Equazione differenziale alle derivate parziali

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In analisi matematica, un'equazione differenziale alle derivate parziali, anche detta equazione alle derivate parziali (termine abbreviato in EDP o spesso in PDE, dall'acronimo inglese Partial Differential Equation), è un'equazione differenziale che coinvolge le derivate parziali di una funzione incognita di più variabili indipendenti.

In una PDE si descrive la funzione indirettamente attraverso una relazione fra se stessa e le sue derivate parziali, invece di scrivere esplicitamente la funzione. La relazione deve essere locale - cioè deve connettere la funzione e le sue derivate nello stesso punto. Una soluzione classica (o in senso classico) dell'equazione è una funzione di tutte le variabili indipendenti espresse nell'equazione e che possieda tutte le derivate necessarie per dare senso alla relazione verificandola puntualmente.

Le PDE sono comunemente usate per formulare e risolvere problemi fisici importanti quali la propagazione del suono o del calore e in svariati campi quali l'elettrostatica, l'elettrodinamica, meccanica dei fluidi, aerodinamica, elasticità, meccanica quantistica, relatività. Importanti applicazioni sono presenti anche in geometria differenziale in connessione con le diverse nozioni di curvatura. Sono inoltre state usate con successo per descrivere modelli matematici in biologia e medicina come modelli di dinamica delle popolazioni, crescita di cellule nei tumori e chemiotassi. Altre applicazioni recenti riguardano invece i modelli matematici dei mercati finanziari, in particolare con esse viene descritta la dinamica delle opzioni finanziarie attraverso la celebre formula di Black e Scholes.

In generale per una PDE possono essere studiati svariati problemi che dipendono dalla natura stessa della equazione. Per esempio, nelle equazioni classiche della fisica matematica, definite in un certo dominio spaziale, vengono prescritte delle condizioni al bordo se il dominio ha una frontiera, o delle condizioni ai limiti se si considerano domini infiniti. Qualora, come nel caso ad esempio della equazione del calore o della equazione delle onde, una delle variabili sia il tempo allora ha senso prescrivere anche delle condizioni iniziali studiando il relativo problema di Cauchy. In tal caso il problema è ben posto se si ha esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati (al contorno o iniziali).

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Un'equazione differenziale alle derivate parziali di ordine k ha la forma:[1]

 F(D^k u(x), D^{k-1} u(x), \cdots , D u(x), u(x),x) = 0

dove k è un numero intero e la variabile x appartiene ad un sottoinsieme U aperto di \R^n.

La funzione F:

 F : \mathbb{R}^{n^k} \times \mathbb{R}^{n^{k-1}} \times \cdots \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \times U \rightarrow \mathbb{R}

è data, mentre la funzione u:

u : U \rightarrow \mathbb{R}

è l'incognita dell'equazione.

La risoluzione di un'equazione differenziale alle derivate parziali consiste nella ricerca delle funzioni u che la rendono un'identità su un opportuno insieme. Solitamente è anche richiesto che le soluzioni soddisfino determinate condizioni al contorno ausiliarie. Ad esempio, per ottenere l'unicità della soluzione si pongono spesso opportune condizioni per un qualche cammino \Gamma della frontiera \partial U di U.

Solitamente non è possibile trovare la funzione incognita esplicita: ad eccezione di casi particolari, la ricerca della soluzione consiste nello studio dell'esistenza e delle proprietà che essa deve assumere.

Linearità[modifica | modifica sorgente]

Un'equazione differenziale alle derivate parziali può essere lineare, semilineare, quasilineare o totalmente non lineare:[2]

  • L'equazione si dice lineare se ha la forma:
\sum_{|\alpha | = k} a_\alpha (x) D^{\alpha} u = f(x) \
per opportune funzioni a_\alpha (x) ed f. Se f=0 l'equazione si dice omogenea.
  • L'equazione si dice semilineare se ha la forma:
\sum_{|\alpha | = k} a_\alpha (x) D^{\alpha} u + a_0(D^{k-1} u, \cdots , D u, u,x) = 0
  • L'equazione si dice quasilineare se ha la forma:
\sum_{|\alpha | = k} a_\alpha (D^{k-1} u, \cdots , D u, u,x)D^\alpha u + a_0(D^{k-1} u, \cdots , D u, u,x) = 0
  • L'equazione si dice totalmente non lineare se dipende non-linearmente dal più alto grado di derivazione.

