Teoria del potenziale

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L'oggetto della teoria del potenziale è la matematica dell'equilibrio.

Poiché nei problemi di equilibrio di un mezzo omogeneo ci si imbatte regolarmente nelle funzioni armoniche, la teoria del potenziale si occupa sostanzialmente dello studio di queste ultime funzioni. Un esempio classico è quello dell'equilibrio statico di una membrana elastica stabilmente fissata su una cornice chiusa, rigida, fissa, e di forma qualsiasi. In condizioni di equilibrio, l'altezza della membrana in ogni punto è una funzione di due variabili reali che gode della proprietà del valor medio, cioè è una funzione armonica.

Altro esempio è fornito dal problema dell'equilibrio termico di un corpo omogeneo: se la temperatura ha raggiunto l'equilibrio, allora, centrata una sfera su un punto P a temperatura T, la temperatura media sulla superficie della sfera deve essere uguale a T: nel caso fosse superiore, la temperatura in P aumenterebbe per effetto di un flusso termico entrante, mentre diminuirebbe nel caso inverso per effetto di un flusso in uscita.

Ricerche compiute nel corso degli anni trenta del XX secolo da Kurt Otto Friedrichs, Richard Courant e Hans Lewy, avevano adombrato l'esistenza di un insospettato e profondo collegamento con il moto browniano: l'ipotesi che la teoria del potenziale trovasse la sua del controparte probabilistica nella teoria del moto browniano è stata compiutamente enucleata a partire dagli anni cinquanta, grazie al lavoro di una schiera di matematici, tra cui Shizuo Kakutani, Kiyoshi Itō, Mark Kac, Joseph Leo Doob, Eugene Dynkin.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La terminologia è nata nell'ambito della fisica classica del XIX secolo, quando si pensava che tutte le forze fondamentali della natura derivassero da potenziali che soddisfacessero all'equazione di Laplace. La teoria del potenziale, in quel contesto culturale, era quindi lo studio delle funzioni che potevano rappresentare matematicamente dei potenziali.

Attualmente, si sa che le forze fisiche agiscono in modo diverso: le leggi che le descrivono sono sistemi non lineari di equazioni differenziali alle derivate parziali, come è il caso delle equazioni di Einstein e delle equazioni di Yang-Mills, mentre l'equazione di Laplace rimane valida solo come caso limite.

'Teoria del potenziale' e 'teoria dell'equazione di Laplace': distinzioni[modifica | modifica sorgente]

Esiste, tuttavia, una considerevole sovrapposizione tra la teoria del potenziale e la teoria dell'equazione di Laplace. Nella misura in cui è possibile delineare una linea di confine tra i due campi, la differenza sta più nell'enfasi che sui soggetti di studio, e riposa sulle seguenti distinzioni: la teoria del potenziale si focalizza sulle proprietà delle funzioni armoniche piuttosto che sulle proprietà dell'equazione di Laplace. Per fare un esempio, un risultato sulle singolarità delle funzioni armoniche sarà considerato come appartenente alla teoria del potenziale, mentre un risultato sulla dipendenza della soluzione di un problema dalle condizioni al contorno sarà detto appartenere alla teoria dell'equazione di Laplace. Tuttavia, una simile distinzione non è né immediata né concreta e, nella pratica, permane una notevole sovrapposizione tra i due campi di studio, permettendo che risultati e metodi dell'uno possano essere usati nell'altro.

Simmetria[modifica | modifica sorgente]

Utile punto di partenza, e principio ordinatore nello studio delle funzioni armoniche, è la considerazione delle simmetrie nell'equazione di Laplace. Sebbene non si tratti esattamente di una simmetria nel senso comune del termine, si può partire con l'osservazione che l'equazione di Laplace è lineare. Questo implica che l'oggetto fondamentale di studio nella teoria del potenziale è uno spazio funzionale dotato della struttura di spazio vettoriale. Questa implicazione si dimostrerà particolarmente importante quando, più oltre, si mostrerà un approccio funzionale all'argomento.

Ritornando invece alla simmetria nel senso più usuale del termine, possiamo partire dal teorema per cui le simmetrie di un'equazione di Laplace n-dimensionale sono precisamente le simmetrie conformi di uno spazio euclideo n-dimensionale. Questo fatto ha numerose implicazioni: prima di tutto, si possono considerare funzioni armoniche che trasformano sotto rappresentazioni irriducibili del gruppo conforme o di suoi sottogruppi (come il gruppo delle rotazioni o delle traslazioni). Procedendo in questo modo, si ottengono sistematicamente le soluzioni dell'equazione di Laplace che vengono fuori dalla separazione delle variabili come le soluzioni armoniche sferiche e le serie di Fourier. Prendendo sovrapposizioni lineari di queste soluzioni particolari, si può generare una larga classe di funzioni armoniche che, considerando opportune topologie, costituiscono un sottoinsieme denso nello spazio di tutte le funzioni armoniche.

Caso bidimensionale e caso in più di due dimensioni[modifica | modifica sorgente]

Dal fatto che il gruppo delle trasformazioni conformi ha dimensione infinita nel caso bidimensionale e dimensione finita in più di due dimensioni, si può congetturare che la teoria del potenziale in due dimensioni sia ben diversa da quella in altre dimensioni. Questo è quello che si verifica e, difatti, se si pensa che ogni funzione armonica in due dimensioni è la parte reale di una funzione analitica complessa, si comprende come l'oggetto della teoria del potenziale in due dimensioni sia sostanzialmente lo stesso dell'analisi complessa. Per questo motivo, quando si parla di teoria del potenziale, si concentra l'attenzione su teoremi che valgono in tre o più dimensioni. In relazione a ciò, risulta un fatto sorprendente che molti risultati e concetti scoperti o utilizzati in origine all'analisi complessa (come il Lemma di Schwarz, il teorema di Morera, il teorema di Casorati-Weierstrass, le serie di Laurent, e la classificazione della singolarità come eliminabili, poli e essenziale) si generalizzano in risultati e concetti riguardanti le funzioni in dimensione qualsiasi. Considerando quali teoremi dell'analisi complessa sono casi particolari di risultati della teoria del potenziale in dimensioni qualsiasi, si può avere la sensazione esatta di cosa sia specifico dell'analisi complessa in due dimensione e cosa sia invece semplicemente la conseguenza in due dimensioni di risultati più generali.

Comportamento locale[modifica | modifica sorgente]

Un argomento importante della teoria è lo studio del comportamento locale delle funzioni armoniche.

Forse il teorema più fondamentale sul comportamento locale è il teorema di regolarità per l'equazione di Laplace, che stabilisce l'analiticità di tutte le funzioni armoniche.

Vi sono risultati che descrivono la struttura locale delle curve di livello delle funzioni armoniche. Vi è il teorema di Bôcher che caratterizza il comportamento delle singolarità isolate delle funzioni armoniche positive. Come già accennato in una precedente sezione, si possono classificare le singolarità isolate delle funzioni armoniche come eliminabili, poli e essenziale.

Disuguaglianze[modifica | modifica sorgente]

Un approccio fruttuoso allo studio delle funzioni armoniche è la considerazione delle disuguaglianze che esse soddisfano. Forse la più basilare di queste disuguaglianze, dalla quale molte altre disuguaglianze possono essere derivate, è il principio del massimo, secondo cui una funzione armonica può assumere valori estremali forti (massimi o minimi stretti) solo sul bordo. Un altro risultato importante è il teorema di Liouville, secondo cui le uniche funzioni armoniche limitate, definite sull'intero Rn, sono, nei fatti, le funzioni costanti. Oltre a queste diseguaglianze di base, si ha la disuguaglianza di Harnack, secondo cui funzioni armoniche positive, definite su domini limitati, sono approssimativamente costanti.

Un'applicazione importante di queste disuguaglianze è provare la convergenza di una successione di famiglie di funzioni armoniche o sub-armoniche (si veda il teorema di Harnack). Questi teoremi di convergenza, possono spesso essere usati per dimostrare l'esistenza di funzioni armoniche che godono di particolari proprietà.

Spazi di funzioni armoniche[modifica | modifica sorgente]

Poiché l'equazione di Laplace è lineare, all'insieme delle funzioni armoniche definite su un dato dominio può essere definita la struttura algebrica di spazio vettoriale. Definendovi un'opportuna norma o anche un opportuno prodotto interno, si possono avere insiemi di funzioni armoniche che formano spazi di Hilbert o spazi di Banach. Procedendo in questo modo, si ottengono spazi come lo spazio di Hardy, lo spazio di Bloch e lo spazio di Bergman.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]