Equazione differenziale alle derivate parziali

In matematica, e in particolare nell'analisi, una equazione differenziale alle derivate parziali o più semplicemente una equazione alle derivate parziali (EDP), è una equazione differenziale che coinvolge derivate parziali di una funzione incognita in più variabili indipendenti. L'idea è di descrivere la funzione indirettamente attraverso una relazione fra se stessa e le sue derivate parziali, invece di scrivere esplicitamente la funzione. La relazione deve essere locale - deve connettere la funzione e le sue derivate nello stesso punto. Una soluzione (in senso classico) dell'equazione è una funzione di tutte le variabili indipendenti espresse nell'equazione e che possieda tutte le derivate necessarie per dare senso alla relazione verificandola puntualmente.

Caratteristiche e importanza

Le EDP sono comunemente usate per formulare e risolvere problemi fisici importanti quali la propagazione del suono o del calore e in svariati campi quali l'elettrostatica, l'elettrodinamica, meccanica dei fluidi, aerodinamica, elasticità, meccanica quantistica, relatività. Importanti applicazioni sono presenti anche in geometria differenziale in connessione con le diverse nozioni di curvatura.

Recentemente le EDP sono state usate con successo per descrivere modelli matematici in biologia e medicina come modelli di dinamica delle popolazioni, crescita di cellule nei tumori e chemiotassi. Altre applicazioni recenti riguardano invece i modelli matematici dei mercati finanziari, in particolare con esse viene descritta la dinamica delle opzioni finanziarie attraverso la celebre formula di Black e Scholes.

In generale per una EDP possono essere studiati svariati problemi che dipendono dalla natura stessa della equazione. Per esempio nelle equazioni classiche della fisica matematica, in quanto definite in un certo dominio spaziale, vengono prescritte delle condizioni al bordo, se il dominio ha una frontiera, o delle condizioni ai limiti se consideriamo domini infiniti. Qualora, come nel caso ad esempio della equazione del calore o della equazione delle onde, una delle variabili sia il tempo allora ha senso prescrivere anche delle condizioni iniziali studiando il relativo problema di Cauchy.

In tale caso il problema è ben posto se si ha esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati (al contorno o iniziali).

Definizione

Un'equazione differenziale alle derivate parziali di ordine k ha la forma:

$F(D^k u(x), D^{k-1} u(x), \cdots , D u(x), u(x),x) = 0 \,$

dove k è un numero intero e la variabile x appartiene ad un sottoinsieme U aperto di Rⁿ.

La funzione F:

$F : \mathbb{R}^{n^k} \times \mathbb{R}^{n^{k-1}} \times \cdots \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \times U \rightarrow \mathbb{R}$

è data, mentre la funzione u:

$u : U \rightarrow \mathbb{R}$

è l'incognita dell'equazione.

La soluzione di un'equazione differenziale alle derivate consiste nella ricerca delle funzioni u che soddisfano la definizione. Solitamente questo è possibile per quelle soluzioni che soddisfano determinate condizioni al contorno ausiliarie. Ad esempio, per ottenere l'unicità della soluzione si pongono spesso opportune condizioni per un qualche cammino Γ della frontiera $\partial U$ di U.

Solitamente non è possibile trovare la funzione incognita esplicita: ad eccezione di casi particolari, la ricerca della soluzione consiste nello studio dell'esistenza e delle proprietà che essa deve assumere.

Linearità

Un'equazione differenziale alle derivate parziali può essere lineare, semilineare, quasilineare o totalmente non lineare:

• L'equazione si dice lineare se ha la forma:

$\sum_{|\alpha | = k} a_\alpha (x) D^{\alpha} u = f(x) \$

per opportune funzioni a_α(x) ed f. Se f=0 l'equazione si dice omogenea.

• L'equazione si dice semilineare se ha la forma:

$\sum_{|\alpha | = k} a_\alpha (x) D^{\alpha} u + a_0(D^{k-1} u, \cdots , D u, u,x) = 0 \,$

• L'equazione si dice quasilineare se ha la forma:

$\sum_{|\alpha | = k} a_\alpha (D^{k-1} u, \cdots , D u, u,x)D^\alpha u + a_0(D^{k-1} u, \cdots , D u, u,x) = 0 \,$

• L'equazione si dice totalmente non lineare se dipende non-linearmente dal più alto grado di derivazione.

Sistema di equazioni alle derivate parziali

Un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali di ordine k ha la forma:

$\mathbf F(D^k \mathbf u(x), D^{k-1} \mathbf u(x), \cdots , D \mathbf u(x), \mathbf u(x),x) = 0 \$

La funzione:

$\mathbf F : \mathbb{R}^{mn^k} \times \mathbb{R}^{mn^{k-1}} \times \cdots \times \mathbb{R}^{mn} \times \mathbb{R}^m \times U \rightarrow \mathbb{R}$

è data, mentre la funzione u:

$\mathbf u : U \rightarrow \mathbb{R}^m$

con:

$\mathbf u = (u^1, \cdots u^m)$

è l'incognita del sistema.

Si è posto che il sistema abbia tante equazioni quante incognite, in numero pari a m.

Problemi ben posti e soluzioni

Non esiste una teoria universale che fornisca un metodo unico per risolvere le equazioni alle derivate parziali. La ricerca scientifica si è di conseguenza concentrata principalmente su equazioni di rilevante interesse matematico e fisico, sviluppandone le particolari metodologie risolutive.

Un problema relativo ad un'equazione differenziale alle derivate parziali si dice informalmente ben posto se ha una soluzione, se tale soluzione è unica e se dipende in modo continuo dai dati forniti dal problema. Un problema ben posto contiene tutte le caratteristiche ideali al fine di studiarne la risolubilità. L'ultima condizione è particolarmente importante nelle applicazioni fisiche: la dipendenza continua dai dati del problema significa che una loro variazione piccola a piacere ha conseguenze altrettanto piccole sulla soluzione. Per ottenere problemi ben posti si utilizzano solitamente opportune condizioni al contorno.

La soluzione di un'equazione alle derivate parziali non possiede caratteristiche generali, e varia a seconda del problema. Si definisce informalmente soluzione classica di una PDE di ordine k una funzione differenziabile fino all'ordine k-esimo, tale per cui tutte le derivate esistono e sono continue. Risolvere una PDE in senso classico significa dunque cercare una funzione liscia o almeno di classe C^k.

Si determina quindi la soluzione di un problema ben posto in senso classico quando tra le soluzioni in senso classico ne esiste soltanto una che soddisfi la definizione di problema ben posto.

Per la maggior parte delle equazioni differenziali alle derivate parziali, tuttavia, non esistono soluzioni classiche. In generale, ad esempio, le equazioni di continuità non hanno soluzioni classiche. Se ammettiamo una funzione non differenziabile come soluzione di un problema ben posto, tale soluzione è chiamata debole o generalizzata.

Il motivo per cui si definisce una classe di funzioni che sono soluzioni deboli di una PDE risiede nel fatto che la ricerca di una soluzione classica è spesso di notevole difficoltà, qualora sia possibile. Ponendo condizioni meno restrittive alla soluzione il problema si semplifica o diventa possibile, essendo più semplice trovare una soluzione unica e dipendente in modo continuo dai dati del problema.

Esistono casi, infine, in cui la soluzione debole trovata è sufficientemente regolare da poter essere considerata classica. Il problema del poter considerare regolare una soluzione debole, tuttavia, è frequentemente succube di notevoli difficoltà matematiche.

Esempi

Se F è una funzione lineare nella variabile u e le sue derivate se sostituendo a u la variabile v+w allora F può essere scritta come F(v) + F(w), e se sostituendo a u la variabile ku allora F può essere scritta come $k \cdot F(u)$. Se F è una funzione lineare di u e le sue derivate, allora l'equazione differenziale è lineare.
Le soluzioni generali delle equazioni differenziali ordinarie implicano costanti arbitrarie, mentre le soluzioni delle equazioni differenziali alle derivate parziali implicano funzioni arbitrarie. Si consideri ad esempio l'equazione differenziale alle derivate parziali:

$\frac{\partial}{\partial x}u(x,y)=0\, .$

Tale relazione implica che la funzione u(x,y) è indipendente da x. Quindi la soluzione generale di questa equazione è:

$u(x,y) = f(y),\,$

dove f è un'arbitraria funzione di y. L'analoga equazione differenziale ordinaria è:

$\frac{du(x)}{dx}=0\,$

che ha come soluzione:

$u(x) = c,\,$

dove c è una costante.