Sistema di equazioni alle derivate parziali[modifica | modifica sorgente]

Un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali di ordine k ha la forma:[2]

 \mathbf F(D^k \mathbf u(x), D^{k-1} \mathbf u(x), \cdots , D \mathbf u(x), \mathbf u(x),x) = 0 \

La funzione:

 \mathbf F : \mathbb{R}^{mn^k} \times \mathbb{R}^{mn^{k-1}} \times \cdots \times \mathbb{R}^{mn} \times \mathbb{R}^m \times U \rightarrow \mathbb{R}

è data, mentre la funzione \mathbf u:

\mathbf u : U \rightarrow \mathbb{R}^m

con:

\mathbf u = (u^1, \cdots u^m)

è l'incognita del sistema.

Si è posto che il sistema abbia tante equazioni quante incognite, in numero pari a m.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Nella maggior parte dei casi non è possibile determinare la soluzione di una EDP; quando risulta fattibile si nota che mentre le soluzioni generali delle equazioni differenziali ordinarie vedono la presenza di costanti arbitrarie, le soluzioni delle equazioni differenziali alle derivate parziali implicano funzioni arbitrarie. Si consideri ad esempio l'equazione differenziale alle derivate parziali:

 \frac{\partial}{\partial x}u(x,y)=0

Tale relazione implica che la funzione u(x,y) è indipendente da x. Quindi la soluzione generale di questa equazione è:

u(x,y) = f(y)

dove f è un'arbitraria funzione di y. L'analoga equazione differenziale ordinaria è:

 \frac{du(x)}{dx}=0

che ha come soluzione:

u(x) = c

dove c è una costante.

La soluzione di un'equazione differenziale alle derivate parziali non è in generale unica, e risulta necessario porre delle condizioni aggiuntive alla frontiera di una regione in cui la soluzione è definita. Ad esempio, la funzione f(y) può essere determinata se u è nota lungo la linea x=0.

Problemi ben posti e soluzioni[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Formulazione debole.

Non esiste una teoria universale che fornisca un metodo unico per risolvere le equazioni alle derivate parziali.[3] La ricerca scientifica si è di conseguenza concentrata principalmente su equazioni di rilevante interesse matematico e fisico, sviluppandone le particolari metodologie risolutive.

Un problema relativo ad un'equazione differenziale alle derivate parziali si dice informalmente ben posto se ha una soluzione, se tale soluzione è unica e se dipende in modo continuo dai dati forniti dal problema.[4] Un problema ben posto contiene tutte le caratteristiche ideali al fine di studiarne la risolubilità. L'ultima condizione è particolarmente importante nelle applicazioni fisiche: la dipendenza continua dai dati del problema significa che una loro variazione piccola a piacere ha conseguenze altrettanto piccole sulla soluzione. Per ottenere problemi ben posti si utilizzano solitamente opportune condizioni al contorno.

La soluzione di un'equazione alle derivate parziali non possiede caratteristiche generali, e varia a seconda del problema. Si definisce informalmente soluzione classica di una PDE di ordine k una funzione differenziabile fino all'ordine k-esimo,[4] tale per cui tutte le derivate esistono e sono continue. Risolvere una PDE in senso classico significa dunque cercare una funzione liscia o almeno di classe C^k.

Si determina quindi la soluzione di un problema ben posto in senso classico quando tra le soluzioni in senso classico ne esiste soltanto una che soddisfi la definizione di problema ben posto.

Per la maggior parte delle equazioni differenziali alle derivate parziali, tuttavia, non esistono soluzioni classiche. In generale, ad esempio, le equazioni di continuità non hanno soluzioni classiche. Se si ammette una funzione non differenziabile come soluzione di un problema ben posto, tale soluzione è chiamata debole o generalizzata.[5] Il motivo per cui si definisce una classe di funzioni che sono soluzioni deboli di una PDE risiede nel fatto che la ricerca di una soluzione classica è spesso di notevole difficoltà, qualora sia possibile. Ponendo condizioni meno restrittive alla soluzione il problema si semplifica o diventa possibile, essendo più semplice trovare una soluzione unica e dipendente in modo continuo dai dati del problema. Esistono casi, infine, in cui la soluzione debole trovata è sufficientemente regolare da poter essere considerata classica. Il problema del poter considerare regolare una soluzione debole, tuttavia, è frequentemente succube di notevoli difficoltà matematiche.

Per illustrare quanto detto con un esempio, si consideri la successione di problemi di Cauchy per l'equazione di Laplace:

\frac{\part^2 u}{\partial x^2} + \frac{\part^2 u}{\partial y^2}=0

con condizioni al contorno:

u(x,0) = 0
 \frac{\partial u}{\partial y}(x,0) = \frac{\sin (nx)}{n}

dove n è intero. La derivata di u rispetto a y converge uniformemente a zero nella variabile x al crescere di n, ma la soluzione è:

u(x,y) = \frac{\sinh (ny) \sin (nx)}{n^2}

Questa soluzione tende a infinito se nx non è un multiplo intero di \pi per ogni y \ne 0. Il problema non è dunque un problema ben posto poiché la soluzione non dipende con continuità dal dato iniziale.

Limiti del teorema di Cauchy-Kovalevskaya[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema di Cauchy-Kovalevskaya.

Mentre per le equazioni ordinarie il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy ed il teorema di esistenza di Peano forniscono un'ampia risposta al problema dell'esistenza e unicità di eventuali soluzioni, il caso delle equazioni alle derivate parziali è molto più complesso. Il teorema di Cauchy-Kovalevskaya stabilisce che se i coefficienti dell'equazione sono funzioni analitiche rispetto alla funzione incognita e le sue derivate, allora esiste una funzione analitica che è localmente l'unica soluzione. Questo risultato, tuttavia, non si applica alle funzioni lisce. Un noto esempio, dovuto a Hans Lewy, mostra che su \R \times \C esiste una funzione liscia F(t,z) tale per cui l'equazione:

\frac{\partial u}{\partial\bar{z}}-iz\frac{\partial u}{\partial t} = F(t,z)

non ha soluzioni su nessun aperto. Se F fosse analitica il teorema di Cauchy-Kovalevskaya garantirebbe l'esistenza di una soluzione.

PDE in due variabili[modifica | modifica sorgente]

PDE del primo ordine[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Metodo delle caratteristiche.

Un'equazione differenziale alle derivate parziali del primo ordine ha la forma:

 F(x_1,\ldots,x_n,u,u_{x_1},\ldots u_{x_n}) =0

In due dimensioni:

 F(x,y,u,p,q)=0

dove p=u_x e q=u_y. Un integrale completo dell'equazione è una soluzione \phi(x,y,u) dipendente da due parametri a e b (in particolare, il numero dei parametri è pari alla dimensione dello spazio). Scegliendo una funzione arbitraria w, ponendo b=w(a) e determinando A(x,y,u) richiedendo che la derivata totale sia nulla:

 \frac{d \varphi}{d a} = \varphi_a(x,y,u,A,w(A)) + w'(A)\varphi_b(x,y,u,A,w(A)) =0

una soluzione u_w è data da:

 u_w = \phi(x,y,u,A,w(A))

Se non è possibile avere l'integrale completo si può ricavare una soluzione risolvendo un sistema di equazioni differenziali ordinarie ottenuto sfruttando il metodo delle caratteristiche, che permette di trovare le curve lungo le quali l'equazione si comporta come un'equazione ordinaria.

PDE del secondo ordine[modifica | modifica sorgente]

La classificazione di una PDE dipende esclusivamente dai coefficienti delle derivate di ordine massimo presenti nell'equazione stessa. Le equazioni alle derivate parziali del secondo ordine in due variabili, cui si possono ricondurre con opportuni cambi di variabile anche i sistemi di PDE del secondo ordine, hanno forma generale:

A(x,y)u_{xx} + 2B(x,y)u_{xy} + C(x,y)u_{yy} + \cdots = 0

dove si sono scritti i termini di grado massimo e si è assunto u_{xy}=u_{yx}. Se A^2 +B^2 + C^2 > 0 in una regione del piano x-y, in tale regione l'equazione è del secondo ordine. Convertendo (tramite, ad esempio, la trasformata di Fourier) le derivate in variabili elevate al grado della derivata (ovvero l'esponente è il grado di derivazione) si ottiene l'equazione della sezione conica:

Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + \cdots = 0

Queste PDE vengono allora generalmente classificate come paraboliche, iperboliche o ellittiche secondo la tipologia dell'equazione associata, col criterio sul discriminante riportato brevemente B^2 - AC:

Le equazioni iperboliche sono il contesto più generale in cui si applica il metodo delle caratteristiche, valido anche per le equazioni del primo ordine.

