Condizioni al contorno di Dirichlet

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In matematica, una condizione al contorno di Dirichlet è una particolare condizione al contorno imposta in un'equazione differenziale, ordinaria o alle derivate parziali, che specifica i valori che la soluzione deve assumere sui bordi del dominio.

Equazioni differenziali ordinarie[modifica | modifica sorgente]

Nel caso delle equazioni differenziali ordinarie nella variabile y(x) le condizioni al contorno di Dirichlet, se il dominio è definito come [a,b], prendono la forma:

y(a) = \alpha _1
y(b) = \alpha _2

dove  \alpha _1 e  \alpha _2 sono dei valori dati dal problema.

Equazioni differenziali alle derivate parziali[modifica | modifica sorgente]

Nel caso di un'equazione differenziale in un dominio Ω⊂ℝⁿ, come ∇²y + y = 0, in cui ∇²y denota il Laplaciano di y, la condizione prende la forma:

y(x) = f(x) \quad \forall x \in \partial\Omega

dove f è una funzione nota definita in ∂Ω, che è il contorno del dominio Ω.

Le condizioni al contorno di Dirichlet sono le più semplici da capire, ma esistono molte altre combinazioni possibili, come le condizioni al contorno di Neumann, che impongono dei valori per la derivata della soluzione, o le condizioni al contorno miste (di Robin e Cauchy, che sono combinazioni delle due).

Il problema dell'elettrostatica nel vuoto[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi equazione di Laplace e Campo elettrico.

Il problema dell'elettrostatica nel vuoto è risolto dalle condizioni al contorno di Dirichlet nel caso non siano presenti cariche isolate ed il campo elettrostatico sia generato da un insieme di conduttori. In questo caso vale l'equazione di Laplace per il potenziale elettrico:

\nabla^{2} V=0

ponendo come condizione al contorno che il potenziale sia nullo all'infinito ed abbia il valore di V0i sulla superficie dei conduttori. A partire dal potenziale in tutto lo spazio, ottenuto risolvendo l'equazione di Laplace, si ricava il campo elettrostatico ed è possibile così determinare le densità di carica superficiali σi sui conduttori mediante il teorema di Coulomb.[1] Infine, si può trovare la carica netta totale su tutti i conduttori e i coefficienti di capacità su questi tramite il sistema:[2]

\begin{cases} Q_1 = c_{11} V_{01} + c_{12} V_{02} + \ldots + c_{1n} V_{0n} \\ Q_2 = c_{21} V_{01} + c_{22} V_{02} + \ldots + c_{2n} V_{0n} \\ \ldots \\ \ldots \\ Q_n = c_{n1} V_{01} + c_{n2} V_{02} + \ldots + c_{nn} V_{0n} \end{cases}

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 108
  2. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 109

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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