La soluzione di un'equazione differenziale alle derivate parziali non è in generale unica. In generale è necessario porre delle condizioni aggiuntive alla frontiera di una regione in cui la soluzione è definita. Ad esempio nel caso esposto in precedenza la funzione f(y) può essere determinata se u è nota lungo la linea x = 0.

Notazione ed esempi

Nelle teoria delle EDP, se indichiamo con u la funzione incognita, la sua derivata parziale rispetto alla variabile x viene indicata con la notazione abbreviata u_x , cioè:

$u_x = {\part u \over \part x}$

$u_{xy} = {\part^2 u \over \part x\, \part y}$

Nella tradizione anglosassone si preferisce l'uso dell'operatore nabla, che viene formalmente trattato come il campo vettoriale: $\nabla=(\part_x,\part_y,\part_z)$, per esempio:

$\begin{align} \nabla F &= \mathrm{grad} F \\ \nabla \cdot \vec F &= \mathrm{div} \vec F \\ \nabla \times \vec F &= \mathrm{rot} \vec F \end{align}$

Nella tradizione della fisica matematica le derivate rispetto al tempo vengono talvolta indicate con $\dot u$ .

L'equazione è detta di ordine q se q è l'ordine massimo delle derivate che vi compaiono. Se l'equazione dipende linearmente dall'incognita u e dalle sue derivate è detta lineare. Nel caso in cui le derivate di ordine massimo compaiano solo linearmente (con coefficienti che possono dipendere dalle derivate di ordine inferiore), l'equazione è detta quasi-lineare. Un'equazione quasi-lineare i cui coefficienti sono solo funzione delle variabili indipendenti (ma non dipendono dalla soluzione u) è detta semi-lineare. Infine un'equazione è detta omogenea se non compaiono termini indipendenti dalla funzione incognita u.

Equazione di Poisson

Per approfondire, vedi le voci Equazione di Laplace e Equazione di Poisson.

L'equazione di Poisson è un'equazione differenziale alle derivate parziali molto importante, ed ha la forma:

$u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = f \!$

dove f(x,y,z) è una funzione data che rappresenta il termine forzante o di sorgente al secondo membro. In fisica le soluzioni di questa equazione descrivono i potenziali di campi gravitazionali e elettrostatici in presenza di masse o cariche elettriche, rispettivamente.

L'equazione di Poisson omogenea è l'equazione di Laplace:

$u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = 0 \!$

nella funzione incognita u(x,y,z) e senza termine forzante o di sorgente al secondo membro. Le soluzioni di questa equazione, note come funzioni armoniche, si sono usate in fisica come potenziali di campi vettoriali, ad esempio campi gravitazionali o elettrostatici. Assumono inoltre rilevanza anche nella scienza delle costruzioni, ad esempio per il caso della torsione nella trave di de Saint Venant.

Equazione delle onde

Per approfondire, vedi la voce Equazione delle onde.

L'equazione delle onde è un'equazione nella funzione incognita u(x,y,z,t) (dove consideriamo t come variabile tempo) che si scrive:

$u_{tt} = c^2( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} ) \!$

Le sue soluzioni descrivono onde come il suono o le onde luminose; c è un numero che rappresenta la velocità dell'onda. In una e due dimensioni, questa equazione descrive le vibrazioni di una corda o di un tamburo. Le soluzioni sono in genere combinazioni di onde sinusoidali oscillanti.

L'equazione delle onde può anche essere scritta nella forma:

$u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}-\frac{1}{c^2}u_{tt}=0\!$

oppure, utilizzando l'operatore D'Alembertiano, semplicemente come:

$\Box u=0\!$

Equazione del calore

Per approfondire, vedi la voce Equazione del calore.

L'equazione del calore descrive l'evoluzione nel tempo della temperatura di una data regione spaziale. Ha la forma:

$u_t = \alpha ( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} ) \!$

Le soluzioni in genere si "livellano" con il tempo. Il termine 'α' descrive la diffusività termica del materiale.

Equazione di Eulero-Tricomi

L'equazione di Eulero-Tricomi è usata per studiare i flussi transonici. Ha la forma

$u_{xx}=xu_{yy} \!$

Equazione di advezione

L'equazione di advezione descrive il trasporto di una quantità scalare costante ψ in un campo di velocità u = (u, v, w). Ha la forma:

$\frac{\partial\psi}{\partial t}+\mathbf\nabla\cdot(\psi\,\mathbf u)=0. \!$

Se il campo di velocità è solenoidale (vale a dire, $\nabla\cdot{\bold u}=0$), allora l'equazione può essere semplificata:

$\frac{\partial\psi}{\partial t}+\mathbf u\cdot\mathbf\nabla\psi=0. \!$

L'equazione di advezione a flusso costante in una dimensione ψ_t + a ψ_x = 0 (dove a è costante) è comunemente indicata come il problema del porcile. Se u dipende dalla soluzione e in particolare è uguale a ψ l'equazione è chiamata equazione di Burgers.

