Campo elettromagnetico

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In fisica il campo elettromagnetico è un campo tensoriale responsabile dell'interazione elettromagnetica, una delle quattro interazioni fondamentali.

È costituito dalla combinazione del campo elettrico e del campo magnetico, è generato localmente da qualunque distribuzione di carica elettrica variabile nel tempo e si propaga sotto forma di onde elettromagnetiche.[1]

Generalità[modifica | modifica sorgente]

Il campo elettrico è generato nello spazio dalla presenza di carica, mentre il campo magnetico è generato dalla presenza di carica in moto; inoltre la variazione di un campo determina la presenza dell'altro. Le equazioni di Maxwell, insieme alla forza di Lorentz, definiscono formalmente tale relazione e caratterizzano l'interazione del campo elettromagnetico con oggetti carichi.

L'introduzione di un campo, in particolare di un campo di forze, è un modo per descrivere l'interazione reciproca tra cariche, che nel vuoto avviene alla velocità della luce. Nella teoria classica dell'elettromagnetismo tale interazione viene considerata istantanea, dal momento che la velocità della luce è approssimativamente di 300000 chilometri al secondo, mentre nella trattazione relativistica si tiene conto del fatto che tale velocità è finita e la forza tra cariche si manifesta dopo un certo tempo: in tale contesto è corretto affermare che una carica interagisce solamente con il campo e questo interagisce solo successivamente su un'eventuale seconda carica posta nelle vicinanze.[2] Se si considera infine anche il ruolo dello spin delle particelle cariche si entra nell'ambito di competenza dell'elettrodinamica quantistica.

Il campo[modifica | modifica sorgente]

Il campo elettromagnetico interagisce nello spazio con cariche elettriche e può manifestarsi anche in assenza di esse, trattandosi di un'entità fisica che può essere definita indipendentemente dalle sorgenti che l'hanno generata. In assenza di sorgenti il campo elettromagnetico è detto onda elettromagnetica,[3] essendo un fenomeno ondulatorio che non richiede di alcun supporto materiale per diffondersi nello spazio e che nel vuoto viaggia alla velocità della luce. Secondo il modello standard, il quanto della radiazione elettromagnetica è il fotone, mediatore dell'interazione elettromagnetica.

Il campo è dato dalla combinazione del campo elettrico \mathbf E e del campo magnetico \mathbf B, solitamente descritti con vettori in uno spazio a tre dimensioni: il campo elettrico è un campo di forze conservativo generato nello spazio dalla presenza di cariche elettriche stazionarie, mentre il campo magnetico è un campo vettoriale non conservativo generato da cariche in moto. Inoltre, la variazione temporale di uno dei due campi determina il manifestarsi dell'altro: campo elettrico e campo magnetico sono caratterizzati da una stretta connessione, stabilita dalle quattro equazioni di Maxwell. Le equazioni di Maxwell, insieme alla forza di Lorentz, definiscono formalmente il campo elettromagnetico e ne caratterizzano l'interazione con oggetti carichi. Le prime due equazioni di Maxwell sono omogenee e valgono sia nel vuoto che nei mezzi materiali:

\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} =  0

Esse rappresentano in forma differenziale, cioè valida localmente, la Legge di Faraday e la Legge di Gauss per il campo magnetico. Le altre due equazioni descrivono il modo con cui il materiale in cui avviene la propagazione interagisce, polarizzandosi, con il campo elettrico e magnetico, che nella materia sono denotati con \mathbf D e \mathbf H. Esse mostrano in forma locale la Legge di Gauss elettrica e la Legge di Ampère-Maxwell:

\nabla \cdot \mathbf{D}  = \rho \qquad \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf J + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}\

dove la densità di carica \rho e la densità di corrente \mathbf J sono dette sorgenti del campo.

La forza di Lorentz è la forza \mathbf{F} che il campo elettromagnetico genera su una carica q puntiforme:

\mathbf{F} = q ( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} )

dove \mathbf{v} è la velocità della carica.

Le equazioni di Maxwell sono formulate anche in elettrodinamica quantistica, dove il campo elettromagnetico viene quantizzato. Nell'ambito della meccanica relativistica, i campi sono descritti dalla teoria dell'elettrodinamica classica in forma covariante, cioè invariante sotto trasformazione di Lorentz. Nell'ambito della teoria della Relatività il campo elettromagnetico è rappresentato dal tensore elettromagnetico, un tensore a due indici di cui i vettori campo elettrico e magnetico sono particolari componenti.

Descrizione a partire dai potenziali[modifica | modifica sorgente]

L'elettrodinamica studia il campo elettromagnetico, che nel caso più generale è generato da una distribuzione di carica elettrica e corrente elettrica, tenendo conto dei principi della teoria della relatività, che nella teoria classica dell'elettromagnetismo vengono trascurati.

Gli effetti generati dal comportamento dinamico di cariche e correnti furono studiati da Pierre Simon Laplace, Michael Faraday, Heinrich Lenz e molti altri già dagli inizi dell'ottocento, tuttavia uno studio coerente e logicamente completo dei fenomeni elettromagnetici può essere effettuato solamente a partire dalla teoria della relatività. L'elettrodinamica classica utilizza il formalismo dei tensori e dei quadrivettori per scrivere le equazioni di Maxwell in forma covariante per le trasformazioni di Lorentz, introducendo un quadripotenziale che estende i potenziali scalare e vettore del caso stazionario: in questo modo cariche e correnti elettriche vengono descritte dal quadrivettore densità di corrente  j^\mu dove la parte temporale del quadrivettore è data dalla densità di carica, moltiplicata per la velocità della luce c, e la parte spaziale dalla densità di corrente elettrica.

