Campo vettoriale solenoidale

Nel calcolo vettoriale un campo vettoriale $\mathbf{V}$ continuo in un insieme aperto $A \subset \mathbb{R}^3$ si definisce solenoidale se il flusso attraverso una qualsiasi superficie chiusa $S \subseteq A$ è nullo:

$\int_S \mathbf{V} \cdot \hat{n} \, \mathrm{d}\sigma = 0.$

Equivalentemente si può affermare che il campo vettoriale $\mathbf{V}$ è solenoidale se il flusso di $\mathbf{V}$ attraverso una qualsiasi superficie $S \subseteq A$ dipende solo dal bordo della superficie.

Il nome deriva dal fatto che i solenoidi sono delle bobine di fili arrotolate che quando vengono percorse da corrente creano un campo magnetico solenoidale; nel caso della fluidodinamica il movimento di un fluido in un anello chiuso genera un campo solenoidale.

Spesso si definisce erroneamente solenoidale un campo vettoriale la cui divergenza sia uguale a zero in tutto il dominio. In questo caso si dovrebbe dire piuttosto che il campo è indivergente. Si dimostra che se un campo vettoriale di classe $C^1$ in un aperto $A \subset \mathbb{R}^3$ è solenoidale allora è anche indivergente ma non sussiste l'implicazione inversa. Infatti basta pensare al campo campo elettrico generato da una carica puntiforme $Q$ posta nell'origine del sistema di assi coordinati: il campo è indivergente in tutto il suo dominio (che è $\mathbb{R}^3 - \{\mathbf{0}\}$) ma il suo flusso attraverso una qualsiasi superficie chiusa contenente la carica, per il teorema di Gauss, è uguale a $Q / \epsilon_0$. Affinché un campo indivergente sia solenoidale si deve aggiungere l'ipotesi che il dominio in cui esso è definito sia a connessione superficiale semplice.

Una proprietà del campo vettoriale solenoidale è quella di avere le linee di campo chiuse. Inoltre, poiché la divergenza del campo è nulla, è possibile definire un potenziale vettore $\mathbf{A}$, il cui rotore sia appunto il campo. In formule

$\nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{V}$

L'operazione è permessa dal fatto che la divergenza di un rotore è sempre nulla.

Voci correlate

• Campo vettoriale
• Campo vettoriale conservativo
• Campo elettromagnetico

Collegamenti esterni

• Note sulla teoria dei campi e del potenziale. URL consultato il 11-04-2010.
• Campi vettoriali conservativi e solenoidali. URL consultato il 19-11-2009.

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