Equazione di Larmor

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In fisica, l'equazione di Larmor o formula di Larmor, derivata da Joseph Larmor nel 1897, descrive la potenza della radiazione emessa da una particella carica non relativistica  e quando la particella subisce una variazione di velocità.

L'equazione[modifica | modifica sorgente]

L'accelerazione di una carica produce l'emissione di radiazione elettromagnetica, che si propaga nella forma di onda. Per velocità molto inferiori alla velocità della luce la potenza totale irradiata è data dall'equazione di Larmor, che nel Sistema Internazionale è data da:[1]

 P = \frac{e^2 a^2}{6 \pi \varepsilon_0 c^3}

mentre nel sistema CGS:

 P = {2 \over 3} \frac{e^2 a^2}{  c^3}

dove  a è l'accelerazione e  c la velocità della luce. La generalizzazione relativistica, per velocità prossime a  c , è fornita dai potenziali di Liénard-Wiechert.

Derivazione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi potenziale di Liénard-Wiechert.

Il campo generato da una particella non relativistica carica in moto, ottenuto a partire dai potenziali di Liénard–Wiechert, ha la forma:[2]


\mathbf{E}(\mathbf{x},t) = e\left[\frac{\mathbf{n}-\mathbf{\beta}}{\gamma^2(1-\mathbf{\beta}\cdot\mathbf{n})^3R^2}\right]_{\rm{ret}} + \frac{e}{c}\left[\frac{\mathbf{n}\times[(\mathbf{n}-\mathbf{\beta})\times\mathbf{\dot{\beta}}]}{(1-\mathbf{\beta}\cdot\mathbf{n})^3R}\right]_{\rm{ret}}
\qquad
\mathbf{B} = [\mathbf{n}\times\mathbf{E}]_{\rm{ret}}

dove \mathbf{\beta}=\frac{\mathbf v}{c} è la velocità della carica divisa per c, \mathbf{\dot{\beta}}=\frac{\mathbf \dot v}{c} è l'accelerazione della carica divisa per c, \mathbf{n} un vettore unitario parallelo a \mathbf{r} - \mathbf{r}_0 ed R il modulo di \mathbf{r} - \mathbf{r}_0. I termini al secondo membro sono valutati al tempo ritardato, dato da:

t' = t - {R \over c}

L'espressione del campo è la somma dei due contributi al secondo membro, relativi alla velocità e all'accelerazione della carica essendo rispettivamente dipendenti da \beta e da \beta e \dot{\beta}. Il campo relativo alla velocità è proporzionale a R^{-2}, e pertanto si annulla rapidamente al crescere della distanza. Il campo relativo all'accelerazione, denotato con \mathbf{E}_{a}, decresce come R^{-1} ed è il principale responsabile della perdita di energia da parte della carica.

La densità del flusso di energia irraggiata è fornita dal vettore di Poynting per il campo relativo all'accelerazione:


\mathbf{S} = \frac{c}{4\pi}\mathbf{E}_{a}\times\mathbf{B}=\frac{c}{4\pi}|\mathbf{E}_{a}|^2\mathbf{n} = \frac{e}{c}\left|\frac{\mathbf{n}\times(\mathbf{n}\times\mathbf{\dot{\beta}})}{R}\right|^2

La potenza irraggiata per unità di angolo solido \Omega è quindi data da:

\frac{dP}{d\Omega}=\frac{c}{4\pi}|R\mathbf{E}_{a}|^2 = \frac{e^2}{4\pi c}|\mathbf{n}\times(\mathbf{n}\times\mathbf{\dot{\beta}})|^2

Detto \theta l'angolo tra i vettori \mathbf{\dot{v}} e \mathbf{n}, la radiazione è polarizzata nel piano generato da tali vettori e si ha:


\mathbf{S} = \frac{q^2}{4\pi c^3 R^2}\sin^2{\theta}|\mathbf{\dot{v}}|^2 \hat{n}

dove è determinante la dipendenza da \sin^2{\theta}.

La potenza totale irraggiata è ottenuta integrando su tutto l'angolo solido \Omega:


P = \frac{2}{3}\frac{q^2|\mathbf{\dot{v}}|^2}{c^3}

che è il risultato di Larmor per una carica non relativistica che accelera. Si tratta di una grandezza covariante, ovvero invariante sotto trasformazione di Lorentz.

