Campo vettoriale solenoidale

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Nel calcolo vettoriale un campo vettoriale \mathbf{V} continuo in un insieme aperto A \subset \mathbb{R}^3 si definisce solenoidale se il flusso attraverso una qualsiasi superficie chiusa S \subseteq A è nullo:

\int_S \mathbf{V} \cdot \hat{n} \, \mathrm{d}\sigma = 0.

Equivalentemente si può affermare che il campo vettoriale \mathbf{V} è solenoidale se il flusso di \mathbf{V} attraverso una qualsiasi superficie S \subseteq A dipende solo dal bordo della superficie.

Il nome deriva dal fatto che i solenoidi sono delle bobine di fili arrotolate che quando vengono percorse da corrente creano un campo magnetico solenoidale; nel caso della fluidodinamica il movimento di un fluido in un anello chiuso genera un campo solenoidale.

Spesso si definisce erroneamente solenoidale un campo vettoriale la cui divergenza sia uguale a zero in tutto il dominio. In questo caso si dovrebbe dire piuttosto che il campo è indivergente. Si dimostra che se un campo vettoriale di classe C^1 in un aperto A \subset \mathbb{R}^3 è solenoidale allora è anche indivergente ma non sussiste l'implicazione inversa. Infatti basta pensare al campo elettrico generato da una carica puntiforme Q posta nell'origine del sistema di assi coordinati: il campo è indivergente in tutto il suo dominio (che è \mathbb{R}^3 - \{\mathbf{0}\}) ma il suo flusso attraverso una qualsiasi superficie chiusa contenente la carica, per il teorema di Gauss, è uguale a Q / \varepsilon_0. Affinché un campo indivergente sia solenoidale si deve aggiungere l'ipotesi che il dominio in cui esso è definito sia a connessione superficiale semplice.

Una proprietà del campo vettoriale solenoidale è quella di avere le linee di campo chiuse. Inoltre, poiché la divergenza del campo è nulla, è possibile definire un potenziale vettore \mathbf{A}, il cui rotore sia appunto il campo. In formule

\nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{V}

L'operazione è permessa dal fatto che la divergenza di un rotore è sempre nulla.

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