Potenziale vettore

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In calcolo vettoriale il potenziale vettore è un campo vettoriale il cui rotore è un dato campo vettoriale. È l'analogo del potenziale scalare, che è un campo scalare il cui gradiente è un dato campo vettoriale.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Dato un campo vettoriale \boldsymbol \alpha : \boldsymbol \Omega_2 \subseteq \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, il potenziale vettore di \boldsymbol \alpha è un campo \boldsymbol \beta_2 : \boldsymbol \Omega_2 \subseteq \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} definito formalmente dalla relazione

\boldsymbol \alpha = \nabla \times \boldsymbol \beta_2

ovvero \boldsymbol \alpha è il rotore di \boldsymbol \beta_2.

Poiché la divergenza di un rotore è nulla, α deve avere divergenza nulla, cioè:

\nabla \cdot \boldsymbol \alpha = 0

Esplicitando le componenti del rotore di \boldsymbol \beta_2 si ottiene il seguente sistema di 3 funzioni a 3 variabili con, quindi, 9 gradi di libertà:


\left\{\begin{matrix} 
       \frac{\partial \beta_{2 z}}{\partial y} - \frac{\partial \beta_{2 y}}{\partial z} = \alpha_x \\ 
       \frac{\partial \beta_{2 x}}{\partial z} - \frac{\partial \beta_{2 z}}{\partial x} = \alpha_y \\ 
       \frac{\partial \beta_{2 y}}{\partial x} - \frac{\partial \beta_{2 x}}{\partial y} = \alpha_z
\end{matrix}\right.

dove \alpha_x, \alpha_y, \alpha_z sono le tre componenti del campo.

Un ulteriore metodo di calcolo del potenziale vettore si può ottenere applicando il teorema del rotore. Con un'opportuna scelta della superficie aperta, la cui traccia è [S], il flusso del campo è uguale al flusso del rotore

\int_S \boldsymbol \alpha \cdot \ \operatorname d \boldsymbol s = \int_{S} (\nabla \times \boldsymbol \beta_2) \cdot \operatorname d \boldsymbol s = \oint_{\partial S} \boldsymbol \beta_2 \cdot \operatorname d \boldsymbol r

dove l'ultima uguaglianza è dovuta al fatto che, per la definizione del potenziale, il flusso è uguale alla circuitazione di \boldsymbol \beta lungo la frontiera.

Il potenziale vettore di un campo è definito a meno di un gradiente poiché il rotore del gradiente è sempre nullo.
Sia \boldsymbol \beta_2 + \nabla \beta_1, dove \boldsymbol \beta_2 è un potenziale vettore di α e \beta_1 è un potenziale scalare della seconda classe di continuità. Applicando la definizione:

\nabla \times (\boldsymbol \beta_2 + \nabla \beta_1) = \nabla  \times \boldsymbol \beta_2 + \nabla \times \nabla \beta_1 = \boldsymbol \alpha

Si evince come \nabla \beta_1 non influisca sulla definizione del potenziale vettore. Quest'ultima trasformazione è un esempio di Invarianza di gauge.

Il potenziale magnetico[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Potenziale magnetico.

Il potenziale vettore del campo magnetico, indicato solitamente con A, è un campo vettoriale tale che il vettore campo magnetico B sia uguale al rotore di A:[1]

\mathbf B_0(x,y,z) = \mathbf \nabla \times \mathbf A_0(x,y,z)

Il potenziale vettore è determinato a meno del gradiente di una funzione arbitraria V (Trasformazione di Gauge). Infatti il rotore di un gradiente è identicamente nullo:

\mathbf \nabla \times (\mathbf A_0 + \mathbf \nabla V) = \mathbf \nabla \times \mathbf A_0

Applicando il rotore all'equazione del potenziale vettore si ottiene, sapendo che la divergenza di un campo solenoidale è nulla:

\mathbf \nabla \times \mathbf B_0 = \mathbf \nabla \times \mathbf \nabla \times \mathbf A_0 = \mathbf \nabla (\mathbf \nabla \cdot \mathbf A_0) - \mathbf \nabla^2 \mathbf A_0 = - \mathbf \nabla^2 \mathbf A_0

e ricordando la Legge di Ampere si ha che:

\mathbf \nabla \times \mathbf B_0 = - \mathbf \nabla^2 \mathbf A_0 = \mu_0 \rho_E \mathbf v.

Questo implica che le componenti di \mathbf A_0 verificano l'equazione di Poisson:[2]

\begin{cases} \nabla^2 A_{0x} = - \mu_0 \rho_E v_x \\ \nabla^2 A_{0y} = - \mu_0 \rho_E v_y \\ \nabla^2 A_{0z} = - \mu_0 \rho_E v_z \end{cases}

La soluzione dell'equazione esiste ed è unica:[3]

\mathbf A_0 (\mathbf r) = \frac {\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \frac {\rho_E \mathbf v(\mathbf r')}{|\Delta \mathbf r|} dV'

In particolare, per circuiti filiformi:

\mathbf A_0 (\mathbf r) = \frac {\mu_0}{4\pi} I \int_{l'} \frac {d\mathbf l'}{|\Delta \mathbf r|}.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 273
  2. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 274
  3. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 260

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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