modifica] Voci correlate

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