Funzione armonica

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In analisi matematica, una funzione armonica è una funzione differenziabile fino al secondo ordine e soddisfacente l'equazione di Laplace.[1] L'insieme delle funzioni armoniche costituisce il nucleo dell'operatore di Laplace.

Nell'ambito della teoria del potenziale le funzioni armoniche sono spesso dette funzione potenziale o potenziale, e sono utilizzate in fisica e ingegneria ad esempio per ricondurre lo studio di un campo vettoriale in tre dimensioni al caso di un campo scalare in una dimensione. Una funzione armonica scalare viene in tale contesto detta potenziale scalare, mentre una funzione armonica vettoriale è chiamata potenziale vettore.

Le funzioni armoniche rivestono particolare importanza in analisi complessa, in quanto se una funzione armonica definita in un certo spazio viene trasformata con una mappa conforme in un altro spazio, allora tale trasformazione è armonica. Per tale ragione, ogni funzione definita con un potenziale può subire una trasformazione conforme, e rimane ancora vincolata ad un potenziale.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Una funzione f: U \to \mathbb R definita su un dominio U\subset \mathbb R^n si dice armonica se è di classe C^2 e soddisfa l'equazione di Laplace:[1]

\Delta f = 0 \quad \forall x \in U \

Ovvero:

\nabla^2 f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f(x) }{\partial x_i^2} = 0

Per la linearità dell'operatore di Laplace, la somma di due funzioni armoniche ed il prodotto di esse per uno scalare restituiscono un'altra funzione armonica.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

La funzione f(x,y) = e^{kx} \sin(ky), definita su un qualsiasi aperto di  \R^2 , è armonica. Infatti:

\frac{\partial f}{\partial x} = k e^{kx} \sin(ky) \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = k^2 \sin(ky) e^{kx}
\frac{\partial f}{\partial y} = k e^{kx} \cos(ky) \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -k^2 \sin(ky) e^{kx}

e la somma delle derivate parziali seconde è sempre nulla.

Proprietà del valor medio[modifica | modifica sorgente]

Ogni funzione armonica soddisfa la proprietà del valor medio. Si fissi un dominio U e sia f \in C^2(U) una funzione armonica. Si indichi \omega_n il volume della sfera unitaria in \mathbb R^n. Allora per ogni sfera chiusa di raggio R e centro y, denotata con B=B_R(y), vale la seguente uguaglianza:

f(y)=\frac{1}{n \omega_n R^{n-1}}\oint_{\partial B} f(x) ds

Inoltre, vale anche:

f(y)=\frac{1}{\omega_n R^n} \int_B f(x) dx

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Si fissi \rho\in (0,R). Applicando il teorema della divergenza al campo vettoriale \nabla f si ottiene:

 \oint_{\partial B_\rho} \frac{\partial f(x)}{\partial \nu} ds = \int_{B_\rho}\Delta f(x)dx=0

Passando dalle coordinate cartesiane (x,y) a quelle polari (r,\omega),, con:

r=|x-y| \qquad \omega=\frac{x-y}{r}

si ha f(x)=f(y+r\omega), e si verifica:

\oint_{\partial B_\rho} f(x) ds=\oint_{\partial B_\rho} f(y+r \omega) ds

Calcolando l'integrale della derivata normale di f e riscalando rispetto ad \omega si ottiene:

\oint_{\partial B_\rho} \frac{\partial f(y+r \omega)}{\partial \nu} ds = \rho^{n-1}\int_{|\omega|=1} \frac{\partial f(y+r\omega)}{\partial r} d\omega

ed è possibile scambiare derivata e integrale:

\rho^{n-1}\int_{|\omega|=1} \frac{\partial f(y+r\omega)}{\partial r} d\omega =\rho^{n-1}\frac{\partial}{\partial \rho} \int_{|\omega|=1} f(y+r\omega) d\omega

Considerando l'integrale di superficie:

\rho^{n-1}\frac{\partial}{\partial \rho} \int_{|\omega|=1} f(y+r\omega) d\omega =\rho^{n-1}\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho^{1-n} \oint_{\partial B_\rho} u(x) ds)

se ne deduce che per ogni \rho si ha:

\rho^{1-n} \int_{\partial B_\rho} f(x) ds= R^{1-n} \int_{\partial B_\rho} f(x) ds

e passando al limite per \rho \to 0 si ottiene la prima uguaglianza. La seconda si ottiene integrando rispetto a \rho.

Principio del massimo[modifica | modifica sorgente]

Il principio del massimo afferma che massimi e minimi stretti di una funzione armonica, se esistenti, vengono assunti al bordo. Più precisamente, si consideri f:U \to \mathbb R una funzione armonica, dove U è un dominio aperto di R^n. Si supponga che esista x_0 in U tale che f(x)\leq f(x_0) per ogni x \in U. Allora f è costante.