Il quadripotenziale A^{\mu} che descrive il campo elettromagnetico è costituito da una parte spaziale data dal potenziale vettore \mathbf A, relativo al campo magnetico, e una parte temporale data dal potenziale scalare \psi del campo elettrico:

A^ \nu =\left( \frac{\psi}{c}, \mathbf A \right)=\left( \frac{\psi}{c}, A_x, A_y, A_z  \right)

A partire dal quadripotenziale si possono definire i campi nel seguente modo:[4]

\mathbf E = - \mathbf \nabla \psi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}
\mathbf B = \mathbf \nabla \times \mathbf A

Inserendo tali espressioni nelle equazioni di Maxwell, la legge di Faraday e la legge di Gauss magnetica si riducono ad identità, mentre le restanti due equazioni assumono la forma:

\nabla^2 \psi + \frac{\partial}{\partial t} \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A \right ) = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}
\left ( \nabla^2 \mathbf A - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} \right ) - \mathbf \nabla \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \psi}{\partial t} \right ) = - \mu_0 \mathbf J

Tali espressioni sono equivalenti alle equazioni di Maxwell.[5]

Teoria di gauge[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teoria di gauge.

All'interno delle equazioni di Maxwell ogni grado di libertà in una data configurazione del campo elettromagnetico ha un proprio effetto misurabile sul moto di eventuali cariche di prova poste nelle vicinanze. Tuttavia, esse sono caratterizzate dal fatto che l'espressione dei campi rimane invariata se i potenziali subiscono la seguente trasformazione:

\mathbf A' = \mathbf A + \mathbf \nabla \lambda \qquad \psi' = \psi- \frac{\partial \lambda}{\partial t}

Le espressioni dei potenziali si possono quindi modificare in modo tale da lasciare inalterata l'espressione dei campi che ne risulta. Infatti, in seguito alla trasformazione \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}+\nabla\lambda il campo \mathbf B rimane invariato:

{\mathbf B} = \nabla\times ({\mathbf A}+ \nabla \lambda) = \nabla\times{\mathbf A}

mentre \mathbf E si modifica in modo tale che:

{\mathbf E} = -\nabla\psi - \frac{\partial{\mathbf A}}{\partial t} - \nabla \frac{\partial{\lambda}}{\partial t} = -\nabla \left( \psi + \frac{\partial{\lambda}}{\partial t}\right) - \frac{\partial{\mathbf A}}{\partial t}.

Se si effettua quindi l'ulteriore trasformazione \psi \rightarrow \psi- \frac{\partial{\lambda}}{\partial t} anche il campo \mathbf E rimane lo stesso.

Una particolare scelta del potenziale scalare o del potenziale vettore è un potenziale di gauge, ed una funzione scalare utilizzata per cambiare il gauge è detta funzione di gauge. Tale arbitrarietà, intrinseca nella definizione, consente ai potenziali di soddisfare un'ulteriore condizione, che determina la scelta del gauge. I gauge più frequentemente utilizzati sono il Gauge di Coulomb ed il Gauge di Lorenz.

Gauge di Coulomb[modifica | modifica sorgente]

Il gauge di Coulomb, detto anche gauge trasversale o gauge di radiazione, è scelto in modo tale che:[6]

\mathbf \nabla \cdot \mathbf A = 0

che corrisponde al caso magnetistatico. In termini di \lambda deve pertanto soddisfare la relazione:

\nabla^2 \lambda = - \mathbf \nabla \cdot \mathbf A

e le equazioni Maxwell nel gauge di Coulomb sono scritte nel seguente modo:

\nabla^2 \psi' = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \qquad \nabla^2 \mathbf A' - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf A'}{\partial t^2} = - \mu_0 \mathbf J + \mu_0 \varepsilon_0 \nabla \left ( \frac{\partial \psi'}{\partial t} \right )

dove si nota che il potenziale scalare soddisfa l'equazione di Poisson, la cui soluzione è:

 \psi (\mathbf x, t)= \frac {1}{4\pi \varepsilon_0} \int \frac {\rho (\mathbf x', t)} {|\mathbf x - \mathbf x'|} d^3 x'

mentre la soluzione per il potenziale vettore diventa più difficoltosa, e necessita la scomposizione del vettore densità di corrente in parte trasversale e longitudinale.

Gauge di Lorenz[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Gauge di Lorenz.

La condizione imposta nel gauge di Lorenz è detta condizione di Lorenz, e si scrive nel seguente modo:[5]

\partial_\nu A^{\nu} = \nabla\cdot{\mathbf A'} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial\psi'}{\partial t} = 0

Ovvero, \lambda deve soddisfare l'equazione:

\nabla^2 \lambda - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \lambda }{\partial t^2}= - \mathbf \nabla \cdot \mathbf A - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \psi}{\partial t}.

La condizione di Lorenz consente di imporre ai potenziali che la soddisfano un ulteriore vincolo, detto trasformazione di Gauge ristretta:

\mathbf A' = \mathbf A + \mathbf \nabla \lambda \qquad \psi' = \psi- \frac{\partial \lambda}{\partial t} \qquad \nabla^2 \lambda - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \lambda }{\partial t^2}= 0

ed i potenziali che godono di tale invarianza appartengono al Gauge di Lorenz.

