Condizioni al contorno di Dirichlet

In matematica, una condizione al contorno di Dirichlet è una particolare condizione al contorno imposta in un'equazione differenziale, ordinaria o alle derivate parziali, che specifica i valori che la soluzione deve assumere sui bordi del dominio.

Equazioni differenziali ordinarie

Nel caso delle equazioni differenziali ordinarie nella variabile $y(x)$ le condizioni al contorno di Dirichlet, se il dominio è definito come [a,b], prendono la forma:

$y(a) = \alpha _1\,$

$y(b) = \alpha _2\,$

dove $\alpha _1\,$ e $\alpha _1\,$ sono dei valori dati dal problema.

Equazioni differenziali alle derivate parziali

Nel caso di un'equazione differenziale in un dominio Ω⊂ℝⁿ, come ∇²y + y = 0, in cui ∇²y denota il Laplaciano di y, la condizione prende la forma:

$y(x) = f(x) \quad \forall x \in \partial\Omega$

dove f è una funzione nota definita in ∂Ω, che è il contorno del dominio Ω.

Le condizioni al contorno di Dirichlet sono le più semplici da capire, ma esistono molte altre combinazioni possibili, come le condizioni al contorno di Neumann, che impongono dei valori per la derivata della soluzione, o le condizioni al contorno miste (di Robin e Cauchy, che sono combinazioni delle due).

Il problema dell'elettrostatica nel vuoto

Per approfondire, vedi le voci equazione di Laplace e Campo elettrico.

Il problema dell'elettrostatica nel vuoto è risolto dalle condizioni al contorno di Dirichlet nel caso non siano presenti cariche localizzate ed il campo elettrostatico sia generato da un sistema di conduttori di geometria nota e potenziale noto. In questo caso vale l'equazione di Laplace per il potenziale elettrico:

$\nabla^{2} V=0$

dove le condizioni al contorno sono che il potenziale sia nullo all'infinito e valga V_0i sulla superficie dei conduttori. Una volta ricavati i potenziali per ogni punto nello spazio risolvendo l'equazione di Laplace, si ricava il campo elettrostatico, ed è possibile determinare la densità di carica superficiali σ_i sui conduttori mediante il teorema di Coulomb. Infine, si può trovare la carica netta totale su tutti i conduttori e i coefficienti di capacità su questi tramite il sistema:

$\begin{cases} Q_1 = c_{11} V_{01} + c_{12} V_{02} + \ldots + c_{1n} V_{0n} \\ Q_2 = c_{21} V_{01} + c_{22} V_{02} + \ldots + c_{2n} V_{0n} \\ \ldots \\ \ldots \\ Q_n = c_{n1} V_{01} + c_{n2} V_{02} + \ldots + c_{nn} V_{0n} \end{cases}$

che consente di ricavare i coefficienti.

Bibliografia

• Haim Brezis (1983), Analyse fonctionelle, théorie et applications, Paris, New York, 1983. ISBN 2-225-77198-7.
• Corrado Mencuccini; Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010. ISBN 978-88-207-1633-2

Voci correlate

• Condizioni al contorno di Neumann
• Condizioni al contorno di Cauchy
• Condizioni al contorno di Robin

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