Equazione di Ginzburg-Landau

L'equazione di Ginzburg-Landau si trova in un grande numero di applicazioni. Ha la forma

$iu_t+pu_{xx} +q|u|^2u=i\gamma u \!$

dove $p,q\in\mathbb{C}$ e $\gamma\in\mathbb{R}$ sono costanti e i è l'unità immaginaria.

Equazioni di Dym

L'equazione di Dym è chiamata così in onore di Harry Dym e si incontra nello studio dei solitoni. Ha la forma

$u_t = u^3u_{xxx}. \!$

Altri esempi

L'equazione di Schrödinger è una EDP fondamentale per la meccanica quantistica non relativistica. Nell'approssimazione WKB è invece l'equazione di Hamilton-Jacobi.

Eccetto per le ultime due e per l'equazione di Burgers, tutte le equazioni precedenti sono lineari, nel senso che possono essere scritte nella forma Au = f dati un determinato operatore lineare A e una determinata funzione f. Altre importanti equazioni non lineari sono le equazioni di Navier-Stokes che descrivono il flusso dei fluidi, e le equazioni di campo della relatività generale di Einstein.

Metodi per risolvere le EDP

Le EDP lineari in genere sono risolte, quando possibile, decomponendo l'equazione secondo una base di funzioni, risolvendo le equazioni così ottenute singolarmente e usando la sovrapposizione per trovare la soluzione corrispondente alle condizioni al contorno. Il metodo di separazione delle variabili è applicabile in molti casi particolari importanti.

Non esistono metodi generali per risolvere le EDP. Ciononostante risultati di esistenza e unicità (come il teorema di Cauchy-Kovalevskaya) sono spesso possibili, così come prove di importanti proprietà quantitative e qualitative delle soluzioni (trovare questi risultati è la parte più importante dell'analisi).

Tuttavia, alcune tecniche possono essere usate per diversi tipi di equazioni. Il principio di omotetia è il metodo più potente per risolvere le equazioni sottodeterminate. La teoria di Riquier-Janet è un metodo effettivo per ottenere informazioni su molti sistemi analitici sovradeterminati.

Il metodo delle caratteristiche può essere usato in alcuni casi molto particolari per risolvere le equazioni alle derivate parziali.

In alcuni casi, una EDP può essere risolta attraverso l'analisi delle perturbazioni, nella quale la soluzione è considerata come una correzione di un'equazione con una soluzione nota. Le alternative sono le tecniche di analisi numerica, dai semplici schemi di differenze finite ai più maturi metodi multigrid e di elementi finiti. Molti problemi interessanti in scienza e ingegneria vengono risolti in questo modo usando computers, e talvolta supercomputers molto potenti. Comunque, molti problemi in scienza e ingegneria vengono affrontati usando calcoli scientifici piuttosto che l'analisi numerica, siccome in genere non è noto se il metodo numerico produca soluzioni vicine a quella reale. È comunque bene sottolineare che la via numerica è spesso l'unica strada percorribile per trovare soluzioni, seppur approssimate, di molti problemi di matematica applicata.

Classificazione

Le equazioni alle derivate parziali del secondo ordine, e i sistemi di EDP (in inglese PDE), del secondo ordine, sono generalmente classificati come parabolici, iperbolici o ellittici. Questa classificazione permette una comprensione intuitiva del comportamento del sistema stesso. L'EDP del secondo ordine generica ha la forma

$Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + \cdots = 0,$

che assomiglia notevolmente all'equazione di una sezione conica:

$Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + \cdots = 0.$

B ha un coefficiente di 2 dovuto all'assunzione di commutatività delle derivate parziali nel primo caso (teorema di Schwartz), e della commutatività della moltiplicazione nel secondo caso. Così come si classificano le sezioni coniche in paraboliche, iperboliche ed ellittiche basandosi sul discriminante B² − AC, lo stesso può essere fatto per una EDP del secondo ordine:

1. se B² − AC < 0 l'equazione si dice ellittica. Le equazioni ellittiche tendono a livellare ogni disturbo. (es: equazione di Laplace)
2. se B² − AC = 0 l'equazione si dice parabolica: le equazioni paraboliche tendono a mantenere i disturbi preesistenti nei dati, ma senza amplificarli. (es: equazione di diffusione)
3. se B² − AC > 0 l'equazione si dice iperbolica: le equazioni iperboliche tendono ad amplificare ogni disturbo nei dati. (es: equazione delle onde)

La classificazione di una EDP dipende esclusivamente dai coefficienti delle derivate di ordine massimo presenti nell'equazione stessa.

Questo metodo può essere facilmente esteso a sistemi di equazioni alle derivate parziali esaminando gli autovalori della matrice dei coefficienti. In questo caso, lo schema di classificazione diventa:

1. Ellittico: Gli autovalori sono tutti positivi o tutti negativi.
2. Parabolico : Gli autovalori sono tutti positivi o negativi, tranne uno uguale a zero.
3. Iperbolico : C'è almeno un autovalore positivo e un autovalore negativo, e nessun autovalore è nullo.

Questo corrisponde all'analisi delle matrici definite positive e definite negative, in maniera analoga a quanto succede nella discussione dei massimi e minimi.

Esempi

La matrice associata al sistema

$\displaystyle u_t+2v_x=0$

$\displaystyle v_t-u_x=0$

è la seguente

$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$

Gli autovettori sono (0,1) e (1,0) con autovalori 2 e -1. Quindi il sistema è iperbolico.

Notiamo che, nonostante il sistema comprenda due equazioni del prim'ordine, può facilmente essere ricondotto a una coppia di equazioni disgiunte del second'ordine; in particolare ha senso classificarlo come iperbolico, nonostante questa definizione sembrerebbe in prima analisi non essere appropriata non trattandosi a prima vista di un'equazione di secondo grado.

Per ricavare l'equazione di secondo grado, deriviamo la prima equazione rispetto a x e la seconda rispetto a t, supponendo le funzioni sufficientemente regolari. Otteniamo

$\displaystyle u_{tx}+2v_{xx}=0$

$\displaystyle v_{tt}-u_{xt}=0$

da cui (supponendo le derivate seconde continue, cosicché commutino per il Teorema di Schwarz)

$\displaystyle v_{tt}-u_{xt}=v_{tt}+2v_{xx}=0$

che altro non è che l'equazione delle onde.

Bibliografia

• (EN) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998. ISBN 0821807722
• (FR) E. Goursat Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre (A. Hermann, Parigi, 1891)
• (FR) E. Goursat Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre, à deux variables indépendantes (Hermann, Parigi, 1896)
• (EN) W.W. Johson A treatise on ordinary and partial differential equations (New York, Wiley, 1896)
• (EN) A. R. Forsyth Theory of differential equations (Volume 5) (Cambridge University Press, 1900)
• (EN) A. R. Forsyth Theory of differential equations (Volume 6) (Cambridge University Press, 1900)
• (DE) B. Riemann e H. Weber Die partiellen differential-gleichungen der mathematischen physik nach Riemann's Vorlesungen Erster Band (F. Vieweg und sohn, Braunschweig, 1900-01)
• (DE) B. Riemann e H. Weber Die partiellen differential-gleichungen der mathematischen physik nach Riemann's Vorlesungen Zweiter Band (F. Vieweg und sohn, Braunschweig, 1900-01)
• (DE) J. Horn Einführung in die Theorie der partiellen Differentialgleichungen (G. J. Göschen, Leipzig, 1910)
• (DE) R. Courant e D. Hilbert Metoden der Mathematischen Physik (t.2) (Springer, Heidelberg, 1924)
• (EN) H. Bateman, Partial Differential Equations (Dover, New York, 1944)
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2004. ISBN 1-58488-355-3
• A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
• D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.

Voci correlate

• 35-XX sigla della sezione della MSC dedicata alle equazioni alle derivate parziali

• Storia delle equazioni alle derivate parziali
• Equazione differenziale ordinaria
• Controllo di Equazioni differenziali alle derivate parziali

Altri progetti

• Commons

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Collegamenti esterni

• (EN) PDE example problems at exampleproblems.com
• (EN) Partial Differential Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• (EN) Partial Differential Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• (EN) Partial Differential Equations: Methods at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

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