La condizione di Lorenz permette inoltre di disaccoppiare le equazioni Maxwell scritte in termini dei potenziali, ottenendo l'equazione d'onda:

\nabla^2 \mathbf A' - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf A'}{\partial t^2} = \Box^2 \mathbf A' = - \mu_0 \mathbf J
\nabla^2 \psi' - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \psi'}{\partial t^2} = \Box^2 \psi' = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}

dove \Box^2 è l'operatore di d'Alembert. L'equazione generale alla quale obbedisce il quadripotenziale ha la forma:

\Box A^\mu = \partial^\lambda \partial_\lambda A^\mu= -\mu_0 j^\mu

Tale relazione costituisce un modo per esprimere le equazioni di Maxwell in forma covariante.[7][8] Esplicitando inoltre l'operatore differenziale d'Alembertiano si ha:

\frac{\partial^2 A^\mu}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 A^\mu}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 A^\mu}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 A^\mu}{\partial t^2}=-\mu_0 j^\mu

dove la quadridensità di corrente è

j^ \nu=\left( {\rho}{c}, \mathbf J \right)=\left({\rho}{c}, J_x, J_y, J_z  \right)

Per la linearità dell'equazione, le possibili soluzioni per il quadripotenziale sono la somma delle possibili soluzioni dell'equazione omogenea più una soluzione particolare che non rientra in quelle precedenti, e che dà origine alla forma dei potenziali ritardati.

Descrizione covariante[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Principio variazionale di Hamilton, Azione (fisica) e Lagrangiana .

La descrizione covariante del campo elettromagnetico nel vuoto viene svolta nell'ambito del gauge di Lorenz. La condizione di Lorenz garantisce che tale descrizione abbia la proprietà di essere Lorentz invariante, ovvero invariante rispetto ad una trasformazione di Lorentz, e di rispettare i gradi di libertà forniti dalle trasformazioni di gauge.

Si consideri una carica in moto in un campo elettromagnetico. Dai postulati della relatività ristretta segue che l'azione \mathcal S per la carica è uno scalare di Lorentz, in accordo con il principio variazionale di Hamilton secondo il quale si deve verificare che \delta \mathcal S = 0. L'azione è data da:

\mathcal{S}=\int \mathcal L dt = \int \gamma \mathcal L d \tau

dove \mathcal L è la lagrangiana. La quantità \gamma \mathcal L deve essere quindi invariante. La lagrangiana \mathcal L_{free} per una particella libera ha la forma:[9]

\mathcal L_{free} = -mc^2 \sqrt {1 - \frac{u^2}{c^2}} =  -mc^2 \sqrt {1 - \beta^2}

Tale espressione è motivata dal fatto che la lagrangiana non deve dipendere dalla posizione: l'unica possibile quantità invariante è allora u_\alpha u^\alpha = c^2, dove u^\alpha è la quadrivelocità. In questo modo la lagrangiana risulta proporzionale a \gamma^{-1} = \sqrt {1 - \beta^2}, e dalle equazioni di Eulero-Lagrange si verifica che la corrispondente equazione del moto è:[10]

\frac{d}{dt}(\gamma m \mathbf u) = 0

In presenza di un campo elettromagnetico la lagrangiana di interazione \mathcal L_{int} per una particella carica e ha la forma:

\mathcal L_{int} = - \frac{e}{\gamma c} u_\alpha A^\alpha =  - e\phi + \frac{e}{c}\mathbf{u}\cdot\mathbf{A}

dove si osserva che nel limite non relativistico essa si riduce all'energia potenziale di interazione  e\phi tra la carica ed il campo, con \phi la componente temporale del quadripotenziale A^\alpha: la richiesta di invarianza sotto traslazione conduce inoltre alla scelta del vettore u^\alpha da moltiplicare scalarmente con A^\alpha per ottenere una quantità invariante.[11] L'espressione della lagrangiana di interazione è tuttavia motivata anche da osservazioni sperimentali, e si può giustificare imponendo che \gamma \mathcal L_{int} sia una funzione la cui derivata di grado massimo sia la derivata temporale prima delle coordinate, che sia invariante sotto traslazione e che sia lineare rispetto a potenziale e carica.[10]

In presenza di campo l'azione \mathcal{S} è così definita come l'integrale della lagrangiana totale \mathcal L = \mathcal L_{free} + \mathcal L_{int} nel tempo tra gli istanti iniziale e finale dell'evoluzione del sistema. In notazione relativistica si può sfruttare l'intervallo spaziotemporale (scalare) ds=\sqrt{x_i x^i}, dove x^i è la posizione, e dal momento che ds = c d \tau = c dt / \gamma, si ha:[12]

\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L dt = \int_a^b \left( -mc ds - {e \over c}A_i dx^i \right)

con A_i il quadripotenziale. Il principio di minima azione stabilisce che il moto di un sistema fisico fra due istanti dello spazio delle configurazioni è tale che l'azione sia stazionaria in corrispondenza della traiettoria del moto per piccole perturbazioni dello stesso, ovvero:[13]

\delta \mathcal{S} = \delta \int \left( -mc \, ds - {e \over c}A_i dx^i \right) = -\int_a^b \left( mc \, \frac{dx_i d \delta x^i}{ds} + {e \over c}A_i d \delta x^i + {e \over c}  \delta A_i d x^i \right)=0

Se si integra per parti si ottiene:

 \int \left( mc \, du_i \delta x^i + {e \over c} \delta x^i d A_i + {e \over c}  \delta A_i d x^i \right) - \left( mcu_i + {e \over c}A_i \right)\delta x^i | = 0

con u_i = {dx_1 \over ds} la quadrivelocità. Dato che il secondo termine è nullo e che:

\delta A_i = \frac{\partial A_i}{\partial x^k} \delta x^k \qquad d A_i = \frac{\partial A_i}{\partial x^k} d x^k

si ha:

 \int \left( mc \, du_i \delta x^i + {e \over c} \delta x^i \frac{\partial A_i}{\partial x^k} d x^k + {e \over c}  \frac{\partial A_i}{\partial x^k} \delta x^k d x^i \right) = \left[ mc {du_i \over ds} -  {e \over c} \left(\frac{\partial A_k}{\partial x^i} - \frac{\partial A_i}{\partial x^k}\right)u^k \right]\delta x^i ds = 0

dove nel secondo passaggio si è sfruttato il fatto che du_1 = (du_i / ds)ds e dx^i = du_i ds. Ponendo:

F_{ik} \equiv \frac{\partial A_k}{\partial x^i} - \frac{\partial A_i}{\partial x^k}

si ha:

 mc {du_i \over ds} - {e \over c} F_{ik} u_k = 0

che è l'equazione del moto per una particella carica in un campo elettromagnetico.[14]

Equazione del moto[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Forza di Lorentz.