Se vi sono n variabili indipendenti x_1, x_2, ... ,x_n, una generica PDE del secondo ordine ha la forma:

L u =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{i,j} \frac{\part^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \dots =0

dove si sono scritti i termini di grado massimo. La classificazione avviene in base al segno degli autovalori dei coefficienti a_{ij}:

  • L'equazione è ellittica se gli autovalori sono tutti positivi o tutti negativi.
  • L'equazione è parabolica se gli autovalori sono tutti positivi o negativi, tranne uno uguale a zero.
  • L'equazione è iperbolica se c'è soltanto un autovalore negativo, mentre i restanti sono positivi, oppure c'è soltanto un autovalore positivo ed i restanti sono negativi
  • L'equazione è ultraiperbolica se c'è almeno un autovalore positivo e un autovalore negativo, e nessun autovalore è nullo.

Questo porta all'analisi delle matrici definite positive e definite negative, in maniera analoga a quanto succede nella discussione dei massimi e minimi.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

La matrice associata al sistema:

\displaystyle u_t+2v_x=0 \qquad \displaystyle v_t-u_x=0

è la seguente:

\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & -1\end{bmatrix}

Gli autovettori sono (0,1) e (1,0) con autovalori 2 e -1. Quindi il sistema è iperbolico. Dato che il sistema comprende due equazioni del prim'ordine (anche se ciascuna in due funzioni incognite), si vuole dimostrare la sua equivalenza con due equazioni del secondo ordine iperboliche disgiunte, cioè ciascuna in una funzione incognita. Derivando quindi la prima equazione rispetto a x e la seconda rispetto a t, supponendo le funzioni sufficientemente regolari si ottiene:

\displaystyle u_{tx}+2v_{xx}=0 \qquad \displaystyle v_{tt}-u_{xt}=0

da cui, supponendo le derivate seconde continue (cosicché commutino per il Teorema di Schwarz) si ha:

\displaystyle v_{tt}+2v_{xx}=0

Analogamente, derivando la prima rispetto a t e la seconda rispetto a x si ottiene:

\displaystyle u_{tt}+2u_{xx}=0

Si tratta di equazioni ellittiche monodimensionali, entrambe di velocità di propagazione immaginaria \frac {\operatorname dx} {\operatorname dt}=\sqrt 2i

Notazione[modifica | modifica sorgente]

Nelle teoria delle PDE se si indica con u la funzione incognita allora la sua derivata parziale rispetto alla variabile x viene spesso indicata con la notazione abbreviata u_x:

u_x = {\part u \over \part x} \qquad u_{xy} = {\part^2 u \over \part x\, \part y}

Nella tradizione anglosassone si preferisce l'uso dell'operatore nabla, che in un sistema cartesiano viene formalmente trattato come il campo vettoriale \nabla=(\part_x,\part_y,\part_z). Ad esempio, per una funzione scalare F ed un campo vettoriale \mathbf F:

\nabla F = \mathrm{grad} F \qquad \nabla \cdot \mathbf F = \mathrm{div} \mathbf F \qquad \nabla \times \mathbf F = \mathrm{rot} \mathbf F

Nella tradizione della fisica matematica le derivate rispetto al tempo vengono talvolta indicate con la notazione di Newton.

L'equazione è detta di ordine q se q è l'ordine massimo delle derivate che vi compaiono. Se l'equazione dipende linearmente dall'incognita q e dalle sue derivate è detta lineare, mentre nel caso in cui le derivate di ordine massimo compaiano solo linearmente (con coefficienti che possono dipendere dalle derivate di ordine inferiore), l'equazione è detta quasi-lineare. Un'equazione quasi-lineare i cui coefficienti sono solo funzione delle variabili indipendenti (ma non dipendono dalla soluzione u) è detta semi-lineare. Infine un'equazione è detta omogenea se non compaiono termini indipendenti dalla funzione incognita u.

Equazioni notevoli[modifica | modifica sorgente]

Nel seguito si mostrano alcune delle più importanti equazioni alle derivate parziali.

Equazione delle onde[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazione delle onde e Equazione della corda vibrante.

