Potenziale vettore

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Dato un campo vettoriale $\vec F : D \subseteq \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}$ , un potenziale vettore (o potenziale vettoriale) di $\vec F$ è un campo $\vec G : D \subseteq \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}$ definito formalmente dalla relazione

$\vec F = \vec\nabla \times \vec G$

ovvero $\vec F$ è il rotore di $\vec G$ .

Poiché la divergenza di un rotore è nulla, F deve avere divergenza nulla ( $\nabla \cdot \vec F = 0$ ).

Esplicitando le componenti del rotore di G si ottiene il seguente sistema di 3 funzioni a 3 variabili con, quindi, 9 gradi di libertà:

$\left\{\begin{matrix} \frac{\partial G_3}{\partial y} - \frac{\partial G_2}{\partial z} = F_1 \\ \frac{\partial G_1}{\partial z} - \frac{\partial G_3}{\partial x} = F_2 \\ \frac{\partial G_2}{\partial x} - \frac{\partial G_1}{\partial y} = F_3 \end{matrix}\right.$

dove $F_1, F_2, F_3 \,\!$ sono le tre componenti del campo.

Un ulteriore metodo di calcolo (alquanto laborioso) del potenziale vettore si può ottenere applicando il teorema del rotore. Con un'opportuna scelta della superficie aperta (la cui traccia è [S]), il flusso del campo è uguale al flusso del rotore ( $\iint_{[S]} \vec F \cdot \hat N \ ds = \iint_{[S]} (\nabla \times \vec G) \cdot \hat N \ ds$ ) e - per la definizione del potenziale - è proprio uguale alla circuitazione di $\vec G$ lungo la frontiera di [S] ( $\oint_{+C} \vec G \cdot \hat T \ ds$ ).

Il potenziale vettore di un campo è definito a meno di un gradiente di una funzione poiché il rotore del gradiente è sempre nullo. Sia $\vec G + \nabla \Phi$ (G è un potenziale vettore di F e $Φ$ è derivabile due volte). Applicando la definizione, $\nabla \times (\vec G + \nabla \Phi) = \nabla \times \vec G + \nabla \times (\nabla \Phi) = F$ , si evince come il gradiente di $Φ$ non influisca sulla definizione del potenziale.