Utilizzando il quadrimpulso p^\alpha = m u^\alpha, l'equazione del moto può essere scritta nel seguente modo:

 \frac{d p^\alpha}{d \tau} = e u_\beta F^{\alpha \beta}

dove p^\alpha è il quadrimpulso e \tau è il tempo proprio della particella. Il tensore F^{\alpha \beta} è il tensore elettromagnetico contravariante e u è la quadrivelocità della particella. L'equazione può anche essere scritta come:[15]

 \frac{d u^\alpha}{d \tau} = \frac{e}{mc} F^{\alpha \beta}u_\beta

Raggruppando le tre equazioni spaziali si ha, esplicitamente:[16]

 \frac{d \mathbf{p} }{d \tau} = e \gamma\left( \mathbf{E} + \mathbf{u} \times \mathbf{B} \right) \qquad \frac{d \mathbf{p} }{d t} = e \left( \mathbf{E} + \frac{\mathbf u}{c} \times \mathbf{B} \right) \qquad \gamma = \left(\sqrt {1 - \beta^2} \right)^{-1}

mentre per la componente temporale:

 \frac{d E}{d t} = e \mathbf u \cdot \mathbf E

Queste relazioni sono le equazioni del moto per un carica in un campo elettromagnetico.

Tensore elettromagnetico[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Tensore elettromagnetico.

Il tensore doppio di campo elettromagnetico F^{\mu \nu} è un tensore antisimmetrico del second'ordine covariante, e la sua traccia è nulla:[17]

F^{\mu \nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}

Un diverso modo di rappresentare il campo attraverso un tensore antisimmetrico è fornito dal tensore duale elettromagnetico, dato da:

G^{\mu \nu} = \begin{pmatrix} 0 & -B_x & -B_y & -B_z \\ B_x & 0 & E_z/c & - E_y/c \\ B_y & -E_z/c & 0 & E_x/c \\ B_z & E_y/c & -E_x/c & 0 \end{pmatrix}

Il tensore elettromagnetico gode della proprietà:

 \det \left( F \right) = \left(\frac{\mathbf B \cdot \mathbf E }{c}\right)^2

Attraverso questa notazione si possono sintetizzare a coppie le equazioni di Maxwell. Le due equazioni vettoriali non omogenee si riducono a:

 \partial_\mu F^{\mu \nu} = \frac{4 \pi}{c}j^\nu

mentre le equazioni omogenee sono:

\partial_\mu G^{\mu \nu} = 0

In modo equivalente:

 \partial_\nu F^{\mu \nu} = 0 \qquad \partial_\gamma F_{ \alpha \beta } + \partial_\alpha F_{ \beta \gamma } + \partial_\beta F_{ \gamma \alpha } = 0

dove la prima espressione è derivante dall'equazione di Eulero-Lagrange e sintesi della legge di Gauss elettrica e legge di Ampère-Maxwell, mentre la seconda è la sintesi della legge di Gauss magnetica e legge di Faraday-Neumann-Lenz.

Sorgenti variabili nel tempo[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi potenziali ritardati e equazioni di Jefimenko.

I potenziali ritardati descrivono i potenziali nel caso in cui distribuzione di carica e corrente presente, sorgente del campo, sia variabile nel tempo. Si tratta delle espressioni dei potenziali utilizzata quando non è possibile utilizzare l'approssimazione secondo cui la propagazione dell'interazione elettromagnetica sia istantanea. Ponendo di trovarsi nel vuoto, nel gauge di Lorenz i potenziali ritardati assumono la forma:[5]

 \psi (\mathbf x, t)= \frac {1}{4\pi \varepsilon_0} \int \frac {\rho (\mathbf x_0, t_r)} {|\mathbf x - \mathbf x_0|} d^3 x_0
\mathbf A (\mathbf x, t) =\frac {1}{4 \pi \varepsilon_0 c^2} \int \frac {\mathbf J (\mathbf x_0, t_r)} {|\mathbf x - \mathbf x_0| } d^3 x_0

dove \rho è la densità di carica, \mathbf J è la densità di corrente,  |\mathbf x - \mathbf x_0| la distanza del punto di osservazione del campo dall'elemento di volume dV su cui si effettua l'integrazione e:

t_r=t- \frac {|\mathbf x - \mathbf x_0|}{c}

è il tempo ritardato.