L'equazione delle onde è il prototipo di equazione iperbolica del second'ordine, e le sue soluzioni descrivono onde come il suono o le onde luminose. La forma generale dell'equazione riguarda una funzione u(x,t) della posizione x e del tempo t. Si tratta di un'equazione alle derivate parziali iperbolica la cui espressione generale è:[6]

 \nabla^2u - \frac {1}{v^2} { \partial^2 u \over{ \partial t^2 }} = 0

dove v rappresenta la velocità di propagazione dell'onda. La funzione incognita u(x,t) esprime l'intensità dell'onda in una particolare posizione x al tempo t. Per una corda vibrante, ad esempio, esprime lo spostamento fisico della corda dalla sua posizione di riposo. In una e due dimensioni, infatti, questa equazione può descrivere le vibrazioni di una corda o di un tamburo.

Le soluzioni sono in genere combinazioni di onde sinusoidali oscillanti. Se la velocità v è dipendente dalla frequenza allora deve essere rimpiazzata dalla velocità di fase:

v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}

Nel caso meno frequente in cui la velocità sia dipendente dall'ampiezza, essa è in funzione di u e l'equazione diventa non lineare.

L'equazione delle onde può anche essere scritta utilizzando l'operatore d'Alembertiano come:

\Box u=0

Equazione di avvezione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Avvezione.

L'equazione di avvezione è un esempio semplice di equazione del prim'ordine alle derivate parziali. Ha la forma:

u_{x_i}+ \sum_{j \ne i} a_j u_{x_j} + b u=0

e spesso si trova scritta, specie nell'ambito nei fenomeni di trasporto, nella forma equivalente:

u_{x_i}+ \sum_{j \ne i} \frac{\partial}{\partial x_j} (a u)_{j} =0 \qquad \sum_{j \ne i} \frac{\partial a_j}{\partial x_j} = b

Se il vettore dei coefficienti (detto spesso velocità di trasporto) è solenoidale, vale a dire:

\sum_{j \ne i} \frac{\partial a_j}{\partial x_j} = 0

allora l'equazione può essere semplificata:

u_{x_i}+ \sum_{j \ne i} a_j u_{x_j}=0

L'equazione di avvezione unidimensionale a velocità costante è il prototipo di equazione del prim'ordine:

u_{x_1}+ a u_{x_2}=0

ed è comunemente indicata come il problema del porcile. Se invece a dipende dalla soluzione e in particolare è uguale alla funzione incognita u l'equazione è chiamata equazione di Burgers.

Equazioni di Poisson e Laplace[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazione di Laplace e Equazione di Poisson.

Sia \varphi = \varphi(\mathbf x) una funzione definita sulla chiusura dell'insieme U di \R^n a valori in \R. L'equazione di Poisson per \varphi ha la forma:[7]

\nabla^2 \varphi=f

dove \nabla^2 è l'operatore di Laplace o laplaciano e f è definita in U a valori in \R. Nello spazio euclideo in coordinate cartesiane in tre dimensioni l'equazione prende la forma:


\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z)

L'equazione di Poisson omogenea è detta equazione di Laplace:

\nabla^2 \varphi = 0 \

La funzione f rappresenta il termine forzante o di sorgente al secondo membro. In fisica le soluzioni di questa equazione descrivono un potenziale scalare in presenza di una sorgente, rispettivamente. Le soluzioni dell'equazione di Laplace assumono inoltre rilevanza in tantissime discipline, tra cui la scienza delle costruzioni, ad esempio per il caso della torsione nella trave di de Saint Venant.

Equazione di Helmholtz[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazione di Helmholtz.

L'equazione di Helmholtz ha forma canonica:

\nabla^2 f+k^2 f=0 ,

dove \nabla ^2 è l'operatore di Laplace, c è la velocità delle onde, e k=\omega/c il vettore d'onda. Si può vedere l'equazione di Helmholtz come un'equazione agli autovalori del laplaciano, e le soluzioni dell'equazione di Helmholtz come le autofunzioni del laplaciano, dette anche armoniche.

L'equazione si può anche ottenere a partire dall'equazione delle onde imponendo che la soluzione sia del tipo:

 f(\mathbf{r},t)=e^{i\omega t} f(\mathbf{r})

Equazione del calore[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazione del calore.

