Approssimazione WKB

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In meccanica quantistica l'approssimazione WBK (Wentzel-Kramers-Brillouin) conosciuta anche come approssimazione WKBJ (Wentzel-Kramers-Brillouin-Jeffreys) è un'approssimazione semiclassica nella quale si impone che la funzione d'onda sia l'esponenziale di una funzione che varia lentamente e quindi viene sviluppata in serie di potenze della costante di Planck.

Il metodo prende il nome dai fisici Wentzel, Kramers e Brillouin, che lo svilupparono nel 1926. Nel 1923 il matematico Harold Jeffreys sviluppò un metodo generale per approssimare le equazioni lineari del second'ordine, inclusa l'equazione di Schrödinger. Poiché l'equazione di Schrödinger fu sviluppata due anni più tardi e Wentzel, Kramers, e Brillouin erano ignari di questo lavoro, Jeffreys è spesso omesso.

Data l'equazione di Schrödinger stazionaria


-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2}{d x^2}\Psi(x)+V(x) \Psi(x)= E \Psi(x),

l'approssimazione richiede di porre

\Psi(x) = e^{\Phi(x)}, \!

in modo da avere

\Phi''(x) + \left[\Phi'(x)\right]^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right),

dove \Phi' indica la derivata di \Phi rispetto a x. La derivata \Phi'(x) può essere separata in parte reale e immaginaria, introducendo le funzioni reali A e B:

\Phi'(x) = A(x) + i B(x). \;

L'ampiezza della funzione d'onda è quindi data da \exp\left[\int^x A(x')dx'\right]\,\!, mentre la fase è \int^x B(x')dx'\,\!. Le parti reale e immaginaria dell'equazione di Schrödinger assumono la forma

A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right),
B'(x) + 2 A(x) B(x) = 0. \;

A questo punto, si invoca l'approssimazione semiclassica. Si sviluppano cioè le funzioni A e B in potenze di \hbar. È chiaro dalle equazioni che lo sviluppo deve cominciare con l'ordine \hbar^{-1}.

A(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{n=0}^\infty \hbar^n A_n(x),
B(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{n=0}^\infty \hbar^n B_n(x).

All'ordine zero in questo sviluppo, le condizioni su A e B hanno la forma

A_0(x)^2 - B_0(x)^2 = 2m \left( V(x) - E \right),
A_0(x) B_0(x) = 0 \;.

Se l'ampiezza varia abbastanza lentamente rispetto alla fase, (A_0(x) = 0), si ha

B_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) },

che vale solo se l'energia totale è maggiore dell'energia potenziale, come succede sempre nella Meccanica classica. All'ordine successivo dello sviluppo si ottiene

\Psi(x) \approx C_0 \frac{ e^{i \int \mathrm{d}x \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)} + \theta} }{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)}}.

Se invece è la fase a variare lentamente (rispetto all'ampiezza), (B_0(x) = 0) si ha

A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) },

che vale solo se l'energia potenziale è più grande dell'energia totale (il regime in cui si verifica l'effetto tunnel). All'ordine successivo nello sviluppo si ha

\Psi(x) \approx \frac{ C_{+} e^{+\int \mathrm{d}x \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}} + C_{-} e^{-\int \mathrm{d}x \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}}{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}.

È chiaro dal denominatore che entrambe queste soluzioni perdono di validità vicino ai punti d'inversione classica dove E = V(x). Esse sono le soluzioni approssimate lontano dai [punti d'inversione, nel regime classico (E>V(x)), dove la particella si comporta in modo simile a una particella libera e la funzione d'onda è oscillante, e nel regime di effetto tunnel (E<V(x)) dove l'ampiezza dell'onda cambia rapidamente.

Per completare la derivazione, è necessario raccordare le soluzioni così trovate attraverso i punti d'inversione. La soluzione in prossimità dei punti d'inversione, al primo ordine in \hbar ha la forma

\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \Psi(x) = U_1 (x - x_1) \Psi(x),

dove U_1 è il coefficiente di (x-x_1) nello sviluppo di U(x)=(2m/\hbar^2)(V(x)-E) attorno al punto d'inversione x_1.

Questa equazione differenziale è nota come equazione d'Airy, e la sua soluzione può essere scritta in termini delle funzioni di Airy:

\Psi(x) = C_A \textrm{Ai}\left( \sqrt[3]{U_1} (x - x_1) \right) + C_B \textrm{Bi}\left( \sqrt[3]{U_1} (x - x_1) \right).

Questa soluzione deve collegare la soluzione nelle dure regioni "classica" e "tunnel". Dati i due coefficienti da un lato del punto d'inversione, i due coefficienti dall'altro lato possono essere determinati mediante questa soluzione locale. Questo permette di derivare una relazione fra C_0,\theta e C_{+},C_{-}.

Si può sfruttare la relazione asintotica fra le funzioni d'Airy, e seno, coseno ed esponenziale. Si ottengono così le "formule di connessione":


  \begin{align}
    C_{+} &= + \frac{1}{2} C_0 \cos{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)},
    \\
    C_{-} &= - \frac{1}{2} C_0 \sin{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)}.
  \end{align}

Esse permettono di derivare le soluzioni globali.


Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • H. Jeffreys Proc. London Math. Soc. (2)23,428 (1923)
  • G. Wentzel Zeits. f. Phys. 38, 518 (1926)
  • H. A. Kramers Zeits. f. Phys. 39, 828 (1926)
  • L. Brillouin Comptes Rendus 183, 24 (1926)
  • L. D. Landau e E. M. Lifsits Fisica Teorica Vol. 3: Meccanica Quantistica (Riuniti, 1978)


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