I potenziali ritardati sono la soluzione dell'equazione delle onde per i potenziali:

\quad\nabla^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = -\frac{\rho }{\varepsilon _0}
\quad\nabla^2\mathbf A-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu _0\mathbf J

Una volta determinati i potenziali \psi e \mathbf A dalla distribuzione delle cariche e delle correnti nello spazio, è possibile esprimere il campo elettrico ed il campo magnetico attraverso le formule:

\mathbf{E}=-\nabla \psi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \qquad \mathbf{B}=\nabla\times \mathbf{A}

Questo consente di scrivere l'equazione delle onde per i campi nel vuoto:

\quad\nabla^2\mathbf{E}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = -\frac{1}{\varepsilon _0}\left( -\nabla \rho -\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{J}}{\partial t} \right)
\quad\nabla^2\mathbf{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} = -\mu_0 \nabla \times \mathbf{J}

La soluzione al tempo ritardato fornisce l'espressione preliminare per i campi:[18]

\mathbf{E}(\mathbf{x},t)=\frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac {1} {|\mathbf x - \mathbf x_0|} \left[ -\nabla' \rho -\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{J}}{\partial t} \right]_{t=t_r} d^3 x'
\mathbf{B}(\mathbf{x},t)=\frac {\mu_0}{4 \pi} \int \frac {1} {|\mathbf x - \mathbf x_0|} \left[ \nabla' \times \mathbf{J} \right]_{t=t_r} d^3 x'

la cui scrittura esplicita è fornita dalle equazioni di Jefimenko:[19]

\mathbf{E}(\mathbf{x}, t) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \left[ \left(\frac{\rho(\mathbf{x}_0, t_r)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0|^3} + \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0|^2 c}\frac{\partial \rho(\mathbf{x}_0, t_r)}{\partial t}\right)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0) - \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0| c^2}\frac{\partial \mathbf{J}(\mathbf{x}_0, t_r)}{\partial t} \right] \mathrm{d}^3 x
\mathbf{B}(\mathbf{x}, t) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \left[\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}_0, t_r)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0|^3} + \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0|^2 c}\frac{\partial \mathbf{J}(\mathbf{x}_0, t_r)}{\partial t} \right] \times (\mathbf{x}-\mathbf{x}_0) \mathrm{d}^3 x

dove \mathbf{x}_0 è un punto all'interno della distribuzione di carica e \mathbf{x} è un punto nello spazio. Le espressioni per i campi nella materia \mathbf{D} e \mathbf{H} hanno la stessa forma.[20].

Potenziali di Liénard-Wiechert[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Potenziale di Liénard-Wiechert.

I potenziali di Liénard-Wiechert descrivono il campo elettromagnetico generato da una carica in moto a partire dai potenziali del campo. Costruiti direttamente a partire dalle equazioni di Maxwell, i potenziali forniscono una caratterizzazione generale e relativistica del campo variabile nel tempo generato da una carica in moto.

Il potenziale elettromagnetico A^{\alpha}(x)=(\varphi,\mathbf{A}) generato nel punto x=(x_0,\mathbf{x}) da una sorgente puntiforme di carica in moto e è dato da:[21]

A^{\alpha}(x) = \frac{eV^{\alpha}(\tau=\tau_0)}{V \cdot [x - r(\tau=\tau_0)]} \qquad x_0 > r_0(\tau_0)

dove V^{\alpha}(\tau)={\gamma}( c , \mathbf{v}_s ) è la quadrivelocità della carica, r^\alpha (\tau) = (r_0,\mathbf{r}_s) la sua posizione e \tau il tempo proprio. Nell'equazione la velocità e la posizione vengono valutati al tempo \tau_0, che è definito dalla condizione del cono di luce. Tale condizione implica che:

 x_0-r_0(\tau_0) = | \mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau_0)|

e pertanto permette di scrivere:

V \cdot(x-r)=\gamma c(x_0-r_0(\tau_0))-\mathbf{v}_s \cdot(\mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau_0))= \gamma c |\mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau_0)|(1 - \mathbf \beta \cdot \mathbf{n})

con \mathbf{n} vettore unitario che ha la direzione di \mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau). Si ottiene in questo modo una forma equivalente, ma non covariante, del potenziale elettrico \varphi e del potenziale magnetico \mathbf{A} generati da una sorgente puntiforme di carica in moto:[22]

\varphi(\mathbf{x}, t) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left(\frac{e}{(1 - \mathbf{n} \cdot \mathbf{\beta})|\mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau)|} \right)_{\tau = \tau_0} \qquad \mathbf{A}(\mathbf{x},t) = \frac{\mu_0c}{4 \pi} \left(\frac{e \mathbf{\beta}}{(1 - \mathbf{n} \cdot \mathbf{\beta})|\mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau)|} \right)_{\tau = \tau_0} = \frac{\mathbf{\beta}(\tau = \tau_0)}{c} \varphi(\mathbf{x}, t)

A partire dai potenziali è possibile ricavare le espressioni dei campi utilizzando la loro definizione, ottenendo per il campo elettrico:

\mathbf{E}(\mathbf{x}, t) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left(\frac{q(\mathbf{n} - \mathbf{\beta})}{\gamma^2 (1 - \mathbf{n} \cdot \mathbf{\beta})^3 |\mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau)|^2} + \frac{q \mathbf{n} \times \big((\mathbf{n} - \mathbf{\beta}) \times \dot{\mathbf{\beta}}\big)}{c(1 - \mathbf{n} \cdot \mathbf{\beta})^3 |\mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau)|} \right)_{\tau = \tau_0}

e per il campo magnetico:[23]

\mathbf{B}(\mathbf{x}, t) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \left(\frac{q c(\mathbf{\beta} \times \mathbf{n})}{\gamma^2 (1-\mathbf{n} \cdot \mathbf{\beta})^3 |\mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau)|^2} + \frac{q \mathbf{n} \times \Big(\mathbf{n} \times \big((\mathbf{n} - \mathbf{\beta}) \times \dot{\mathbf{\beta}}\big) \Big)}{(1 - \mathbf{n} \cdot \mathbf{\beta})^3 |\mathbf{x} - \mathbf{r}_s(\tau)|} \right)_{\tau = \tau_0} = \frac{\mathbf{n}(\tau = \tau_0)}{c} \times \mathbf{E}(\mathbf{x}, t)

con:

\mathbf{\beta}(t) = \frac{\mathbf{v}_s(t)}{c} \qquad \mathbf{n}(t) = \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t)|}\qquad \gamma(t) = \frac{1}{\sqrt{1 - |\mathbf{\beta}(t)|^2}}

dove \gamma è il fattore di Lorentz. il termine \mathbf{n} - \mathbf{\beta} nell'espressione del campo elettrico impone che la direzione del primo termine del campo sia lungo la congiungente con la posizione della carica, mentre il secondo termine, dovuto all'accelerazione della carica, è perpendicolare a \mathbf{n} - \mathbf{\beta}.

