Operatore nabla

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Se riscontri problemi nella visualizzazione dei caratteri, clicca qui.

In matematica, ed in particolare nel calcolo vettoriale e nell'analisi matematica, il nabla indicato col simbolo \mathbf{\nabla} è un operatore differenziale vettoriale. Il simbolo è chiamato, molto raramente e solo nel mondo anglosassone, anche atled (delta letto al contrario) a causa della sua forma a delta (Δ) rovesciato. Il nome più comunemente utilizzato nella letteratura anglosassone è però "del".

Il nabla è una convenzione matematica che consente di scrivere, con una notazione compatta, gli operatori differenziali jacobiana, gradiente, divergenza e rotore.

Qualora lo spazio vettoriale nel quale il nabla agisce sia uni-dimensionale, la definizione del nabla coincide con l'ordinaria derivata.

Il termine deriva dal nome di uno strumento musicale a corda della tradizione ebraica europea, il nebel, simile ad un'arpa, ovvero simile ad una viola o ad un violino ma avente una cassa acustica di profilo triangolare, che richiama appunto quella di un delta rovesciato.[1][2]

Il simbolo è stato utilizzato per la prima volta dal matematico e fisico William Rowan Hamilton nella forma di un delta sdraiato . In greco il simbolo è chiamato ανάδελτα, anádelta, ovvero delta rovesciato. Nel linguaggio anglosassone il simbolo nabla, quando è un operatore matematico, è chiamato del.

Il simbolo è disponibile nel codice HTML come e nel codice LaTeX come \nabla. Nella codifica Unicode è rappresentato nella cella U+2207 o, in notazione decimale, 8711.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

In uno spazio tridimensionale \mathbb{R}^{3} generato da un sistema di coordinate cartesiane x, y, z con versori indicati \hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}} e \hat{\mathbf{k}}, il nabla è definito come:

\nabla = \hat{\mathbf{i}} {\partial \over \partial x} + \hat{\mathbf{j}}{\partial \over \partial y} + \hat{\mathbf{k}}{\partial \over \partial z}

La generalizzazione per uno spazio \mathbb{R}^{n,m} con funzioni di n variabili a m valori, viene scritta:

\nabla=\sum_{i=1}^n \hat{\mathbf{x_i}} \frac{\partial}{\partial x_i}

Usi del nabla[modifica | modifica wikitesto]

L'operatore nabla consente di scrivere con una notazione compatta ed intuitiva gli operatori differenziali del gradiente, la divergenza, il rotore, la derivata direzionale, il laplaciano:

\mathrm{grad} \, f = \nabla f
 \mathrm{div} \, \vec v = \nabla \cdot \vec v
 \mathrm{rot} \, \vec v = \nabla \times \vec v
 \nabla \cdot \nabla f = \nabla^2 f

dove f è una funzione reale di più variabili reali, \vec v è un campo, cioè una funzione vettoriale di più variabili reali. Il simbolo \cdot rappresenta il prodotto scalare, mentre \times il prodotto vettoriale.

Questo consente di semplificare la scrittura anche di complicate equazioni differenziali.

Definizione intrinseca[modifica | modifica wikitesto]

La definizione data sopra è in realtà una definizione informale che dipende dal sistema di coordinate prescelto. Si può tuttavia definire il nabla con una definizione intrinseca più generale, indipendente dal sistema di coordinate:


\nabla\star f = \lim_{V \to 0} \frac{1}{V} \oint_{\partial V} \operatorname d \mathbf s \star f

in cui \star rappresenta un prodotto arbitrario (scalare, vettoriale, tensoriale o per uno scalare), mentre f è un campo scalare, vettoriale o tensoriale. \partial V è la superficie frontiera del volume V che nel limite si riduce a un punto. In questo modo si possono definire in maniera intrinseca il gradiente, la divergenza, il rotore e gli altri operatori differenziali.

