Funzione di Green

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In matematica, la funzione di Green è uno strumento matematico particolarmente adatto alla manipolazione e risoluzione di equazioni differenziali non omogenee.

Il nome deriva dal matematico e fisico britannico George Green (14 luglio 1793 – 31 maggio 1841), cui si deve anche il famoso teorema di Green. I campi di applicazione di questa funzione sono ormai tra i più vari. Fondamentale, ad esempio, è il suo utilizzo nella teoria quantistica delle interazioni, in particolare nella teoria quantistica dei campi interagenti e nella teoria dei sistemi a molti corpi, dove è a volte indicata col nome di propagatore.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia dato un arbitrario operatore differenziale lineare L_x che agisce su un opportuno spazio di funzioni, nella generica variabile x = (x_1,\dots , x_n ). Un'equazione differenziale, che è in generale alle derivate parziali, è scritta nel seguente modo:

L_x u(x)=f(x) \

La funzione di Green dell'operatore L è definita come la distribuzione (soluzione fondamentale) G(x,y) tale che:

 L_x G(x,y)=\delta (x-y)

Grazie alla proprietà della delta di Dirac:

 f(x)=\int f(y)\delta(x-y)dy =\int f(y)L_x G(x,y)dy

Dal momento che  f(x)=L_xu(x), si ha (portando L_x che agisce solo su x fuori dall'integrale):

 L_x u(x)=L_x\int f(y)G(x,y)dy

da cui si ottiene:

u(x)=\int f(y)G(x,y)dy +q(x)

dove  q(x) è una soluzione dell'equazione omogenea associata  L_xq(x)=0. La funzione arbitraria  q(x) è univocamente fissata dalle condizioni al contorno del problema.

In modo equivalente, facendo uso della notazione di Dirac per gli spazi vettoriali, una generica equazione differenziale è scritta nel seguente modo:

 L|u\rangle=|f\rangle

Se  L ammette un inverso L^{-1}\equiv G allora l'equazione si può formalmente risolvere come segue:

 |u\rangle=G|f\rangle

Moltiplicando a sinistra per  \langle x| e sfruttando la spettralizzazione dell'identità:

I=\int|y\rangle\langle y|dy

si ottiene:

 u(x)=\int dy \langle x|G|y\rangle f(y)

La funzione di Green di un operatore differenziale è dunque il nucleo integrale dell'inverso, se esiste, dell'operatore medesimo:

 G(x,y)\equiv \langle x|G|y\rangle

La funzione di Green e la trasformata di Fourier[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Trasformata di Fourier.

Uno dei metodi più potenti per trovare le funzioni di Green in casi specifici è l'utilizzo della trasformata di Fourier, che ha la fondamentale proprietà di convertire operazione di derivazione in semplici prodotti, e quindi equazioni differenziali in equazioni algebriche. Detta m la dimensione dello spazio delle variabili x,y, si ha che la trasformata di Fourier nella variabile x è data da:

 G(x,y)=\frac{1}{(2\pi)^m}\int e^{i k x} \tilde G(k,y)d^m k

mentre la rappresentazione di Fourier della \delta è:

 \delta (x-y)=\frac{1}{(2\pi)^m}\int e^{i k (x-y)}d^m k

Inserendo tale rappresentazione nella definizione:

 L_x G(x,y)=\delta (x-y)

è possibile ottenere una forma per \tilde G(k,y).

Il laplaciano[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Operatore di Laplace.

Si vuole ricavare la funzione di Green dell'operatore laplaciano \nabla^2 in tre dimensioni. Si ha:

\nabla_x^2 G(x-y)=\delta(x-y)

dove si utilizza G(x-y) dal momento che la funzione di Green dipende solo dalla differenza delle variabili, data l'evidente simmetria dell'equazione. Utilizzando la trasformata di Fourier di entrambi i membri si ottiene:

 \tilde G(k)=-\frac{1}{k^2}

e dunque:

 G(x-y)=-\frac{1}{(2\pi)^3}\int \frac{e^{ik(x-y)}}{k^2}d^3k

La risoluzione dell'integrale è:

 G(x-y)=-\frac{1}{(2\pi)^2}\int_{-1}^1 d(\cos\theta)\int_{0}^{+\infty} k^2dk\frac{e^{ikr\cos\theta}}{k^2}=-\frac{2}{(2\pi)^2r}\int_{0}^{+\infty}dk\frac{\sin(kr)}{k}

dove si intende r=|x-y| e si è ipotizzato che x-y sia lungo la direzione  z nel k-spazio. L'ultimo integrale si risolve con un'integrazione di contorno rendendo complessa la variabile k e chiudendo il contorno nel semipiano superiore:

\int_{0}^{+\infty}dk\frac{\sin(kr)}{k}=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}dk\frac{\sin(kr)}{k}
=\frac{1}{2}\Im\int_{-\infty}^{+\infty}dk\frac{e^{ikr}}{k}=\frac{1}{2}\Im \left[\pi iRes \left(\frac{e^{izr}}{z}\vert_{z=0}\right)\right]=\frac{\pi}{2}

Per il calcolo del residuo del polo in k=0 si è utilizzata la parte principale. In definitiva:

G(x,y)=-\frac{1}{4\pi |x-y|}

Teoria perturbativa[modifica | modifica wikitesto]

Il formalismo della funzione di Green risulta particolarmente adatto per la risoluzione (per lo meno formale) di problemi di natura perturbativa. Supponiamo ad esempio di avere il seguente operatore differenziale:

 L+\lambda V

con \lambda numero reale generico, e supponiamo inoltre di aver risolto o comunque che sia noto il problema relativo al solo operatore L. Si denoti con G_0 l'operatore di Green (noto per ipotesi) per L (ossia L^{-1}). Dunque l'equazione che definisce l'operatore di Green completo è:

 (L+\lambda V)G=I

il che comporta:

LG=I-\lambda VG \Rightarrow G=L^{-1}-\lambda L^{-1}VG

ossia, ricordando che L^{-1}\equiv G_0:

 G=G_0-\lambda G_0VG

Quest'ultima equazione è fondamentale nel caso in cui il parametro \lambda sia sufficientemente piccolo da poter trattare il "potenziale" \lambda V come perturbazione dell'operatore libero L. Infatti la precedente si può risolvere formalmente utilizzando uno sviluppo in serie per G:

G=G_0-\lambda G_0VG_0+\lambda^2G_0VG_0VG_0-\lambda^3G_0VG_0VG_0VG_0+\ldots

Se \lambda è più piccolo dell'unità le sue potenze decresceranno (più \lambda è piccolo più la decrescenza sarà rapida) quindi ogni addendo aggiuntivo contribuirà all'operatore di Green completo con un peso sempre minore. A seconda delle esigenze si potrà troncare lo sviluppo ad un ordine opportuno ed ottenere un'ottima approssimazione per  G. Il tutto si può riscrivere nel più comune linguaggio integrale:

 G(x,y)=G_0(x,y)-\lambda\int G_0(x,x')V(x',x'')G(x'',y)dx'dx''

la quale ammette una soluzione formale come serie di Neumann:

G(x,y)=G_0(x,y)-\lambda\int G_0(x,x_1)V(x_1,x_2)G_0(x_2,y)dx_1dx_2+
+\lambda^2\int G_0(x,x_1)V(x_1,x_2)G_0(x_2,x_3)V(x_3,x_4)G_0(x_4,y)dx_1\ldots dx_4+\ldots

Evidentemente, una volta ottenuto uno sviluppo in serie di \lambda per G(x,y) è immediato ottenerlo anche per la soluzione u(x) dell'equazione differenziale:

 (L+\lambda V)u(x)=f(x)

dove f(x) è il solito termine non omogeneo. Dato che si ha:

 u(x)=\int G(x,y)f(y)dy

si ottiene la seguente equazione integrale per la soluzione:

 u(x)=F(x)-\lambda\int G_0(x,x')V(x',x'')G_0(x'',y)f(y)dx'dx''dy

con:

 F(x)=\int G_0(x,y)f(y)dy

ossia soluzione dell'equazione "libera". La precedente ammette ovviamente una soluzione sotto forma di sviluppo perturbativo in \lambda:

u(x)=F(x)-\lambda\int G_0(x,x_1)V(x_1,x_2)G_0(x_2,y)f(y)dx_1dx_2dy
+\lambda^2\int G_0(x,x_1)V(x_1,x_2)G_0(x_2,x_3)V(x_3,x_4)G_0(x_4,y)f(y)dx_1\ldots dx_4dy+\ldots

Con questo formalismo si riescono dunque ad ottenere soluzioni approssimate per l'equazione differenziale. L'approssimazione è tanto più buona quanto più aumenta l'ordine dello sviluppo a cui intendiamo fermare il nostro calcolo, ossia l'esponente di \lambda.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapters 18 and 19.
  • (EN) Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (Chapter 5 contains a very readable account of using Green's functions to solve boundary value problems in electrostatics.)
  • (EN) A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
  • (EN) A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
  • (EN) G. B. Folland, Fourier Analysis and Its Applications, Wadsworth and Brooks/Cole Mathematics Series.
  • (EN) K. D. Cole, J. V. Beck, A. Haji-Sheikh, and B. Litkouhi, Heat Conduction Using Green's Functions, Taylor and Francis, 2011, pp. 101 - 148. ISBN 978-1-4398-1354-6
  • (EN) Sadri Hassani, "Mathematical Physics", Springer-Verlag New York, 1999.
  • (EN) Albert Messiah, "Quantum Mechanics", Vol II, Wiley, 1966. Valido per un'analisi dettagliata della teoria perturbativa.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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