L'espressione dei campi è in questo modo data dalla somma di due contributi: il primo è detto campo di Coulomb generalizzato e decresce come il reciproco del quadrato della distanza dalla carica, il secondo è detto campo di radiazione e decresce come il reciproco della distanza dalla sorgente, e quindi è dominante lontano dalla carica. In entrambi i casi il campo di Coulomb generalizzato è relativo alla velocità della carica, mentre il campo di radiazione è generato dall'accelerazione.

Distribuzione angolare della radiazione emessa da una carica in moto accelerato. Nell'immagine a destra la velocità della particella si avvicina alla velocità della luce, e l'emissione di radiazione è collimata in un cono appuntito il cui asse è diretto come la velocità.

Equazione di Larmor[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazione di Larmor e Radiazione di sincrotrone.

Se si trascura il campo di Coulomb generalizzato, la componente radiale del vettore di Poynting, risultante dall'espressione di Liénard–Wiechert dei campi, è data da:[24]

[\mathbf{S\cdot}\hat{\mathbf{n}}]_{\tau = \tau_0} = \frac{q^2}{16\pi^2\varepsilon_0 c}\left\{\frac{1}{R^2}\left|\frac{\hat{\mathbf{n}}\times[(\hat{\mathbf{n}}-\vec{\beta})\times\dot{\vec{\beta}}]}{(1-\vec{\beta}\mathbf{\cdot}\hat{\mathbf{n}})^3}\right|^2\right\}

dove il secondo membro, a differenza del primo, non è valutato al tempo ritardato.

La relazione spaziale tra \vec{\beta} e \dot{\vec{\beta}} determina la distribuzione di potenza angolare, ed il fattore (1-\vec{\beta}\mathbf{\cdot}\vec{\mathbf{n}}) al denominatore mostra la presenza degli effetti relativistici nel passaggio dal sistema di riferimento a riposo della particella al sistema di riferimento dell'osservatore.

L'energia irradiata per angolo solido durante un'accelerazione tra gli istanti t'=T_1 e t'=T_2 è data da:

\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\mathit{\Omega}} = \frac{q^2}{16\pi^2\varepsilon_0c}\,\frac{|\hat{\mathbf{n}}(t')\times\{[\hat{\mathbf{n}}(t')-\vec{\beta}(t')]\times\dot{\vec{\beta}}(t')\}|^2}{[1-\vec{\beta}(t')\mathbf{\cdot}\vec{\mathbf{n}}(t')]^5}

Integrando tale espressione su tutto l'angolo solido si ottiene la generalizzazione relativistica della formula di Larmor:[25]

P=\frac{e^2}{6\pi \varepsilon _0 c}\gamma ^6
\left [ \left | \dot{\vec{\beta }} \right |^2
-\left |  \vec{\beta}\times \dot{\vec{\beta }}\right | \right ]

Nel limite relativistico per velocità prossime alla velocità della luce, in cui \gamma>>1, la distribuzione angolare può approssimativamente essere scritta come:[26]

\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\mathit{\Omega}} \simeq \frac{2}{\pi}\frac{e^2}{c^3}\gamma^6\frac{|\dot{\mathbf v}|^2}{(1+\gamma^2\theta^2)^3}\left[1-\frac{4\gamma^2\theta^2\cos^2\phi}{(1+\gamma^2\theta^2)^2}\right]

dove i fattori (1-\beta\cos\theta) al denominatore restringono la distribuzione angolare in un fascio di luce conico e sempre più stretto al crescere della velocità, distribuito in un piccolo angolo intorno a \theta=0.

Trasformazioni del campo tra sistemi di riferimento inerziali[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi trasformazione di Lorentz.

Si considerino due sistemi di riferimento inerziali che si muovono con velocità relativa \mathbf v costante l'uno rispetto all'altro. Le componenti del campo parallele alla velocità sono denotate con \stackrel{\mathbf {E}_{\parallel}}{} e \stackrel{\mathbf {B}_{\parallel}}{}, mentre quelle perpendicolari con \stackrel{\mathbf {E}_{\bot}}{} e \stackrel{\mathbf {B}_{\bot}}{}. Considerando uno dei due sistemi di riferimento fermo, le variabili primate denotano i campi nell'altro sistema, in moto:[27]

 \mathbf {{E}_{\parallel}}' = \mathbf {{E}_{\parallel}} \qquad \mathbf {{B}_{\parallel}}' = \mathbf {{B}_{\parallel}}
 \mathbf {{E}_{\bot}}'= \gamma \left( \mathbf {E}_{\bot} + \mathbf{ v} \times \mathbf {B} \right) \qquad \mathbf {{B}_{\bot}}'= \gamma \left( \mathbf {B}_{\bot} -\frac{1}{c^2} \mathbf{ v} \times \mathbf {E} \right)

dove:

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/{c}^2}}

è il fattore di Lorentz e c la velocità della luce. La trasformazione inversa si ottiene cambiando il segno della velocità.

In modo equivalente, si può scrivere:[28]

\begin{align}
& \mathbf{E}' = \gamma \left( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right ) - \left ({\gamma-1} \right ) ( \mathbf{E} \cdot \mathbf{\hat{v}} ) \mathbf{\hat{v}} \\
& \mathbf{B}' = \gamma \left( \mathbf{B} - \frac {\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2} \right ) - \left ({\gamma-1} \right ) ( \mathbf{B} \cdot \mathbf{\hat{v}} ) \mathbf{\hat{v}}\\
\end{align}

dove \mathbf{\hat{v}} è un vettore unitario diretto come la velocità.

Data una particella di carica q che si muove con velocità \mathbf{u} rispetto al sistema fermo, la forza di Lorentz agente su di essa è:

\mathbf{F}=q\mathbf{E}+q \mathbf{u} \times \mathbf{B}

mentre nel sistema in moto:

\mathbf{F'}=q\mathbf{E'}+q \mathbf{u'} \times \mathbf{B'}

Se i due sistemi hanno i tre assi rispettivamente paralleli, allora:[29]

 u_x'=\frac{u_x+v}{1 + (v \ u_x)/c^2} \qquad u_y'=\frac{u_y/\gamma}{1 + (v \ u_x)/c^2} \qquad u_z'=\frac{u_z/\gamma}{1 + (v \ u_x)/c^2}

Per un moto relativo tra i due sistemi lungo l'asse delle ascisse, si ottiene:

\begin{align}
& \displaystyle E'_x = E_x \\
& E'_y = \gamma \left ( E_y - v B_z \right ) \\
& E'_z = \gamma \left ( E_z + v B_y \right ) \\
\end{align}\quad\begin{align}
& \displaystyle B'_x = B_x\\
& B'_y = \gamma \left ( B_y + \frac{v}{c^2} E_z \right )\\
& B'_z = \gamma \left ( B_z - \frac{v}{c^2} E_y \right )
\end{align}

In unità CGS:[30]

\begin{align}
& \displaystyle E'_x = E_x \\
& E'_y = \gamma \left ( E_y - \beta B_z \right ) \\
& E'_z = \gamma \left ( E_z + \beta B_y \right ) \\
\end{align}\quad\begin{align}
& \displaystyle B'_x = B_x \\
& B'_y = \gamma \left ( B_y + \beta E_z \right ) \\
& B'_z = \gamma \left ( B_z - \beta E_y \right )
\end{align}

dove \beta \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \ v/c.

Campi nella materia[modifica | modifica sorgente]

Nella materia, il campo elettrico \mathbf{D} ed il campo magnetico \mathbf{H} sono dati da:

\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E} \qquad \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H} \qquad c^2=\frac{1}{\varepsilon_0\mu_0}

e si trasformano in modo analogo ai campi nel vuoto:

\begin{align}
\mathbf{D}' & =\gamma \left( \mathbf{D}+\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\times \mathbf{H} \right)+(1-\gamma )(\mathbf{D}\cdot \mathbf{\hat{v}})\mathbf{\hat{v}} \\
\mathbf{H}' & =\gamma \left( \mathbf{H}-\mathbf{v}\times \mathbf{D} \right)+(1-\gamma )(\mathbf{H}\cdot \mathbf{\hat{v}})\mathbf{\hat{v}} \\
\end{align}

Potenziali del campo[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi quadripotenziale.

Il potenziale vettore \mathbf A relativo al campo magnetico ed il potenziale scalare \psi del campo elettrico si trasformano come segue:[31]

 \varphi' = \gamma (\varphi - v A_\parallel) \qquad A_\parallel' = \gamma (A_\parallel - v \varphi /c^2) \qquad A_\bot' = A_\bot

dove \scriptstyle A_\parallelè la componente parallela alla velocità relativa e \scriptstyle A_\bot e quella perpendicolare. In forma compatta:

\begin{align}
\mathbf{A}' & = \mathbf{A} - \dfrac{\gamma \varphi}{c^2}\mathbf{v} + (\gamma-1) (\mathbf{A}\cdot\mathbf{\hat{v}})\mathbf{\hat{v}} \\ 
{\varphi}' & =\gamma \left( \varphi - \mathbf{A}\cdot \mathbf{v} \right) 
\end{align}

Sorgenti del campo[modifica | modifica sorgente]

Per le densità di carica \rho e corrente elettrica \mathbf J si ha:[31]

J_\parallel' = \gamma ( J_\parallel - v\rho) \qquad \rho' = \gamma (\rho - v J_\parallel /c^2) \qquad J_\bot' = J_\bot

e raggruppando le componenti:

\begin{align}
\mathbf{J}' & =\mathbf{J}-\gamma \rho \mathbf{v} +\left( \gamma -1 \right)(\mathbf{J}\cdot \mathbf{\hat{v}})\mathbf{\hat{v}} \\
{\rho }' & =\gamma ( \rho - \mathbf{J}\cdot \mathbf{v}/c^2) 
\end{align}

Approssimazione non relativistica[modifica | modifica sorgente]

Per velocità molto inferiori alla velocità della luce \gamma è prossimo ad 1 e pertanto si ha:

\mathbf{E}' \approx \mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B} \qquad \mathbf{B}' \approx \mathbf{B}-\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\times \mathbf{E}
\mathbf{j}' \approx \mathbf{j}-\rho \mathbf{v} \qquad \rho' \approx \left( \rho -\frac{1}{c^2}\mathbf{j}\cdot \mathbf{v} \right)

Si tratta dell'approssimazione utilizzata nel caso non relativistico.

Elettrodinamica quantistica[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Elettrodinamica quantistica.