Coordinate sferiche[modifica | modifica wikitesto]

Le equazioni che trasformano le coordinate polari in coordinate cartesiane sono:


x=r\,\sin\theta\,\cos\phi



y=r\,\sin\theta\,\sin\phi



z=r\,\cos\theta


Sfruttando la regola di derivazione a catena si può scrivere:


\frac{\partial}{\partial r}=\frac{\partial x}{\partial r}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial r}\frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial r}\frac{\partial}{\partial z}



\frac{\partial}{\partial\theta}=\frac{\partial x}{\partial\theta}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial\theta}\frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial\theta}\frac{\partial}{\partial z}



\frac{\partial}{\partial\phi}=\frac{\partial x}{\partial\phi}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial\phi}\frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial\phi}\frac{\partial}{\partial z}


la stessa cosa, usando la notazione con matrici e vettori, si scrive:


\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial r}\\
\frac{\partial}{\partial\theta}\\
\frac{\partial}{\partial\phi}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sin\theta\,\cos\phi & \sin\theta\,\sin\phi & \cos\theta\\
r\,\cos\theta\,\cos\phi & r\,\cos\theta\,\sin\phi & -r\,\sin\theta\\
-r\,\sin\theta\,\sin\phi & r\,\sin\theta\,\cos\phi & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\
\frac{\partial}{\partial y}\\
\frac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}


o anche in forma più compatta:


\nabla_{r}=AB\nabla


avendo definito:


\nabla_{r}=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial r}\\
\frac{\partial}{\partial\theta}\\
\frac{\partial}{\partial\phi}
\end{pmatrix}

\nabla=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\
\frac{\partial}{\partial y}\\
\frac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}

A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & r & 0\\
0 & 0 & r\,\sin\theta
\end{pmatrix}

B=\begin{pmatrix}\sin\theta\,\cos\phi & \sin\theta\,\sin\phi & \cos\theta\\
\cos\theta\,\cos\phi & \cos\theta\,\sin\phi & -\sin\theta\\
-\sin\phi & \cos\phi & 0
\end{pmatrix}

Si noti che:


A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & \frac{1}{r} & 0\\
0 & 0 & \frac{1}{r\,\sin\theta}
\end{pmatrix}



B^{-1}=B^{T}=b_{1}+b_{2}+b_{3}


con


b_{1}=\begin{pmatrix}\sin\theta\,\cos\phi\\
\sin\theta\,\sin\phi\\
\cos\theta
\end{pmatrix}

b_{2}=\begin{pmatrix}\cos\theta\,\cos\phi\\
\cos\theta\,\sin\phi\\
-\sin\theta
\end{pmatrix}

b_{3}=\begin{pmatrix}-\sin\phi\\
\cos\phi\\
0
\end{pmatrix}



b_{2}=\frac{\partial b_{1}}{\partial\theta}



b_{3}=\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial b_{1}}{\partial\phi}=\frac{1}{\cos\theta}\frac{\partial b_{2}}{\partial\phi}



b_{i}\cdot b_{j}=\delta_{ij}


 b_{i}\times b_{j}=\epsilon_{ijk}b_{k}


Con quanto suddetto l'operatore gradiente in coordinate polari si esprime:

 \nabla=B^{-1}A^{-1}\nabla_{r}= \left(b_{1}\frac{\partial}{\partial r} , b_{2}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}, b_{3}\frac{1}{r\,\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\right)


Si ha:

 b_{1}\frac{\partial}{\partial r}\cdot b_{1}\frac{\partial}{\partial r}=b_{1}\cdot\left(\frac{\partial b_{1}}{\partial r}\right)\frac{\partial}{\partial r}+b_{1}\cdot b_{1}\frac{\partial}{\partial r}\frac{\partial}{\partial r}=\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}


 b_{1}\frac{\partial}{\partial r}\cdot b_{2}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}=b_{1}\cdot b_{2}\frac{\partial}{\partial r}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}=0


 b_{1}\frac{\partial}{\partial r}\cdot b_{3}\frac{1}{r\,\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}=b_{1}\cdot b_{3}\frac{\partial}{\partial r}\frac{1}{r\,\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}=0

b_{2}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\cdot b_{1}\frac{\partial}{\partial r}=b_{2}\cdot\left(\frac{\partial b_{1}}{\partial\theta}\right)\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+b_{2}\cdot b_{1}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\frac{\partial}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}



b_{2}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\cdot b_{2}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}=b_{2}\cdot\left(\frac{\partial b_{2}}{\partial\theta}\right)\frac{1}{r}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}+b_{2}\cdot b_{2}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial\theta^{2}}



