Equazione di Laplace

In matematica, l'equazione di Laplace è un'equazione differenziale alle derivate parziali, le cui proprietà sono state studiate per la prima volta da Pierre Simon Laplace. L'equazione riveste particolare importanza nei settori dell'elettromagnetismo, astronomia, fluidodinamica, e le sue soluzioni differenziabili fino al secondo costituiscono la classe delle funzioni armoniche, che sono funzioni analitiche.

L'equazione impone che l'operatore di Laplace di una funzione incognita sia nullo. Tale relazione riveste particolare importanza in fisica:

• Se l'incognita è una concentrazione l'equazione di Laplace viene detta seconda legge di diffusione di Fick.
• Se l'incognita è una temperatura l'equazione di Laplace viene detta legge di Fourier per la conduzione del calore.
• Se l'incognita è una potenziale elettrostatico l'equazione di Laplace descrive il problema generale dell'elettrostatica nel caso non siano presenti le sorgenti del campo.

Per risolvere l'equazione di Laplace nel caso bidimensionale è possibile utilizzare l'analisi complessa, particolarmente mappe conformi, mentre nel caso tridimensionale si può invece utilizzare il metodo di separazione delle variabili.

L'equazione

Sia $\varphi = \varphi(\mathbf x)$ una funzione definita su un insieme U di $\R^n$ a valori in $\R$. Sia la funzione di classe C², cioè differenziabile fino al secondo ordine con continuità.

L'equazione di Laplace per φ ha la forma:

$\Delta\varphi=0 \$

dove Δ è l'operatore di Laplace o laplaciano.

Nello spazio euclideo l'operatore di Laplace è spesso denotato con ${\nabla}^2$, e l'equazione di Laplace ha la forma:

${\nabla}^2 \varphi = 0$

che in coordinate cartesiane è:

${\partial^2 f\over \partial x^2 } + {\partial^2 f\over \partial y^2 } + {\partial^2 f\over \partial z^2 } = 0.$

in coordinate cilindriche è:

${1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho} \left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right) + {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \phi^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2 } =0$

ed in coordinate sferiche è:

${1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\!\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) \!+\!{1 \over r^2\!\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\!\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) \!+\!{1 \over r^2\!\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} =0.$

Essa si trova scritta in modo ormai obsoleto anche come:

$\operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,\varphi = 0$

dove $\operatorname{div}$ è l'operatore divergenza e $\operatorname{grad}$ è l'operatore gradiente.

Se l'equazione non è omogenea, cioè se il secondo membro dell'equazione è costituito da una funzione non identicamente nulla f:

$\triangle \varphi = f$

allora l'equazione viene chiamata equazione di Poisson, ed è un'equazione ellittica.

Soluzione fondamentale

Una strategia utilizzata nella soluzione delle equazioni alle derivate parziali lineari consiste nel trovare inizialmente soluzioni semplici, ed a partire da esse costruire una soluzione complessa che sia combinazione lineare di soluzioni semplici.

Dal momento che l'equazione di Laplace è invariante sotto rotazione, si cercano soluzioni di tipo radiale, dipendenti solamente dalla variabile:

$r = |\mathbf x| = (x_1^2+x_2^2+ \cdots +x_n^2)^\frac{1}{2}$

Si consideri la funzione:

$\varphi (\mathbf x) = v(r)$

con v tale che l'equazione di Laplace per φ continui a valere.

Poiché:

$\frac{\partial r}{\partial x_i}= \frac{2x_i}{2}(x_1^2+x_2^2+ \cdots +x_n^2)^{-\frac{1}{2}} = \frac{x_i}{r}$

si ottiene:

$\frac{\partial \varphi}{\partial x_i}= v'(r)\frac{x_i}{r} \qquad \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_i^2} = v''(r)\frac{x_i^2}{r^2} + v'(r) \left( \frac{1}{r} - \frac{x_i^2}{r^3} \right )$

per ogni i e per ogni x_i non nullo.

Si ha quindi:

$\Delta\varphi= \sum_i^n \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_i^2} = v''(r) + \frac{n-1}{r}v'(r) = 0$

Se v è diverso da zero si ha:

$\frac{v''}{v'}= \frac{1 - n}{r} = \log (v')'$

e quindi:

$v'(r) = \frac{a}{r^{n-1}}$

con a costante. Di conseguenza, per r positivo:

$v(r)=\begin{cases} b\log r + c \qquad (n=2) \\ \frac{b}{r^{n - 2}} + c \qquad (n \ge 3) \end{cases}$

con b e c costanti.

Con un'opportuna scelta delle costanti si definisce la soluzione dell'equazione di Laplace nella sua forma più generale:

$\Phi (\mathbf x)=\begin{cases} -\frac{1}{2\pi}\log |\mathbf x| \qquad (n=2) \\ \frac{1}{n(n - 2)\alpha (n)|\mathbf x|^{n - 2}} \qquad (n \ge 3) \end{cases}$

dove α(n) denota il volume della bolla di raggio unitario in $\R^n$.

Condizioni al contorno

Condizioni al contorno di Dirichlet

Per approfondire, vedi la voce Condizioni al contorno di Dirichlet.

Il problema di Dirichlet per le equazioni di Laplace consiste nel trovare una soluzione φ definita in un dominio D e tale che ϕ sul bordo di D coincida con una funzione assegnata. La relazione tra l'equazione di Laplace e quella del calore può essere data dalla seguente interpretazione fisica del problema di Dirichlet: supponendo che la funzione assegnata sia una temperatura costante nel tempo associata ad ogni punto del bordo di un corpo omogeneo e isotropo, i valori della temperatura all'interno del corpo quando si raggiunge l'equilibrio termico rappresentano la soluzione del problema di Dirichlet.

Condizioni al contorno di Neumann

Per approfondire, vedi la voce Condizioni al contorno di Neumann.

Il problema di Neumann per le equazioni di Laplace è simile al problema di Dirichlet, ma in esso la funzione assegnata non coincide con il valore di φ sul bordo di D, ma con la sua derivata normale. La più ovvia interpretazione fisica (e quella dalla quale il problema è stato motivato) corrisponde alla costruzione di un potenziale su un campo vettore conoscendo le variazioni del campo sul bordo.

Bibliografia

• (EN) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998. ISBN 0821807722
• Corrado Mencuccini; Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010. ISBN 978-88-207-1633-2
• F. A. Tarleton An introduction to the mathematical theory of attraction (vol. 1) p. 81 (Longmans, London, 1889)
• B. O. Pierce Elements of the theory of the Newtonian potential function p. 44 (Ginn & co., Boston, 1902)
• W. E. Byerly Harmonic functions (John Wiley & Sons, New York, 1906)
• J. G. Leathem Volume and surface integrals used in physics (Cambridge University Press, 1913)
• O. D. Kellogg Foundations Of Potential Theory (Springer, Berlin, 1929)
• R. Courant e D. Hilbert Methoden der mathematischen Physik (band 2) (Springer, Berlin, 1924)
• H. Bateman Partial Differential Equations of Mathematical Physics (Dover, New York, 1944)
• P. A. Morse e H. Feshbach Methods of Theoretical Physics (McGrawHill, New York, 1953)

Collegamenti esterni

• Equazione di Laplace Mathworld
• R. M. Redhedffer Separation of Laplace's equation (Tesi di Dottorato, MIT, 1948)
• Equazione di Laplace EqWorld
• Maurizio Quadrio equazione di Laplace, tecniche risolutive (Politecnico di Milano)
• Maurizio Quadrio equazione di Laplace, variabile complessa (Politecnico di Milano)
• Cornelis Van Der Mee Istitutioni di Fisica Matematica 2006-2007 (Universita di Cagliari) p. 109

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