Cerchio

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In geometria piana, il cerchio è la parte delimitata da una circonferenza[1], ovvero l'insieme dei punti infiniti che distano da un punto dato detto centro non più di una distanza fissata detta raggio. In un sistema di assi un generico cerchio di centro (a;b) e raggio R è rappresentato dall'insieme di punti che soddisfano la seguente condizione:

\overline{ D }=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 \le R^2\}

Esso può essere immaginato come un poligono regolare con un numero di lati infinito, o meglio come il limite di una successione di poligoni regolari ad n lati per n che tende ad infinito

Un segmento avente gli estremi sulla circonferenza è detto corda; ognuna delle due parti in cui questa divide il cerchio si chiama segmento circolare. Se la corda in questione passa per il centro, essa si chiama diametro e i due segmenti sono congruenti e si chiamano semicerchi.

Un segmento circolare può anche essere la parte di cerchio compresa tra due corde parallele.

Circle elements - Italian.svg

L'intersezione fra un angolo al centro, cioè un angolo avente come vertice il centro del cerchio, ed il cerchio stesso (visivamente, un "spicchio" di cerchio) si chiama settore circolare. Se l'angolo al centro è retto, il settore circolare che individua si chiama quadrante; se è piatto, è il semicerchio.

Due cerchi aventi lo stesso centro si dicono concentrici. L'area compresa fra le due circonferenze si chiama corona circolare.

La formula dell'area del cerchio può essere ottenuta come limite di quella del poligono regolare, ovvero come lunghezza della circonferenza per raggio diviso 2:

\mathrm{Area}=\frac{\mathrm{circonferenza} \times \mathrm{raggio}}{2}=\pi r^2

La quadratura del cerchio si riferisce all'impossibile compito di costruire con riga e compasso, a partire da un cerchio, un quadrato della stessa area.

Alcuni solidi tridimensionali che possono avere, se tagliati da un piano, sezioni circolari sono la sfera, il cilindro ed il cono.

Il cerchio viene detto inscritto in un poligono quando la sua circonferenza è tangente ad ogni lato di quest'ultimo, e circoscritto quando i vertici di un poligono stanno sulla circonferenza.

L'area[modifica | modifica sorgente]

Integrazione con le coordinate polari[modifica | modifica sorgente]

Il valore dell'area del cerchio può venir visto come il valore dell'integrale doppio della funzione f(x,y)=1 su un insieme coincidente con il cerchio. In formule si ha \iint_{cerchio}1 dx dy.. Utilizzando il cambio di coordinate da cartesiane a polari si ottiene \int_0^{2\pi}\int_{0}^R \rho d\rho d\theta, dove \rho e \theta sono le variabili polari. Al posto della funzione integranda f(x,y)=1 abbiamo f(\rho,\theta)=\rho per via del cambio base. A questo punto l'integrale doppio si può scomporre nel prodotto di due integrali, in quanto le variabili sono separabili. Si ottiene \int_0^{2\pi} d\theta \cdot\int_{0}^R \rho d\rho=2\pi\cdot \frac{1}{2}R^2=\pi R^2.

Integrazione "a cipolla"[modifica | modifica sorgente]

Un metodo di integrazione per calcolare l'area del cerchio

Un primo approccio, tramite gli integrali, al calcolo dell'area del cerchio può essere fatto pensando che questa superficie è data dalla somma progressiva di infiniti cerchi concentrici che hanno come valore massimo la circonferenza e come minimo il centro del cerchio. In pratica è come se sommassimo tra di loro infiniti anelli, aventi ognuno spessore infinitesimo. Da questa rappresentazione comprendiamo come il nome legato alla cipolla derivi proprio dalla stratificazione del cerchio, come quella di una cipolla, anche se in due dimensioni. Possiamo dunque chiamare t il raggio del cerchio a cui corrisponde ogni singola circonferenza, la cui lunghezza è 2\pi t (notiamo che in questa dimostrazione si dà per assunto questo dato). Quindi possiamo integrare (integrazione definita) 2\pi t \, dt, cioè la funzione che ci dà le diverse circonferenze (separate dal fattore infinitesimo dt), tra il valore massimo e minimo dei loro raggi, l e 0.

\begin{align}
 \mathrm{Area}(r) &{}= \int_0^{r} 2 \pi t \, dt \\
                  &{}= \left[ (2\pi) \frac{t^2}{2} \right]_{t=0}^{r}\\
                  &{}= \pi r^2.
\end{align}

Integrazione della semicirconferenza nel piano cartesiano[modifica | modifica sorgente]