L'equazione del calore è il prototipo di equazione parabolica, e si incontra nei processi di diffusione del calore, della massa, della quantità di moto. Ha forma generale in n variabili:

u_{x_i} - a \sum_{j \ne i} u_{x_jx_j} = 0

Le soluzioni in genere si "livellano" con il tempo. Il termine 'α' è detta diffusività ed è fisicamente propria dell'accoppiamento grandezza che diffonde - mezzo in cui diffonde.

Equazione di Ginzburg-Landau[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazione di Ginzburg-Landau.

L'equazione di Ginzburg-Landau è un'equazione parabolica che trova molte applicazioni fisiche. Ha la forma:

iu_t+pu_{xx} +q|u|^2u=i\gamma u \qquad p,q\in\mathbb{C}

dove \gamma\in\mathbb{R} e i è l'unità immaginaria.

Equazione di Eulero-Tricomi[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazione di Eulero-Tricomi.

L'equazione di Eulero-Tricomi è il prototipo di equazione iperbolica del second'ordine non lineare, usata per studiare i flussi transonici. Ha la forma:

u_{xx} - x \, u_{yy} = 0

Equazioni di Dym[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazione di Dym.

L'equazione di Dym è un'equazione del terz'ordine, chiamata così in onore di Harry Dym, che si incontra nello studio dei solitoni. Ha la forma:

u_t = u^3u_{xxx}

Altri esempi[modifica | modifica sorgente]

Eccetto per le ultime due e per l'equazione di Burgers, tutte le equazioni precedenti sono lineari, nel senso che possono essere scritte nella forma Au = f dati un determinato operatore lineare A e una determinata funzione f. Altre importanti equazioni non lineari sono le equazioni di Navier-Stokes che descrivono il flusso dei fluidi, e le equazioni di campo della relatività generale di Einstein. L'equazione di Schrödinger è inoltre una PDE fondamentale per la meccanica quantistica. Nell'approssimazione WKB vi è invece l'equazione di Hamilton-Jacobi.

Metodi per risolvere le EDP[modifica | modifica sorgente]

Le EDP lineari in genere sono risolte, quando possibile, decomponendo l'equazione secondo una base di funzioni, risolvendo le equazioni così ottenute singolarmente e usando la sovrapposizione per trovare la soluzione corrispondente alle condizioni al contorno. Il metodo di separazione delle variabili è applicabile in molti casi particolari importanti.

Non esistono metodi generali per risolvere le EDP. Ciononostante risultati di esistenza e unicità (come il teorema di Cauchy-Kovalevskaya) sono spesso possibili, così come prove di importanti proprietà quantitative e qualitative delle soluzioni (trovare questi risultati è la parte più importante della teoria delle equazioni differenziali).

Tuttavia, alcune tecniche possono essere usate per diversi tipi di equazioni. Il principio di omotetia è il metodo più potente per risolvere le equazioni sottodeterminate. La teoria di Riquier-Janet è un metodo effettivo per ottenere informazioni su molti sistemi analitici sovradeterminati.

Il metodo delle caratteristiche può essere usato in alcuni casi molto particolari per risolvere le equazioni alle derivate parziali.

In alcuni casi, una EDP può essere risolta attraverso l'analisi delle perturbazioni, nella quale la soluzione è considerata come una correzione di un'equazione con una soluzione nota. Le alternative sono le tecniche di analisi numerica, dai semplici schemi di differenze finite ai più maturi metodi multigrid e di elementi finiti. Molti problemi interessanti in scienza e ingegneria vengono risolti in questo modo usando computers, e talvolta supercomputers molto potenti. Comunque, molti problemi in scienza e ingegneria vengono affrontati usando calcoli scientifici piuttosto che l'analisi numerica, siccome in genere non è noto se il metodo numerico produca soluzioni vicine a quella reale. È comunque bene sottolineare che la via numerica è spesso l'unica strada percorribile per trovare soluzioni, seppur approssimate, di molti problemi di matematica applicata.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Evans, op. cit., Pag. 1
  2. ^ a b Evans, op. cit., Pag. 2
  3. ^ Evans, op. cit., Pag. 3
  4. ^ a b Evans, op. cit., Pag. 7
  5. ^ Evans, op. cit., Pag. 8
  6. ^ Evans, op. cit., Pag. 65
  7. ^ Evans, op. cit., Pag. 20

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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