La dimostrazione usa la proprietà del valor medio. Sia M:=\sup f e si consideri l'insieme U_M:=f^{-1}(M). Per ipotesi, esso è non vuoto ed è chiuso in U per la continuità di f. Considerando la funzione f-M, essa è negativa ed armonica: si scelga una palla B_R(x_0)\subset U e si applichi la proprietà del valor medio a f-M. Si ottiene:

0=f(x_0)-M =\frac{1}{\omega_n R^n}\int_{B_R(x_0)} (f(x)-M) dx

Dato che l'integrando è negativo, l'uguaglianza è soddisfatta se e solo se f(x)=M nella palla B_R(x_0). Quindi B_R(x_0)\subset U_M, cioè U_M è aperto in U. Ne consegue U_M=U.

Armonicità delle funzioni complesse analitiche[modifica | modifica sorgente]

Nel caso di funzioni di variabile complessa, il concetto di funzione armonica entra come particolare teorema soddisfatto dalle funzioni analitiche. Sia infatti:

f(x+iy)=\omega(z)=u(x,y)+iv(x,y)

una funzione analitica. Allora sia la u(x,y) che la v(x,y) sono funzioni armoniche delle due variabili  x e  y :

\begin{cases}\frac {\partial^2 u(x,y)} {\partial x^2}+\frac {\partial^2 u(x,y)} {\partial y^2} = 0 \\ \frac {\partial^2 v(x,y)} {\partial x^2}+\frac {\partial^2 v(x,y)} {\partial y^2} = 0 \end{cases}

Infatti, è sufficiente calcolare le derivate seconde delle equazioni di Cauchy-Riemann e confrontarle, ricordando che:

u_x = v_y \qquad u_y = - v_x

si ha:

\begin{cases} u_{xx} = v_{yx} \\ u_{xy} = v_{yy} \\ u_{yx} = - v_{xx} \\ u_{yy} = - v_{xy} \end{cases}

Sommando la prima e l'ultima e la seconda e la terza ed utilizzando il teorema di Schwarz sull'invertibilità delle derivate parziali:

\begin{cases} u_{xx} + u_{yy} = 0 \\ v_{xx} + v_{yy} =0\end{cases}

Si ha così che date due funzioni u e v armoniche in un aperto D che soddisfano le condizioni di Cauchy-Riemann allora v è detta armonica coniugata di u, ma non è vero il contrario. Una conseguenza di questo teorema è che una funzione è analitica in un aperto D del piano complesso se e solo se v è l'armonica coniugata di u. Ciò significa che una funzione analitica può essere costruita a partire dall'assegnazione della sua parte reale u(x,y) e ricavando la sua parte immaginaria a meno di una costante.

Per un esempio di come calcolare l'armonica coniugata di una funzione u(x,y) si consideri la funzione u(x,y) = y^3 - 3 x^2 y. Questa funzione è armonica poiché:

u_{xx} + u_{yy} = -6y + 6y = 0

Volendo trovare l'armonica coniugata v(x,y), utilizzando le condizioni di Cauchy-Riemann u_x = v_y si ha:

u_{x} = - 6 x y = v_{y}

Si può integrare v_{y} mantenendo fissata la variabile x (considerandola come una costante):

v(x,y) = \int - 6 x y \, dy = - 3 x y^2 + \phi(x)

dove \phi(x) è una funzione arbitraria dipendente da x. Per utilizzare la condizione di Cauchy-Riemann u_y = - v_x si deriva v(x,y) ottenuta per integrazione rispetto a x:

v_x = - 3 y^2 + \phi^{'}(x)

e si calcola la derivata u_y dalla funzione di partenza:

u_y = 3 y^2 - 3 x^2

Uguagliando si ricava il valore di \phi (x):

3 y^2 - 3 x^2 = 3 y^2 - \phi^{'} (x) \; \rightarrow \; \phi^{'} (x) = 3 x^2

dalla quale per integrazione:

\phi (x) = x^3 + C

dove C è la costante di integrazione. Si ha dunque:

v(x,y) = - 3 x y^2 + x^3 + C

cioè si è ricavata l'armonica coniugata di u(x,y) a meno di una costante C.In tal modo la funzione:

f(z) = u(x,y) + i v(x,y) = (y^3 - 3 x^2 y) + i (x^3 - 3 x y^2 + C)

è una funzione analitica uguale a f(z) = i (z^3 + C).

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b Evans, op. cit., Pag. 20

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998, ISBN 0821807722.
  • (EN) W. E. Byerly Harmonic functions, John Wiley & Sons, New York, 1906.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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