Per procedere al calcolo dell'area di un cerchio attraverso un secondo metodo consideriamo innanzitutto una circonferenza con centro nell'origine degli a; questo ci permette infatti di semplificare il caso generico di una circonferenza traslata rispetto all'origine, dato che la traslazione non modifica l'area.
L'equazione di una circonferenza di generico raggio r e centro nell'origine degli assi è:
x^2+y^2=r^2
Come sappiamo dalla definizione la suddetta formula non è una funzione, in quanto associa a alcuni punti più di un punto. Per risolvere questo inconveniente e integrare la funzione è sufficiente, dopo averla esplicitata rispetto alle ordinate, y=\pm\sqrt{r^2-x^2},prenderne solo le immagini non negative.
Avremo quindi che l'equazione della funzione che ci descrive la semicirconferenza con centro nell'origine di generico raggio r è y=\sqrt{r^2-x^2}
Per conoscere quindi l'area del cerchio completo basta calcolare l'area sottesa alla funzione, tra 'l'-r e r :
\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}\,dx.
Svolgiamo quindi i calcoli, ricorrendo al teorema fondamentale del calcolo integrale:

\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}\,dx =\left [ \int\sqrt{r^2-x^2}\right ]_{-r}^{r}=
=\left [      \frac{1}{2}   \left (           r^2\arcsin\left ({\frac{x}{r}}\right )+x\sqrt{r^2-x^2}          \right )                       \right ]_{-r}^{r}=
=\frac{1}{2}{{r^2}\arcsin\left ( {\frac{r}{r}} \right )}+\frac{1}{2}{r\sqrt{r^2-r^2}}-\frac{1}{2}{{r^2}\arcsin\left ({\frac{-r}{r}}\right )}-\frac{1}{2}(-r){\sqrt{r^2-r^2}}=
=\frac{1}{2}{{r^2}\arcsin\left ({1}\right )}+\frac{1}{2}{r\sqrt0}-\frac{1}{2}{{r^2}\arcsin\left ({-1}\right )}+\frac{1}{2}{r\sqrt0}=
=\frac{1}{2}{r^2}\frac{\pi}{2}+0+\frac{1}{2}{r^2}\frac{\pi}{2}+0=
=\frac{1}{2}{\pi}{r^2}


Per arrivare alla formula finale ricordiamo che fin dal principio stavamo calcolando l'area tra il grafico della semicirconferenza y=\sqrt{r^2-x^2} e l'asse x, per cui l'area del cerchio con centro nell'origine sarà il doppio: 2\cdot \frac{1}{2}{\pi}{r^2}={\pi}{r^2}\qquadche è proprio la formula usata comunemente.
Dobbiamo notare che in questa dimostrazione diamo per definita la formula dell'arcoseno (per trovare una primitiva della funzione), e quindi buona parte della trigonometria; questo però significa inserire anche nei concetti necessari per usare questo metodo quello di pi greca, che è indissolubilmente legato al concetto di cerchio e alle relazioni tra le sue parti.

Il perimetro del cerchio[modifica | modifica sorgente]

il perimetro del cerchio si può calcolare con la seguente formula: 2r • π → due volte il raggio per il pi greco cioè per 3,14.

Integrazione della semicirconferenza nel piano cartesiano[modifica | modifica sorgente]

Il perimetro del cerchio, che si può definire anche come la lunghezza della circonferenza, si può pensare calcolabile grazie all'integrazione della funzione corrispondente alla semicirconferenza, avente centro nell'origine, tra -r e r, cioè il raggio. Ovviamente non possiamo utilizzare l'integrale definito, ma ci serve l'integrale che associa ad una funzione la lunghezza della curva che descrive: la formula di questo integrale, data una funzione f(x) e due punti a e b è:
\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left ( \dot {f}(x) \right )^2 }\,dx
Sappiamo che l'equazione di una circonferenza di generico raggio r e centro nell'origine degli assi è:
x^2+y^2=r^2
Questa, come visto per l'area, va resa una funzione, e per farlo basta dopo averla esplicitata in funzione di y, y=\pm\sqrt{r^2-x^2}, prenderne solo le immagini non negative.
L'equazione della funzione che descrive la semicirconferenza che ci serve sarà allora y=\sqrt{r^2-x^2}
Per calcolare l'integrale ci serve però la derivata prima della funzione stessa, quindi: y'=\frac{-2x}{ 2 \sqrt{r^2-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}
Adesso possiamo procedere al calcolo dell'integrale della curva tra -r e r:
Svolgiamo quindi i calcoli, ricorrendo come prima al teorema di Torricelli-Barrow:

\int_{-r}^{r} \sqrt {1+  \left (\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}} \right )^2}   \,dx =\left [ \int\ \sqrt { 1+  \frac{x^2}{r^2-x^2} } \right ]_{-r}^{r}=
=\left [ \int\ \sqrt { \frac{r^2-x^2+x^2}{r^2-x^2} }  \right ]_{-r}^{r}=
=\left [ \int\ \sqrt { \frac{r^2}{r^2-x^2} } \right ]_{-r}^{r}=
=\left [ \int\ \frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}   \right ]_{-r}^{r}=
=\left [ \int\ \frac{r}{r\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}}   \right ]_{-r}^{r}=
=\left [ \int\ \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}}   \right ]_{-r}^{r}=
=\left [ r \arcsin \left ( {\frac{x}{r}}    \right )    \right ]_{-r}^{r}=
= r \arcsin \left ({\frac{r}{r}}\right ) - r \arcsin \left ({\frac{-r}{r}}\right ) =
= r \arcsin \left ( 1 \right ) - r \arcsin \left ( -1 \right ) =
=r\frac{\pi}{2} +r\frac{\pi}{2} =
= 2\cdot\frac{\pi r}2 = {\pi r}


Ma dal momento che stavamo calcolando la lunghezza di una semicirconferenza, allora il perimetro del cerchio sarà pari al doppio del valore trovato, cioè:  2 \cdot \pi r = 2 \pi r
Ed è esattamente il valore che viene utilizzato solitamente.
Come per il calcolo dell'area, dobbiamo ricordare che per la dimostrazione è essenziale conoscere la trigonometria, che implica di fatto la conoscenza del valore di pi greco e il suo legame con le componenti di un cerchio. In pratica quindi quella che abbiamo fatto più che una dimostrazione è una riprova della formula che lega il raggio e la lunghezza di una circonferenza qualunque.

Cerchio, letteratura e filosofia[modifica | modifica sorgente]

La figura del cerchio e del circolo è al centro dell'opera di Platone. Leonardo da Vinci preferì invece collocare al centro della natura la figura della spirale. Lo stesso fece Ralph Waldo Emerson, introducendo nel suo saggio sui "Cerchi" la figura di cerchi in espansione come simbolo dell'avanzamento dello spirito umano.

Angoli particolari nel cerchio[modifica | modifica sorgente]

L'angolo alla circonferenza che sottende un diametro dello stesso cerchio è sempre retto

Angolo al centro[modifica | modifica sorgente]

Si definisce 'angolo al centro' l'angolo che ha per vertice il centro della circonferenza e per lati due semirette che intersecano la circonferenza. Il cerchio è quindi diviso in due parti da ogni suo angolo al centro. Si calcola facendo la seguente operazione: AB:C = a°:360°

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

L'angolo al centro è sempre il doppio del corrispondente angolo alla circonferenza, quando i vertici dell'angolo al centro e dell'angolo alla circonferenza sono dalla stessa parte rispetto alla corda individuata dai due punti di intersezione dei lati dei due angoli con la circonferenza. Quando invece il vertice dell'angolo alla circonferenza è dalla parte opposta rispetto al centro, l'angolo alla circonferenza è supplementare della metà dell'angolo al centro, cioè la somma dell'angolo alla circonferenza e la metà dell'angolo al centro è uguale ad un angolo piatto. Di conseguenza, se un angolo alla circonferenza è retto, esso sottende un diametro del cerchio, ovvero il corrispondente angolo al centro è piatto. Da ciò discendono le seguenti proprietà del triangolo rettangolo:

  • Ogni triangolo rettangolo è inscrivibile in un semicerchio.
  • In ogni triangolo rettangolo, l'ipotenusa coincide con un diametro del cerchio circoscritto.

Formulario[modifica | modifica sorgente]

Formule geometriche[modifica | modifica sorgente]

Data una circonferenza, siano r il raggio, A l'area, d=2r il diametro, P il perimetro. Allora si ha

Raggio r = \frac{d}{2} = \frac{P}{2\pi} = \sqrt{\frac{A}{\pi}},

Perimetro P = 2 \pi r = d \pi = 2\sqrt{\pi A},

Area A = \pi r^2 = \frac{\pi}{4}d^2 = \frac{P^2}{4\pi}.

Formule analitiche[modifica | modifica sorgente]

Avendo le coordinate del centro (x_0,y_0) e di un punto sulla circonferenza (x_i,y_i) è possibile determinare l'area

Raggio \sqrt{(x_0 - x_i)^2 + (y_0 - y_i)^2},
Area \pi \left[(x_0 - x_i)^2 + (y_0 - y_i)^2 \right].

Date invece le coordinate di tre punti a, b, c qualsiasi sulla circonferenza le coordinate del centro si calcolano come quelle del circumcentro del triangolo[2]

x_0 = \frac{b_x}{-2a} \quad ; \quad y_0 = \frac{b_y}{-2a},

con

b_x = -\begin{vmatrix}
x_a^2+y_a^2 & y_a & 1 \\
x_b^2+y_b^2 & y_b & 1 \\
x_c^2+y_c^2 & y_c & 1 \\
\end{vmatrix}   ;    b_y = \begin{vmatrix}
x_a^2+y_a^2 & x_a & 1 \\
x_b^2+y_b^2 & x_b & 1 \\
x_c^2+y_c^2 & x_c & 1 \\
\end{vmatrix}   ;    a = \begin{vmatrix}
x_a & y_a & 1 \\
x_b & y_b & 1 \\
x_c & y_c & 1 \\
\end{vmatrix}

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ De Mauro. (archiviato dall'url originale il 1º gennaio 2008). Def. 1b
  2. ^ Circumcircle in Mathwold

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Altri progetti[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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