Condizioni al contorno di Neumann

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In matematica, le condizioni al contorno di Neumann (o di secondo tipo) sono un tipo di condizione al contorno, così chiamate in onore di Carl Gottfried Neumann.[1]

Quando vengono imposte su una equazione differenziale ordinaria o una alle derivate parziali, specificano i valori che la derivata di una soluzione deve assumere sul contorno del dominio.

Equazioni differenziali ordinarie[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso di un'equazione differenziale ordinaria definita su un intervallo [a,b], per esempio:

\ddot y + y = 0

la condizione al contorno di Neumann assume la forma:

\dot y(a) = \alpha_1
\dot y(b) = \alpha_2

dove \alpha_1 e \alpha_2 sono valori dati.

Equazioni differenziali alle derivate parziali[modifica | modifica wikitesto]

Per un'equazione differenziale alle derivate parziali sul dominio \Omega \subset \R^n, come per esempio:

\nabla^2 y = 0

in cui \nabla^2 y denota il Laplaciano di y, la condizione di Neumann prende la forma:

\frac{\partial \, y}{\partial \,\mathbf n}(\mathbf x) = f(\mathbf x) \quad \forall \mathbf x \in \partial\Omega

dove \mathbf n indica la normale uscente del contorno \partial \Omega, e f è una funzione scalare data. La derivata direzionale a primo membro è così definita:

\frac{\partial \, y}{\partial \, \mathbf n}(\mathbf x)=\nabla y(\mathbf x) \cdot \mathbf n(\mathbf x)

dove \nabla è l'operatore gradiente e il punto indica il prodotto scalare.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Cheng, A. and D. T. Cheng (2005). Heritage and early history of the boundary element method, Engineering Analysis with Boundary Elements, 29, 268–302.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, p. 679, 1953.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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