L'elettrodinamica quantistica è una teoria quantistica del campo elettromagnetico che descrive i fenomeni che coinvolgono particelle elettricamente cariche interagenti per mezzo della forza elettromagnetica, ed ha permesso di ottenere predizioni estremamente accurate di quantità come il momento magnetico anomalo del muone, e lo spostamento di Lamb-Retherford dei livelli energetici dell'idrogeno.

Matematicamente l'elettrodinamica quantistica ha la struttura di una teoria di gauge abeliana con un gruppo di gauge U(1): fisicamente questo significa che le particelle cariche interagiscono fra loro attraverso lo scambio di particelle a massa nulla dette fotoni. Considerando i potenziali come operatori di campo si ottiene la quantizzazione del campo elettromagnetico, e sostituendo \frac 1 {c^2} = \varepsilon_0 \mu_0 nelle equazioni del gauge di Lorenz si ottiene:

\nabla^2 \mathbf A - \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} = - \mu_0 \mathbf J
\nabla^2 \varphi - \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}

Se si vuole descrivere l'interazione tra campi elettromagnetici con l'equazione di Dirac, le densità di carica e corrente sono:[32]

\mathbf{J}=-e\psi^{\dagger}\boldsymbol{\alpha}\psi\,\quad \rho=-e\psi^{\dagger}\psi

dove \boldsymbol\alpha sono le prime tre matrici di Dirac. Si possono così scrivere le equazioni di Maxwell come:

\nabla^2 \mathbf A - \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} = \mu_0 e \psi^{\dagger} \boldsymbol{\alpha} \psi
\nabla^2 \varphi - \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = \frac{1}{\varepsilon_0} e \psi^{\dagger} \psi

Tale formulazione è alla base dell'ettrodinamica quantistica.

Campi elettromagnetici e salute[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Inquinamento elettromagnetico.

L'esposizione umana ai campi elettromagnetici è una problematica relativamente recente (1972) che assume notevole interesse con l'introduzione massiccia dei sistemi di telecomunicazione e dei sistemi di trasmissione e distribuzione dell'energia elettrica. In realtà anche in assenza di tali sistemi siamo costantemente immersi nei campi elettromagnetici per tutti quei fenomeni naturali riconducibili alla natura elettromagnetica, primo su tutti l'irraggiamento solare. Allo scopo di approfondire il legame tra esposizione a campi elettromagnetici e salute umana, sono stati avviati, a partire dalla seconda metà degli anni novanta dello scorso secolo, sia in Italia che all'estero, studi epidemiologici specifici.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Britannica Online Encyclopædia - Electromagnetic field. URL consultato il 5 luglio 2012.
  2. ^ Landau, Lifshits, op. cit., Pag. 67
  3. ^ Landau, Lifshits, op. cit., Pag. 147
  4. ^ Jackson, op. cit., Pag. 239
  5. ^ a b c Jackson, op. cit., Pag. 240
  6. ^ Jackson, op. cit., Pag. 241
  7. ^ Carver A. Mead, Collective Electrodynamics: Quantum Foundations of Electromagnetism, MIT Press, 7 agosto 2002, pp. 37–38. ISBN 978-0-262-63260-7.
  8. ^ Frederic V. Hartemann, High-field electrodynamics, CRC Press, 2002, p. 102. ISBN 978-0-8493-2378-2.
  9. ^ Jackson, op. cit., Pag. 583
  10. ^ a b Jackson, op. cit., Pag. 581
  11. ^ Jackson, op. cit., Pag. 582
  12. ^ Landau, Lifshits, op. cit., Pag. 69
  13. ^ Landau, Lifshits, op. cit., Pag. 88
  14. ^ Landau, Lifshits, op. cit., Pag. 89
  15. ^ Jackson, op. cit., Pag. 580
  16. ^ Jackson, op. cit., Pag. 579
  17. ^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics, 3rd, Prentice Hall, 1998, p. 557. ISBN 0-13-805326-X.
  18. ^ Jackson, op. cit., Pag. 246
  19. ^ Jackson, op. cit., Pag. 247
  20. ^ Oleg D. Jefimenko, Solutions of Maxwell's equations for electric and magnetic fields in arbitrary media, American Journal of Physics 60 (10) (1992), 899-902
  21. ^ Jackson, op. cit., Pag. 662
  22. ^ Jackson, op. cit., Pag. 663
  23. ^ Jackson, op. cit., Pag. 664
  24. ^ Jackson, op. cit., Pag. 668
  25. ^ Jackson, op. cit., Pag. 666
  26. ^ Jackson, op. cit., Pag. 671
  27. ^ Tai L. Chow, Electromagnetic theory, Sudbury MA, Jones and Bartlett, 2006, Chapter 10.21; p. 402–403 ff. ISBN 0-7637-3827-1.
  28. ^ Herbert Daniel, 4.5.1 in Physik: Elektrodynamik, relativistische Physik, Walter de Gruyter, 1997, pp. 360–361. ISBN 3-11-015777-2. , Extract of pages 360-361
  29. ^ R.C.Tolman "Relativity Thermodynamics and Cosmology" pp25
  30. ^ Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X
  31. ^ a b The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
  32. ^ Quantum Electrodynamics, Mathworld

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010. ISBN 978-88-207-1633-2.
  • Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Fisica teorica 2 - Teoria dei campi, Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976. ISBN 88-359-5358-8.
  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999. ISBN 0-471-30932-X.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

  • Progetto CAMELET Campi elettromagnetici e Salute ISS
  • Progetto POWERFIELD Schermatura e mitigazione dei campi elettromagnetici
  • WHO Campi elettromagnetici
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