Generalizzazione relativistica[modifica | modifica sorgente]

L'equazione di Larmor può essere modificata per velocità relativistiche considerando la componente spaziale \mathbf{p} del quadrimpulso P^{\mu}:


P = \frac{2}{3}\frac{q^2}{c^3m^2}\left(\frac{d\mathbf{p}}{dt}\cdot\frac{d\mathbf{p}}{dt}\right)

Si ottiene così la generalizzazione invariante:[3]


P = -\frac{2}{3}\frac{q^2}{m^2c^3}\frac{dP^{\mu}}{d\tau}\frac{dP_{\mu}}{d\tau}

La potenza irradiata dipende pertanto dall'entità della variazione della quantità di moto della carica nel tempo, ed è proporzionale al quadrato della carica ed inversamente proporzionale al quadrato della sua massa. Riscrivendo il prodotto dei quadrivettori energia-momento si ha:


\frac{dP^{\mu}}{d\tau}\frac{dP_{\mu}}{d\tau} =\frac{1}{c^2}\left(\frac{dE}{d\tau}\right)^2 - \left(\frac{d\mathbf{p}}{d\tau}\right)^2= \frac{v^2}{c^2}\left(\frac{dP}{d\tau}\right)^2 - \left(\frac{d\mathbf{p}}{d\tau}\right)^2

dove si è sfruttato il fatto che:

 \frac{dE}{d\tau} = \frac{Pc^2}{E}\frac{dP}{d\tau} = v\frac{dP}{d\tau}

Al tendere di \beta a zero, \gamma \to 1 e quindi d\tau \to dt.

Forma non covariante[modifica | modifica sorgente]

In termini dell'energia E=\gamma m c^2 e dell'impulso \mathbf p=\gamma m \mathbf v, sostituendo:

p^{\mu} = (\gamma mc^2, \gamma m \mathbf {v})

nell'espressione covariante, si ha:


\frac{dp^{\mu}}{d\tau}\frac{dp_{\mu}}{d\tau} = -\left(\frac{d\mathbf {p}}{d\tau}\right)^2 + \frac{1}{c^2}\left(\frac{dE}{d\tau} \right)^2

= -\gamma^2\left(\frac{d\gamma m\mathbf {v}}{dt}\right)^2 + \frac{\gamma^2}{c^2}\left(\frac{d\gamma mc^2}{dt}\right)^2

= -\gamma^2[-(\gamma m\mathbf {\dot{v}} + \gamma^3m\mathbf {v}(\mathbf {\beta}\cdot\mathbf {\dot{\beta}}))^2 + \frac{1}{c^2}(\gamma^3\mathbf {\beta}\cdot\mathbf {\dot{\beta}}mc^2)^2]

= \gamma^8m^2c^2[(\mathbf {\beta}\cdot\mathbf {\dot{\beta}})^2 - (\mathbf {\beta}(\mathbf {\beta}\cdot\mathbf {\dot{\beta}}) + \frac{\mathbf {\dot{\beta}}}{\gamma^2})^2]

e dunque:


\frac{dp^{\mu}}{d\tau}\frac{dp_{\mu}}{d\tau} = \gamma^8m^2c^2\left(-\frac{1}{\gamma^2}(\mathbf {\beta}\cdot\mathbf {\dot{\beta}})^2 - \frac{\mathbf {\dot{\beta}}^2}{\gamma^4}\right)

Aggiungendo e sottraendo \frac{\mathbf {\beta}^2\cdot\mathbf {\dot{\beta}}^2}{\gamma^2} si ha:


\gamma^6m^2c^2[(\mathbf {\beta}^2\mathbf {\dot{\beta}}^2 - (\mathbf {\beta}\cdot\mathbf {\dot{\beta}})^2) - \mathbf {\dot{\beta}}^2]

e sfruttando l'identità vettoriale:


(\mathbf {\beta}\times\mathbf {\dot{\beta}})\cdot(\mathbf {\beta}\times\mathbf {\dot{\beta}}) = (\mathbf {\beta}^2\mathbf {\dot{\beta}}^2 - (\mathbf {\beta}\cdot\mathbf {\dot{\beta}})^2)

si ottiene:


P = \frac{2q^2\gamma^6}{3c}\left((\mathbf {\dot{\beta}})^2 - (\mathbf {\beta}\times\mathbf {\dot{\beta}})^2\right)

che è l'espressione trovata da Liénard nel 1898.[3]

Il termine \gamma^6 evidenzia il fatto che per \gamma \to 1, ovvero per \beta << 1, la radiazione emessa è trascurabile. Se l'accelerazione e la velocità sono ortogonali, inoltre, la potenza è ridotta di un fattore \mathbf {\beta}\cdot\mathbf {\dot{\beta}}, e tale fattore di risuzione aumenta con la velocità.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Jackson, op. cit., Pag. 665
  2. ^ Jackson, op. cit., Pag. 664
  3. ^ a b Jackson, op. cit., Pag. 666

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 047130932X.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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