b_{2}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\cdot b_{3}\frac{1}{r\,\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}=b_{2}\cdot b_{3}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\frac{1}{r\,\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}=0



b_{3}\frac{1}{r\,\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\cdot b_{1}\frac{\partial}{\partial r}=b_{3}\cdot\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial b_{1}}{\partial\phi}\right)\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+b_{3}\cdot b_{1}\frac{1}{r\,\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\frac{\partial}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}



b_{3}\frac{1}{r\,\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\cdot b_{2}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}=b_{3}\cdot\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\frac{1}{\cos\theta}\frac{\partial b_{2}}{\partial\phi}\right)\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial\theta}+b_{3}\cdot b_{2}\frac{1}{r\,\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}=

=\frac{\cot\theta}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial\theta}



b_{3}\frac{1}{r\,\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\cdot b_{3}\frac{1}{r\,\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}=b_{3}\cdot\left(\frac{\partial b_{3}}{\partial\phi}\right)\frac{1}{r\,\sin\theta}\frac{1}{r\,\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}+b_{3}\cdot b_{3}\frac{1}{r\,\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\frac{1}{r\,\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}=

=\frac{1}{r^{2}\,\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}}{\partial\phi^{2}}


da cui si ricava l'espressione del laplaciano in coordinate polari:


\nabla^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial\theta^{2}}+\frac{1}{r^{2}\,\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}}{\partial\phi^{2}}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\cot\theta}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial\theta}=

=\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial}{\partial r}r^{2}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial^{2}}{\partial\theta^{2}}+\frac{1}{\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}}{\partial\phi^{2}}+\cot\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)


Si trovano facilmente anche gli operatori x\times\nabla (il legendriano) e \left(x\times\nabla\right)^{2}, che sono strettamente legati a L e L^{2} nella teoria dei momenti angolari della meccanica quantistica, infatti:


x\times\nabla=r\, b_{1}\times\left(b_{1}\frac{\partial}{\partial r}+b_{2}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}+b_{3}\frac{1}{r\,\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\right)=b_{3}\frac{\partial}{\partial\theta}-b_{2}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}


e calcolando:


b_{2}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\cdot b_{2}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}=b_{2}\cdot\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\frac{1}{\cos\theta}\frac{\partial b_{2}}{\partial\phi}\right)\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}+b_{2}\cdot b_{2}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}=\frac{1}{\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}}{\partial\phi^{2}}



b_{2}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\cdot b_{3}\frac{\partial}{\partial\theta}=b_{2}\cdot\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial b_{3}}{\partial\phi}\right)\frac{\partial}{\partial\theta}+b_{2}\cdot b_{3}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\frac{\partial}{\partial\theta}=-\cot\theta\frac{\partial}{\partial\theta}



b_{3}\frac{\partial}{\partial\theta}\cdot b_{2}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}=b_{3}\cdot\left(\frac{\partial b_{2}}{\partial\theta}\right)\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}+b_{3}\cdot b_{2}\frac{\partial}{\partial\theta}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}=0



b_{3}\frac{\partial}{\partial\theta}\cdot b_{3}\frac{\partial}{\partial\theta}=b_{3}\cdot\left(\frac{\partial b_{3}}{\partial\theta}\right)\frac{\partial}{\partial\theta}+b_{3}\cdot b_{3}\frac{\partial}{\partial\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}=\frac{\partial^{2}}{\partial\theta^{2}}


si ottiene:


\left(x\times\nabla\right)^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial\theta^{2}}+\frac{1}{\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}}{\partial\phi^{2}}+\cot\theta\frac{\partial}{\partial\theta}


L'operatore \left(x\times\nabla\right)^{2} rappresenta la parte angolare di \nabla^{2} e si può scrivere un'altra espressione importante per il laplaciano:


\nabla^{2}=\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial}{\partial r}r^{2}\frac{\partial}{\partial r}+\left(x\times\nabla\right)^{2}\right)=\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\left(\frac{x\times\nabla}{r}\right)^{2}

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Nebel in “Enciclopedia Italiana” – Treccani
  2. ^ Nebel in Vocabolario – Treccani

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica