Regola della catena

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In analisi matematica, la regola della catena è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione composta di due funzioni derivabili.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione esterna, avente come argomento la funzione interna, per la derivata della funzione interna:

D[f(g(x))]  =  f'(g(x)) \cdot g'(x)

Le notazioni D[f(x)] e f'(x) indicano il medesimo significato di derivata.

La formula è valida anche per funzioni di più variabili reali e per funzioni vettoriali. Il teorema di derivazione delle funzioni composte afferma che se:

\mathbf x(t) = (x_1(t), x_2(t), \dots , x_n(t)) \quad t \in \R

è un vettore di \mathbb R^n le cui componenti sono funzioni derivabili:

\mathbf x'(t) = (x'_1(t), x'_2(t), \dots , x'_n(t))

e se f è una funzione differenziabile in \mathbf x(t), allora la funzione composta:

F(t) = f(\mathbf x(t))

è differenziabile nella variabile t e si ha:

F'(t) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f(\mathbf x(t))}{\partial x_i} x'_i(t) = (\nabla F (\mathbf x ), \mathbf x'(t))

dove \nabla è il gradiente di f e (,) è il prodotto scalare euclideo standard.

Ad esempio, se f è una funzione di due variabili composta dopo la funzione vettoriale (g, h), cioè f(g(t), h(t)), allora:

{\partial f \over \partial t}={\partial f \over \partial g}{dg \over dt}+{\partial f \over \partial h}{dh \over dt}

Inoltre, se \mathbf f e \mathbf g sono due funzioni vettoriali differenziabili componibili, allora:

J[(\mathbf f \circ \mathbf g)(x)]=J[\mathbf f(\mathbf g(x))] \cdot J[\mathbf g(x)]

dove \cdot è la moltiplicazione di matrici e J[\mathbf f(x)] è la matrice jacobiana di \mathbf f.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Sia, per non appesantire la notazione, \Delta g :=g(x+h)-g(x), da cui g(x+h)=g(x)+\Delta g. Definiamo ora

\omega (\Delta g) = \begin{cases} \frac{f(g(x)+ \Delta g) - f(g(x))}{\Delta g} - f'(g(x)) & \mbox{se } \Delta g \ne 0 \\ 0 & \mbox{se } \Delta g = 0 \end{cases}

È dunque

f(g(x)+ \Delta g) - f(g(x))= f'(g(x)) \cdot \Delta g + \omega (\Delta g) \cdot \Delta g.

Inoltre, per l'ipotesi di derivabilità di f, è

\lim_{\Delta g \to 0}\omega(\Delta g)=0.

Esaminiamo ora il rapporto incrementale di f(g(x)):

D[f(g(x))] = \lim_{h \to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(g(x) + \Delta g)-f(g(x))}{h}=
=\lim_{h \to 0}\frac{f'(g(x)) \cdot \Delta g + \omega (\Delta g) \cdot \Delta g}{h}.

Spezzando la frazione, abbiamo

\lim_{h \to 0}f'(g(x)) \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} + \lim_{h \to 0}\omega (\Delta g) \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}

E quindi passando al limite

D[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) + 0 \cdot g'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) cvd.

Dimostrazione con "o" piccolo[modifica | modifica sorgente]

Si considerino due funzioni f,g: [a,b]\to \mathbb{R} e la funzione composta H(x)=g\left(f(x)\right) allora è possibile scrivere i rapporti incrementali delle funzioni in questo modo:

  • f(x+h)-f(x) = f'(x)h+o_1(h) \
  • g(y+k)-g(y) = g'(y)k-o_2(k) \
  • H(x+h)-H(x) = \divideontimes h - o_3(h)

A questo punto si passa alla riscrittura di H(x+h)-H(x) tenendo conto che H(x)=g\left(f(x)\right) quindi si ha:

H(x+h)-H(x)=g(f(x+h))-g(f(x)) \

Si ricorda che f(x+h)=f(x) + f'(x)h+o_1(h) quindi si ha:

H(x+h)-H(x)=g(f(x) + f'(x)h+o_1(h))-g(f(x)) \

Da cui si opera una sostituzione f(x)=y ed k=f'(x)h+o_1(h) e si scrive:

H(x+h)-H(x)=g(y+k)-g(y)=g'(y)k-o_2(k)=g'(f(x))\cdot (f'(x)h+o_1(h))-o_2(k)=g'(f(x))f'(x)h + g'(f(x))o_1(h) - o_2(k)

Da qui chiamo \divideontimes=g'(f(x))f'(x) ed inoltre o_3(h)=g'(f(x))o_1(h) - o_2(k)

Il teorema è dimostrato

Osservazioni[modifica | modifica sorgente]

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot\frac{dg}{dx}

che è utile per fissare mnemonicamente il risultato (come se il dg si "semplificasse" nelle due frazioni), anche se ovviamente non costituisce una dimostrazione.

  • Applicando la formula iterativamente si può calcolare la derivata di una composizione di tre o più funzioni. Ad esempio:
D[(f \circ g \circ h)(x)]=f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)

e così via.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Sia f(x)=\log x - 3, g(x)=x^2+3x, h(x)={x \over 2}. Allora:

(f \circ g \circ h)(x) = \log\left[\left({x \over 2}\right)^2 + 3 {x \over 2}\right] - 3

e

D[(f \circ g \circ h)(x)]={1 \over ({x \over 2})^2 + 3 {x \over 2}}\cdot \left(2 {x \over 2} + 3\right) \cdot {1 \over 2}

Derivate successive[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Formula di Faà di Bruno.

L'estensione della formula al calcolo delle derivate successive si deve a Faà di Bruno. In particolare, se f, g possiedono tutte le derivate necessarie, allora risulta:


  \frac{d^2 f}{d x^2} 
  = \frac{d^2 f}{d g^2}\left(\frac{dg}{dx}\right)^2 
    + \frac{df}{dg}\frac{d^2 g}{dx^2}

  \frac{d^3 f}{d x^3} 
  = \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^3 
    + 3 \frac{d^2 f}{d g^2} \frac{dg}{dx} \frac{d^2 g}{d x^2}
    + \frac{df}{dg} \frac{d^3 g}{d x^3}

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica